Список простых чисел - List of prime numbers
Простое число (или простое ) представляет собой натуральное число , большее 1 , что не имеет положительных делителей , кроме 1 и самого себя. По теореме Евклида простых чисел бесконечно много. Подмножества простых чисел могут быть созданы с помощью различных формул для простых чисел . Первые 1000 простых чисел перечислены ниже, за ними следуют списки известных типов простых чисел в алфавитном порядке с указанием соответствующих первых членов. 1 не является ни простым, ни составным .
Первые 1000 простых чисел
В следующей таблице перечислены первые 1000 простых чисел с 20 столбцами последовательных простых чисел в каждой из 50 строк.
(последовательность A000040 в OEIS ).
Проект проверки гипотезы Гольдбаха сообщает, что он вычислил все простые числа меньше 4 × 10 18 . Это означает 95 676 260 903 887 607 простых чисел (почти 10 17 ), но они не были сохранены. Известны формулы для вычисления функции подсчета простых чисел (количества простых чисел ниже заданного значения) быстрее, чем вычисление простых чисел. Это было использовано для вычисления того, что существует 1 925 320 391 606 803 968 923 простых числа (примерно 2 × 10 21 ) ниже 10 23 . Другое вычисление показало, что существует 18 435 599 767 349 200 867 866 простых чисел (примерно 2 × 10 22 ) ниже 10 24 , если гипотеза Римана верна.
Списки простых чисел по типу
Ниже перечислены первые простые числа многих именованных форм и типов. Подробнее в статье на имя. n - натуральное число (включая 0) в определениях.
Сбалансированные простые числа
Форма: p - n , p , p + n
- 5 , 53 , 157, 173 , 211, 257 , 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 (последовательность A006562 в OEIS ).
Белл простые числа
Простые числа, которые представляют собой количество разделов набора с n членами.
2 , 5 , 877 , 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Следующий термин состоит из 6539 цифр. ( OEIS : A051131 )
Простые числа Чена
Где p простое число, а p +2 либо простое, либо полупервичное число .
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 47 , 53 , 59 , 67 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 157 , 167 , 179 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 263 , 269 , 281 , 293 , 307 , 311 , 317 , 337 , 347 , 353 , 359 , 379 , 389 , 401 , 409 ( OEIS : A109611 )
Круговые простые числа
Круговое простое число - это число, которое остается простым при любом циклическом повороте его цифр (с основанием 10).
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 197 , 199 , 311 , 337 , 373 , 719 , 733 , 919 , 971 , 991 , 1193 , 1931 , 3119 , 3779 , 7793 , 7937 , 9311 , 9377 , 11939 , 19391 , 19937 , 37199 , 39119 , 71993 , 91193 , 93719 , 93911 , 99371 , 193939 , 199933 , 319993 , 331999 , 391939 , 393919 , 919393 , 933199 , 939193 , 939391 , 993319 , 999331 ( OEIS : A068652 )
Некоторые источники перечисляют только наименьшее простое число в каждом цикле, например, в списке 13, но опускают 31 ( OEIS действительно называет эту последовательность круговыми простыми числами, но не указанную выше последовательность):
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 37 , 79 , 113 , 197 , 199 , 337 , 1193 , 3779 , 11939 , 19937 , 193939 , 199933 , 1111111111111111111 , 11111111111111111111111 ( OEIS : A016114 )
Все простые числа повторного объединения круглые.
Кузен простые числа
Где ( p , p + 4) оба простые числа.
( 3 , 7 ), ( 7 , 11 ), ( 13 , 17 ), ( 19 , 23 ), ( 37 , 41 ), ( 43 , 47 ), ( 67 , 71 ), ( 79 , 83 ), ( 97) , 101 ), ( 103 , 107 ), ( 109 , 113 ), ( 127 , 131 ), ( 163 , 167 ), ( 193 , 197 ), ( 223 , 227 ), ( 229 , 233 ), ( 277 , 281 ) ( OEIS : A023200 , OEIS : A046132 )
Кубинские простые числа
В виде где x = y + 1.
7 , 19 , 37 , 61 , 127 , 271 , 331 , 397 , 547 , 631 , 919 , 1657 , 1801 , 1951 , 2269 , 2437 , 2791 , 3169 , 3571 , 4219 , 4447 , 5167 , 5419 , 6211 , 7057 , 7351 , 8269 , 9241 , 10267 , 11719 , 12097 , 13267 , 13669 , 16651 , 19441 , 19927 , 22447 , 23497 , 24571 , 25117 , 26227 , 27361 , 33391 , 35317 ( OEIS : A002407 )
В виде где x = y + 2.
13 , 109 , 193 , 433 , 769 , 1201 , 1453 , 2029 , 3469 , 3889 , 4801 , 10093 , 12289 , 13873 , 18253 , 20173 , 21169 , 22189 , 28813 , 37633 , 43201 , 47629 , 60493 , 63949 , 65713 , 69313 , 73009 , 76801 , 84673 , 106033 , 108301 , 112909 , 115249 ( OEIS : A002648 )
Каллен простые числа
Имеет вид n × 2 n + 1.
3 , 393050634124102232869567034555427371542904833 ( OEIS : A050920 )
Двугранные простые числа
Штрихи, которые остаются простыми при считывании в перевернутом виде или при отображении на семисегментном дисплее .
2 , 5 , 11 , 101 , 181 , 1 181 , 1811 , 18181 , 108881 , 110881 , 118081 , 120121 , 121021 , 121151 , 150151 , 151051 , сто пятьдесят один тысяча сто двадцать одна , 180181 , 180811 , 181081 ( OEIS : A134996 )
Простые числа Эйзенштейна без мнимой части
Целые числа Эйзенштейна, которые являются неприводимыми и действительными числами (простые числа вида 3 n - 1).
2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 113 , 131 , 137 , 149 , 167 , 173 , 179 , 191 , 197 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 263 , 269 , 281 , 293 , 311 , 317 , 347 , 353 , 359 , 383 , 389 , 401 ( OEIS : A003627 )
Эмирпы
Простые числа, которые становятся разными простыми числами, когда их десятичные цифры меняются местами. Название «эмирп» получено путем перестановки слова «прайм».
13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 107 , 113 , 149 , 157 , 167 , 179 , 199 , 311 , 337 , 347 , 359 , 389 , 701 , 709 , 733 , 739 , 743 , 751 , 761 , 769 , 907 , 937 , 941 , 953 , 967 , 971 , 983 , 991 ( OEIS : A006567 )
Простые числа евклида
Имеет вид p n # + 1 (подмножество примитивных простых чисел ).
3 , 7 , 31 , 211 , 2311 , 200560490131 ( OEIS : A018239 )
Неправильные простые числа Эйлера
Простое число, которое делит число Эйлера на некоторые .
19 , 31 , 43 , 47 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 137 , 139 , 149 , 193 , 223 , 241 , 251 , 263 , 277 , 307 , 311 , 349 , 353 , 359 , 373 , 379 , 419 , 433 , 461 , 463 , 491 , 509 , 541 , 563 , 571 , 577 , 587 ( OEIS : A120337 )
Эйлер ( p , p - 3) неправильные простые числа
Простые числа такие, что является нерегулярной парой Эйлера.
149 , 241 , 2946901 ( OEIS : A198245 )
Факториальные простые числа
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 719 , 5039 , 39916801 , 479001599 , 87178291199, +10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 ( OEIS : A088054 )
Простые числа Ферма
Форма 2 2 n + 1.
3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )
По состоянию на август 2019 года это единственные известные простые числа Ферма и, предположительно, единственные простые числа Ферма. Вероятность существования другого простого числа Ферма меньше одного на миллиард.
Обобщенные простые числа Ферма
Формы a 2 n + 1 для фиксированного целого числа a .
а = 2: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )
a = 8: (не существует)
а = 12:13
а = 14: 197
а = 18:19
а = 22: 23
По состоянию на апрель 2017 года это единственные известные обобщенные простые числа Ферма для a ≤ 24.
Простые числа Фибоначчи
Простые числа в последовательности Фибоначчи F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n −1 + F n −2 .
2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 , 1597 , 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 ( OEIS : A005478 )
Удачные простые числа
Простые счастливые числа (предполагалось, что все они простые).
3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 37 , 47 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 89 , 101 , 103 , 107 , 109 , 127 , 151 , 157 , 163 , 167 , 191 , 197 , 199 , 223 , 229 , 233 , 239 , 271 , 277 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 331 , 353 , 373 , 379 , 383 , 397 ( OEIS : A046066 )
Простые числа Гаусса
Простые элементы гауссовских целых чисел; эквивалентно простые числа вида 4 n + 3.
3 , 7 , 11 , 19 , 23 , 31 , 43 , 47 , 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 , 127 , 131 , 139 , 151 , 163 , 167 , 179 , 191 , 199 , 211 , 223 , 227 , 239 , 251 , 263 , 271 , 283 , 307 , 311 , 331 , 347 , 359 , 367 , 379 , 383 , 419 , 431 , 439 , 443 , 463 , 467 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503 ( OEIS : A002145 )
Хорошие простые числа
Простые числа p n, для которых p n 2 > p n - i p n + i для всех 1 ≤ i ≤ n −1, где p n - n- е простое число.
5 , 11 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 127 , 149 , 179 , 191 , 223 , 227 , 251 , 257 , 269 , 307 ( OEIS : A028388 )
Счастливые простые числа
Счастливые числа, простые числа.
7 , 13 , 19 , 23 , 31 , 79 , 97 , 103 , 109 , 139 , 167 , 193 , 239 , 263 , 293 , 313 , 331 , 367 , 379 , 383 , 397 , 409 , 487 , 563 , 617 , 653 , 673 , 683 , 709 , 739 , 761 , 863 , 881 , 907 , 937 , 1009 , 1033 , 1039 , 1093 ( OEIS : A035497 )
Гармонические простые числа
Простые числа p, для которых нет решений H k ≡ 0 (mod p ) и H k ≡ - ω p (mod p ) для 1 ≤ k ≤ p −2, где H k обозначает номер k -й гармоники, а ω p обозначает фактор Вольстенхольма .
5 , 13 , 17 , 23 , 41 , 67 , 73 , 79 , 107 , 113 , 139 , 149 , 157 , 179 , 191 , 193 , 223 , 239 , 241 , 251 , 263 , 277 , 281 , 293 , 307 , 311 , 317 , 331 , 337 , 349 ( OEIS : A092101 )
Простые числа Хиггса для квадратов
Простые числа p, для которых p - 1 делит квадрат произведения всех предыдущих членов.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 107 , 127 , 131 , 139 , 149 , 151 , 157 , 173 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 223 , 229 , 263 , 269 , 277 , 283 , 311 , 317 , 331 , 347 , 349 ( OEIS : A007459 )
Сильно составляющие простые числа
Простые числа, которые являются составляющими чаще, чем любое целое число под ним, кроме 1.
2 , 23 , 47 , 59 , 83 , 89 , 113 , 167 , 269 , 389 , 419 , 509 , 659 , 839 , 1049 , 1259 , 1889 ( OEIS : A105440 )
Домашние простые числа
Для n ≥ 2 запишите факторизацию числа n на простые множители по основанию 10 и соедините множители; повторять до тех пор, пока не будет достигнуто простое число.
2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, 31, 241271, 311, 31397, 1129, 71129, 37, 373, 313, 3314192745739, 41, 379, 43, 22815088913, 3411949, 223, 47, 6161791591356884791277 ( OEIS : A037274 )
Неправильные простые числа
Нечетный простые числа р , которые делят число классов из р -й кругового поля .
37 , 59 , 67 , 101 , 103 , 131 , 149 , 157 , 233 , 257 , 263 , 271 , 283 , 293 , 307 , 311 , 347 , 353 , 379 , 389 , 401 , 409 , 421 , 433 , 461 , 463 , 467 , 491 , 523 , 541 , 547 , 557 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 ( OEIS : A000928 )
( p , p - 3) неправильные простые числа
(См. Прайм Вольстенхолма )
( p , p - 5) неправильные простые числа
Простые числа p такие, что ( p , p −5) - неправильная пара.
( p , p - 9) неправильные простые числа
Простые числа p такие, что ( p , p - 9) - неправильная пара.
Изолированные простые числа
Простые числа p такие, что ни p - 2, ни p + 2 не являются простыми числами.
2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , 113 , 127 , 131 , 157 , 163 , 167 , 173 , 211 , 223 , 233 , 251 , 257 , 263 , 277 , 293 , 307 , 317 , 331 , 337 , 353 , 359 , 367 , 373 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 409 , 439 , 443 , 449 , 457 , 467 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503 , 509 , 541 , 547 , 557 , 563 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 , 631 , 647 , 653 , 673 , 677 , 683 , 691 , 701 , 709 , 719 , 727 , 733 , 739 , 743 , 751 , 757 , 761 , 769 , 773 , 787 , 797 , 839 , 853 , 863 , 877 , 887 , 907 , 911 , 919 , 929 , 937 , 941 , 947 , 953 , 967 , 971 , 977 , 983 , 991 , 997 ( OEIS : A007510 )
Простые числа Лейланда
Имеет форму x y + y x , причем 1 < x < y .
17 , 593 , 32993 , 2097593 , 8589935681 , 59604644783353249 , 523347633027360537213687137 , 43143988327398957279342419750374600193 ( OEIS : A094133 )
Длинные простые числа
Штрихи р , для которых в данной базовой б , дает циклический номер . Их также называют простыми числами с полным повторением. Простые числа p для основания 10:
7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337 , 367 , 379 , 383 , 389 , 419 , 433 , 461 , 487 , 491 , 499 , 503 , 509 , 541 , 571 , 577 , 593 ( OEIS : A001913 )
Простые числа Лукаса
Штрихи в числовой последовательности Люка L 0 = 2, L 1 = 1, L n = L n −1 + L n −2 .
2 , 3 , 7 , 11 , 29 , 47 , 199 , 521 , 2207 , 3571 , 9349 , 3010349 , 54018521 , 370248451 , 6643838879 , 119218851371 , 5600748293801 , 688846502588399 , 32361122672259149 ( OEIS : A005479 )
Счастливые простые числа
Простые счастливые числа.
3 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 67 , 73 , 79 , 127 , 151 , 163 , 193 , 211 , 223 , 241 , 283 , 307 , 331 , 349 , 367 , 409 , 421 , 433 , 463 , 487 , 541 , 577 , 601 , 613 , 619 , 631 , 643 , 673 , 727 , 739 , 769 , 787 , 823 , 883 , 937 , 991 , 997 ( OEIS : A031157 )
Простые числа Мерсенна
Формы 2 n - 1.
3 , 7 , 31 , 127 , 8191 , 131071 , 524287 , 2147483647 , 2305843009213693951 , 618970019642690137449562111 , 162259276829213363391578010288127 , 170141183460469231731687303715884105727 ( OEIS : A000668 )
По состоянию на 2018 год известно 51 простое число Мерсенна. 13, 14 и 51-е имеют соответственно 157, 183 и 24 862 048 цифр.
По состоянию на 2018 год этот класс простых чисел также содержит наибольшее известное простое число: M 82589933 , 51-е известное простое число Мерсенна.
Делители Мерсенна
Простые числа p, которые делят 2 n - 1 для некоторого простого числа n.
3, 7, 23, 31, 47, 89, 127, 167, 223, 233, 263, 359, 383, 431, 439, 479, 503, 719, 839, 863, 887, 983, 1103, 1319, 1367, 1399, 1433, 1439, 1487, 1823, 1913, 2039, 2063, 2089, 2207, 2351, 2383, 2447, 2687, 2767, 2879, 2903, 2999, 3023, 3119, 3167, 3343 ( OEIS : A122094 )
Все простые числа Мерсенна по определению являются членами этой последовательности.
Показатели простых чисел Мерсенна
Простые числа p такие, что 2 p - 1 простое число.
2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 31 , 61 , 89 , 107 , 127 , 521 , 607 , 1279 , 2203 , 2281 , 3217 , 4253 , 4423 , 9689 , 9941 , 11213 , 19937 , 21701 , 23209 , 44497 , 86243 , 110503 , 132049 , 216091 , 756839 , 859433 , 1257787 , 1398269 , 2976221 , 3021377 , 6972593 , 13466917 , 20996011 , 24036583 , 25964951 , 30402457 , 32582657 , 37156667 , 42643801, 43112609 ( OEIS : A000043 )
По состоянию на декабрь 2018 года известно, что в последовательности находятся еще четыре, но неизвестно, являются ли они следующими:
57885161, 74207281, 77232917, 82589933.
Двойные простые числа Мерсенна
Подмножество простых чисел Мерсенна вида 2 2 p −1 - 1 для простого p .
7 , 127 , 2147483647 , 170141183460469231731687303715884105727 (простые числа в OEIS : A077586 )
По состоянию на июнь 2017 года это единственные известные двойные простые числа Мерсенна, и теоретики чисел считают, что это, вероятно, единственные двойные простые числа Мерсенна.
Обобщенные простые числа повторного объединения
Имеет вид ( a n - 1) / ( a - 1) для фиксированного целого числа a .
Для a = 2 это простые числа Мерсенна, а для a = 10 - простые числа повторного объединения . Для других малых a они приведены ниже:
a = 3: 13 , 1093 , 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 ( OEIS : A076481 )
a = 4: 5 (единственное простое число для a = 4)
= 5: 31 , 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531 ( OEIS : A086122 )
a = 6: 7 , 43 , 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371 ( OEIS : A165210 )
а = 7: 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457
a = 8: 73 (единственное простое число для a = 8)
a = 9: не существует
Другие обобщения и вариации
Были определены многие обобщения простых чисел Мерсенна. Это включает следующее:
- Простые числа вида b n - ( b - 1) n , включая простые числа Мерсенна и кубинские простые числа как особые случаи
- Простые числа Вильямса вида ( b - 1) · b n - 1
Простые числа Миллса
Имеет вид ⌊θ 3 n ⌋, где θ - постоянная Миллса. Эта форма проста для всех натуральных чисел n .
2 , 11 , 1361 , 2521008887 , 16022236204009818131831320183 ( OEIS : A051254 )
Минимальные простые числа
Простые числа, для которых нет более короткой подпоследовательности десятичных цифр, образующих простое число. Всего существует ровно 26 минимальных простых чисел:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409 , 449 , 499 , 881 , 991 , 6469 , 6949 , 9001 , 9049 , 9649 , 9949 , 60649 , 666649 , 946669 , 60000049 , 66000049 , 66600049 ( OEIS : A071062 )
Простые числа Ньюмана – Шанкса – Вильямса
Простые числа Ньюмана – Шанкса – Вильямса.
7 , 41 , 239 , 9369319 , 63018038201 , 489133282872437279 , 19175002942688032928599 ( OEIS : A088165 )
Не щедрые простые числа
Простые числа p, для которых наименьший положительный первообразный корень не является первообразным корнем p 2 . Известно три таких простых числа; неизвестно, есть ли еще.
2 , 40487, 6692367337 ( OEIS : A055578 )
Палиндромные простые числа
Простые числа, которые остаются неизменными при обратном чтении их десятичных цифр.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 10301 , 10501 , 10601 , 11311 , 11411 , 12421 , 12721 , 12821 , 13331 , 13831 , 13931 , 14341 , 14741 ( OEIS : A002385 )
Палиндромные простые числа крыльев
Простые числа формы с . Это означает, что все цифры, кроме средней, равны.
101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 11311 , 11411 , 33533 , 77377 , 77477 , 77977 , 1114111 , 1117111 , 3331333 , 3337333 , 7772777 , 7774777 , 7778777 , 111181111 , 111191111 , 777767777 , 77777677777 , 99999199999 ( OEIS : A077798 )
Простые числа разделов
Простые значения функции разделения.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 17977 , 10619863 , 6620830889 , 80630964769 , 228204732751 , 1171432692373 , 1398341745571 , 10963707205259 , 15285151248481 , 10657331232548839 , 790738119649411319 , +18987964267331664557 ( OEIS : A049575 )
Простые числа Пелля
Штрихи в числовой последовательности Пелла P 0 = 0, P 1 = 1, P n = 2 P n -1 + P n -2 .
2 , 5 , 29 , 5741 , 33461 , 44560482149 , 1746860020068409 , 68480406462161287469 , 13558774610046711780701 , 4125636888562548868221559797461449 ( OEIS : A086383 )
Перестановочные простые числа
Любая перестановка десятичных цифр - это простое число.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311 , 337 , 373 , 733 , 919 , 991 , 11111111111111111 , 11111111111111111111111 ( OEIS : A003459 )
Кажется вероятным, что все дальнейшие перестановочные простые числа являются повторными единицами , то есть содержат только цифру 1.
Простые числа Перрина
Простые числа в числовой последовательности Перрина P (0) = 3, P (1) = 0, P (2) = 2, P ( n ) = P ( n −2) + P ( n −3).
2 , 3 , 5 , 7 , 17 , 29 , 277 , 367 , 853 , 14197 , 43721 , 1442968193 , 792606555396977 , 187278659180417234321 , 66241160488780141071579864797 ( OEIS : A074788 )
Простые числа Пьерпона
Вида 2 u 3 v + 1 для некоторых целых u , v ≥ 0.
Это также простые числа класса 1 .
2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487 , 577 , 769 , 1153 , 1297 , 1459 , 2593 , 2917 , 3457 , 3889 , 10369 , 12289 , 17497 , 18433 , 39367 , 52489 , 65537 , 139969 , 147457 ( OEIS : A005109 )
Пиллаи простые числа
Простые числа p, для которых существует n > 0 такое, что p делит n ! + 1 и n не делит p - 1.
23 , 29 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 83 , 109 , 137 , 139 , 149 , 193 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 269 , 271 , 277 , 293 , 307 , 311 , 317 , 359 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 419 , 431 , 449 , 461 , 463 , 467 , 479 , 499 ( OEIS : A063980 )
Простые числа вида n 4 + 1
Форма n 4 + 1.
2 , 17 , 257 , тысячу двести девяносто-семь , 65537 , 160001 , 331777 , 614657 , 1336337 , 4477457 , 5308417 , 8503057 , 9834497 , 29986577 , 40960001 , 45212177 , 59969537 , 65610001 , 126247697 , 193877777 , 303595777 , 384160001 , 406586897 , 562448657 , 655360001 ( OEIS : A037896 )
Первобытные простые числа
Простые числа, для которых существует больше простых перестановок некоторых или всех десятичных цифр, чем для любого меньшего числа.
2 , 13 , 37 , 107 , 113 , 137 , 1013 , 1237 , 1367 , 10079 ( OEIS : A119535 )
Первичные простые числа
Форма p n # ± 1.
3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029 , 200560490131 , 304250263527209 , 23768741896345550770650537601358309 (объединение OEIS : A057705 и OEIS : A018239 )
Простые числа Proth
Имеет вид k × 2 n + 1, с нечетным k и k <2 n .
3 , 5 , 13 , 17 , 41 , 97 , 113 , 193 , 241 , 257 , 353 , 449 , 577 , 641 , 673 , 769 , 929 , 1153 , 1217 , 1409 , 1601 , 2113 , 2689 , 2753 , 3137 , 3329 , 3457 , 4481 , 4993 , 6529 , 7297 , 7681 , 7937 , 9473 , 9601 , 9857 ( OEIS : A080076 )
Простые числа Пифагора
Формы 4 n + 1.
5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 , 149 , 157 , 173 , 181 , 193 , 197 , 229 , 233 , 241 , 257 , 269 , 277 , 281 , 293 , 313 , 317 , 337 , 349 , 353 , 373 , 389 , 397 , 401 , 409 , 421 , 433 , 449 ( OEIS : A002144 )
Прайм четверки
Где ( p , p +2, p +6, p +8) все простые числа.
( 5 , 7 , 11 , 13 ), (11, 13, 17 , 19 ), ( 101 , 103 , 107 , 109 ), ( 191 , 193 , 197 , 199 ), ( 821 , 823 , 827 , 829 ), ( 1481 , 1483 , 1487 , 1489 ), ( 1871 , 1873 , 1877 , 1879 ), ( 2081 , 2083 , 2087 , 2089 ), ( 3251 , 3253 , 3257 , 3259 ), ( 3461 , 3463 , 3467 , 3469 ), ( 5651 , 5653 , 5657 , 5659 ), ( 9431 , 9433 , 9437 , 9439 ) ( OEIS : A007530 , OEIS : A136720 , OEIS : A136721 , OEIS : A090258 )
Квартанные простые числа
Имеет вид x 4 + y 4 , где x , y > 0.
2 , 17 , 97 , 257 , 337 , 641 , 881 ( OEIS : A002645 )
Простые числа Рамануджана
Целые числа R n, которые являются наименьшими, чтобы дать по крайней мере n простых чисел от x / 2 до x для всех x ≥ R n (все такие целые числа являются простыми числами).
2 , 11 , 17 , 29 , 41 , 47 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 107 , 127 , 149 , 151 , 167 , 179 , 181 , 227 , 229 , 233 , 239 , 241 , 263 , 269 , 281 , 307 , 311 , 347 , 349 , 367 , 373 , 401 , 409 , 419 , 431 , 433 , 439 , 461 , 487 , 491 ( OEIS : A104272 )
Обычные простые числа
Штрихи р , которые не делят число классов из р -й кругового поля .
3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 43 , 47 , 53 , 61 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 107 , 109 , 113 , 127 , 137 , 139 , 151 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , 239 , 241 , 251 , 269 , 277 , 281 ( OEIS : A007703 )
Перегруппировать простые числа
Простые числа, содержащие только десятичную цифру 1.
11 , 1111111111111111111 (19 цифр), 11111111111111111111111 (23 цифры) ( OEIS : A004022 )
Следующие имеют 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 цифры ( OEIS : A004023 )
Остаточные классы простых чисел
Форма an + d для фиксированных целых чисел a и d . Также называется простыми числами, конгруэнтными d по модулю a .
Простые числа в форме 2 n +1 - это нечетные простые числа, включая все простые числа, кроме 2. У некоторых последовательностей есть альтернативные имена: 4 n +1 - простые числа Пифагора, 4 n +3 - целые числа Гаусса и 6 n +5. - простые числа Эйзенштейна (2 опущены). Классы 10 n + d ( d = 1, 3, 7, 9) представляют собой простые числа, оканчивающиеся десятичной цифрой d .
2 п +1: 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 ( OEIS : A065091 )
4 п +1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 ( OEIS : A002144 )
4 п +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 ( OEIS : A002145 )
6 п +1: 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127 , 139 ( OEIS : A002476 )
6 n +5: 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113 ( OEIS : A007528 )
8 n +1: 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193 , 233 , 241 , 257 , 281 , 313 , 337 , 353 ( OEIS : A007519 )
8 п +3: 3, 11, 19, 43, 59, 67 , 83, 107, 131 , 139, 163 , 179 , 211 , 227 , 251 ( OEIS : A007520 )
8 п +5: 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149 , 157 , 173 , 181 , 197 , 229 , 269 ( OEIS : A007521 )
8 n +7: 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151 , 167 , 191 , 199 , 223 , 239 , 263 ( OEIS : A007522 )
10 п +1: 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, 211, 241, 251, 271 , 281 ( OEIS : A030430 )
10 п +3: 3, 13, 23 , 43, 53, 73, 83, 10 3, 113, 163, 173, 193, 223, 233, 263 ( OEIS : A030431 )
10 п +7: 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, 167, 197, 227 , 257, 277 ( OEIS : A030432 )
10 n +9: 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229, 239, 269, 349 , 359 ( OEIS : A030433 )
12 n +1: 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, 241, 277, 313, 337, 349 ( OEIS : A068228 )
12 п +5: 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269 ( OEIS : A040117 )
12 п +7: 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151 , 163, 199, 211, 223, 271 ( OEIS : A068229 )
12 n +11: 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, 191, 227, 239, 251, 263 ( OEIS : A068231 )
Безопасные простые числа
Где p и ( p −1) / 2 простые числа.
5 , 7 , 11 , 23 , 47 , 59 , 83 , 107 , 167 , 179 , 227 , 263 , 347 , 359 , 383 , 467 , 479 , 503 , 563 , 587 , 719 , 839 , 863 , 887 , 983 , 1019 , 1187 , 1283 , 1307 , 1319 , 1367 , 1439 , 1487 , 1523 , 1619 , 1823 , 1907 ( OEIS : A005385 )
Самостоятельное простое число с основанием 10
Простые числа, которые не могут быть сгенерированы никаким целым числом, добавленным к сумме его десятичных цифр.
3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , 233 , 277 , 367 , 389 , 457 , 479 , 547 , 569 , 613 , 659 , 727 , 839 , 883 , 929 , 1021 , 1087 , 1109 , 1223 , 1289 , 1447 , 1559 , 1627 , 1693 , 1783 , 1873 ( OEIS : A006378 )
Сексуальные простые числа
Где ( p , p + 6) оба простые числа.
( 5 , 11 ), ( 7 , 13 ), (11, 17 ), (13, 19 ), (17, 23 ), (23, 29 ), ( 31 , 37 ), (37, 43 ), ( 41) , 47 ), (47, 53 ), (53, 59 ), ( 61 , 67 ), (67, 73 ), (73, 79 ), ( 83 , 89 ), ( 97 , 103 ), ( 101 , 107) ), (103, 109 ), (107, 113 ), ( 131 , 137 ), ( 151 , 157 ), (157, 163 ), ( 167 , 173 ), (173, 179 ), ( 191 , 197 ), ( 193 , 199 ) ( OEIS : A023201 , OEIS : A046117 )
Простые числа Смарандаче – Веллина
Простые числа, представляющие собой конкатенацию первых n простых чисел, записанных в десятичной системе.
2 , 23 , 2357 ( OEIS : A069151 )
Четвертое простое число Смарандаче-Веллина - это 355-значная конкатенация первых 128 простых чисел, оканчивающихся на 719.
Простые числа Solinas
Имеет вид 2 a ± 2 b ± 1, где 0 < b < a .
3 , 5 , 7 , 11 , 13 ( OEIS : A165255 )
Софи Жермен простые числа
Где p и 2 p + 1 простые числа. Простому числу Софи Жермен соответствует безопасное простое число .
2 , 3 , 5 , 11 , 23 , 29 , 41 , 53 , 83 , 89 , 113 , 131 , 173 , 179 , 191 , 233 , 239 , 251 , 281 , 293 , 359 , 419 , 431 , 443 , 491 , 509 , 593 , 641 , 653 , 659 , 683 , 719 , 743 , 761 , 809 , 911 , 953 ( OEIS : A005384 )
Стерн простые числа
Простые числа, не являющиеся суммой меньшего простого числа и удвоенного квадрата ненулевого целого числа.
2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977 , 1187 , 1493 ( OEIS : A042978 )
По состоянию на 2011 год это единственные известные простые числа Штерна и, возможно, единственные существующие.
Стробограмматические простые числа
Простые числа, которые также являются простыми числами при переворачивании вверх ногами. (Это, как и его буквенный аналог амбиграммы , зависит от шрифта.)
Используя 0, 1, 8 и 6/9:
11, 101, 181, 619, 16091, 18181, 19861, 61819, 116911, 119611, 160091, 169691, 191161, 196961, 686989, 688889 (последовательность A007597 в OEIS )
Суперпростые числа
Простые числа с индексом простого числа в последовательности простых чисел (2-е, 3-е, 5-е, ... простые числа).
3 , 5 , 11 , 17 , 31 , 41 , 59 , 67 , 83 , 109 , 127 , 157 , 179 , 191 , 211 , 241 , 277 , 283 , 331 , 353 , 367 , 401 , 431 , 461 , 509 , 547 , 563 , 587 , 599 , 617 , 709 , 739 , 773 , 797 , 859 , 877 , 919 , 967 , 991 ( OEIS : A006450 )
Суперсингулярные простые числа
Есть ровно пятнадцать суперсингулярных простых чисел:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 47 , 59 , 71 ( OEIS : A002267 )
Простые числа шабита
Форма 3 × 2 n - 1.
2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 191 , 383 , 6143 , 786431 , 51539607551 , 824633720831 , 26388279066623 , 108086391056891903 , 55340232221128654847 , 226673591177742970257407 ( OEIS : A007505 )
Простые числа вида 3 × 2 n + 1 связаны.
7 , 13 , 97 , 193 , 769 , 12289 , 786433 , 3221225473 , 206158430209 , 6597069766657 ( OEIS : A039687 )
Простые тройни
Где ( p , p +2, p +6) или ( p , p +4, p +6) все простые.
( 5 , 7 , 11 ), (7, 11, 13 ), (11, 13, 17 ), (13, 17, 19 ), (17, 19, 23 ), ( 37 , 41 , 43 ), (41 , 43, 47 ), ( 67 , 71 , 73 ), ( 97 , 101 , 103 ), (101, 103, 107 ), (103, 107, 109 ), (107, 109, 113 ), ( 191 , 193 , 197 ), (193, 197, 199 ), ( 223 , 227 , 229 ), (227, 229, 233 ), ( 277 , 281 , 283 ), ( 307 , 311 , 313 ), (311, 313, 317 ), ( 347 , 349 , 353 ) ( OEIS : A007529 , OEIS : A098414 , OEIS : A098415 )
Усекаемое простое число
Усекаемый слева
Простые числа, которые остаются простыми при последовательном удалении первой десятичной цифры.
2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 23 , 37 , 43 , 47 , 53 , 67 , 73 , 83 , 97 , 113 , 137 , 167 , 173 , 197 , 223 , 283 , 313 , 317 , 337 , 347 , 353 , 367 , 373 , 383 , 397 , 443 , 467 , 523 , 547 , 613 , 617 , 643 , 647 , 653 , 673 , 683 ( OEIS : A024785 )
Усекаемый вправо
Простые числа, которые остаются простыми при последовательном удалении наименее значащей десятичной цифры.
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 29 , 31 , 37 , 53 , 59 , 71 , 73 , 79 , 233 , 239 , 293 , 311 , 313 , 317 , 373 , 379 , 593 , 599 , 719 , 733 , 739 , 797 , 2333 , 2339 , 2393 , 2399 , 2939 , 3119 , 3137 , 3733 , 3739 , 3793 , 3797 ( OEIS : A024770 )
Двусторонний
Простые числа, которые можно усекать как слева, так и справа. Есть ровно пятнадцать двусторонних простых чисел:
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 37 , 53 , 73 , 313 , 317 , 373 , 797 , 3137 , 3797 , 739397 ( OEIS : A020994 )
Простые числа-близнецы
Где ( p , p +2) оба простые.
( 3 , 5 ), (5, 7 ), ( 11 , 13 ), ( 17 , 19 ), ( 29 , 31 ), ( 41 , 43 ), ( 59 , 61 ), ( 71 , 73 ), ( 101) , 103 ), ( 107 , 109 ), ( 137 , 139 ), ( 149 , 151 ), ( 179 , 181 ), ( 191 , 193 ), ( 197 , 199 ), ( 227 , 229 ), ( 239 , 241) ), ( 269 , 271 ), ( 281 , 283 ), ( 311 , 313 ), ( 347 , 349 ), ( 419 , 421 ), ( 431 , 433 ), ( 461 , 463 ) ( OEIS : A001359 , OEIS : A006512 )
Уникальные простые числа
Список простых чисел p, для которых длина периода десятичного разложения 1 / p уникальна (никакое другое простое число не дает такой же период).
3 , 11 , 37 , 101 , 9091 , 9901 , 333667 , 909091 , 99990001 , 999999000001 , 9999999900000001 , 909090909090909091 , 1111111111111111111 , +11111111111111111111111 , 900900900900990990990991 ( OEIS : A040017 )
Простые числа Вагстаффа
Вида (2 n + 1) / 3.
3 , 11 , 43 , 683 , 2731 , 43691 , 174763 , 2796203 , 715827883 , 2932031007403 , 768614336404564651 , 201487636602438195784363 , +845100400152152934331135470251 , 56713727820156410577229101238628035243 ( OEIS : A000979 )
Значения n :
3, 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 31 , 43, 61 , 79 , 101 , 127 , 167 , 191 , 199 , 313 , 347 , 701 , 1709 , 2617 , 3539 , 5807 , 10501 , 10691 , 11279 , 12391 , 14479 , 42737 , 83339 , 95369 , 117239 , 127031 , 138937 , 141079 , 267017 , 269987 , 374321 ( OEIS : A000978 )
Простые числа Стена – Солнце – Солнце
Простое число p > 5, если p 2 делит число Фибоначчи , где символ Лежандра определяется как
По состоянию на 2018 год простые числа Стена-Солнце-Солнце не известны.
Слабо простые числа
Простые числа, у которых одна из их (базовых 10) цифр заменена на любое другое значение, всегда приводит к составному числу.
294001 , 505447 , 584141 , 604171 , 971767 , 1062599 , 1282529 , 1524181 , 2017963 , 2474431 , 2690201 , 3085553 , 3326489 , 4393139 ( OEIS : A050249 )
Простые числа Вифериха
Простые числа p такие, что a p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ) для фиксированного целого числа a > 1.
2 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 1093 , 3511 ( OEIS : A001220 )
3 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 11 , 1006003 ( OEIS : A014127 )
4 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 1093 , 3511
5 p - 1 1 (mod p 2 ): 2 , 20771 , 40487 , 53471161 , 1645333507 , 6692367337 , 188748146801 ( OEIS : A123692 )
6 p - 1 1 (mod p 2 ): 66161 , 534851 , 3152573 ( OEIS : A212583 )
7 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 5 , 491531 ( OEIS : A123693 )
8 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 3 , 1093 , 3511
9 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 2 , 11 , 1006003
10 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 3 , 487 , 56598313 ( OEIS : A045616 )
11 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 71
12 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 2693 , 123653 ( OEIS : A111027 )
13 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 2 , 863 , 1747591 ( OEIS : A128667 )
14 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 29 , 353 , 7596952219 ( OEIS : A234810 )
15 п. - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 29131 , 119327070011 ( OEIS : A242741 )
16 п - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 1093 , 3511
17 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 2 , 3 , 46021 , 48947 ( OEIS : A128668 )
18 п - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 5 , 7 , 37 , 331 , 33923 , 1284043 ( OEIS : A244260 )
19 п - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 3 , 7 , 13 , 43 , 137 , 63061489 ( OEIS : A090968 )
20 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 281 , 46457 , 9377747 , 122959073 ( OEIS : A242982 )
21 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 2
22 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 13 , 673 , 1595813 , 492366587 , 9809862296159 ( OEIS : A298951 )
23 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 13 , 2481757 , 13703077 , 15546404183 , 2549536629329 ( OEIS : A128669 )
24 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 5 , 25633
25 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ): 2 , 20771 , 40487 , 53471161 , 1645333507 , 6692367337 , 188748146801
По состоянию на 2018 год это все известные простые числа Вифериха с a ≤ 25.
Простые числа Уилсона
Простые числа p, для которых p 2 делит ( p −1)! +1.
5 , 13 , 563 ( OEIS : A007540 )
По состоянию на 2018 год это единственные известные простые числа Вильсона.
Простые числа Вольстенхолма
Простые числа p, для которых биномиальный коэффициент
16843 , 2124679 ( OEIS : A088164 )
По состоянию на 2018 год это единственные известные простые числа Вольстенхолма.
Простые числа Вудалла
Имеет вид n × 2 n - 1.
7 , 23 , 383 , 32212254719 , 2833419889721787128217599 , 195845982777569926302400511 , 4776913109852041418248056622882488319 ( OEIS : A050918 )
Смотрите также
использованная литература
внешние ссылки
- Списки простых чисел на основных страницах.
- Страница N-го числа простых чисел. N-е простые числа до n = 10 ^ 12, от pi (x) до x = 3 * 10 ^ 13, случайные простые числа в том же диапазоне.
- Список простых чисел Полный список для простых чисел меньше 10 000 000 000, частичный список до 400 цифр.
- Интерфейс к списку первых 98 миллионов простых чисел (простые числа меньше 2 000 000 000)
- Вайсштейн, Эрик В. «Последовательности простых чисел» . MathWorld .
- Выбранные первичные родственные последовательности в OEIS .
- Фишер, Р. Тема: Fermatquotient B ^ (P − 1) == 1 (mod P ^ 2) (на немецком языке) (Перечисляет простые числа Вифериха во всех основаниях до 1052)
- Падилья, Тони. «Новое наибольшее известное простое число» . Numberphile . Брэди Харан .