Обычный прайм - Regular prime

Не путать с обычным номером .
Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много правильных простых чисел, и если да, то какова их относительная плотность ?

(больше нерешенных задач по математике)

В теории чисел , регулярные простое это особый вид простого числа , определяемый Куммер в 1850 году , чтобы доказать некоторые случаи Великой теоремы Ферма . Обычные простые числа могут быть определены через делимость либо числа классов или чисел Бернулли .

Первые несколько обычных нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (последовательность A007703 в OEIS ).

История и мотивация

В 1850 году Куммер доказал, что Великая теорема Ферма верна для простого показателя p, если p регулярен. Это привлекло внимание к неправильным простым числам. В 1852 году Дженокки смог доказать, что первый случай Великой теоремы Ферма верен для показателя p , если ( p , p - 3) не является неправильной парой. Куммер еще больше улучшил это в 1857 году, показав, что для «первого случая» Великой теоремы Ферма (см. Теорему Софи Жермен ) достаточно установить, что либо ( p , p - 3), либо ( p , p - 5) не могут быть неправильная пара.

Куммер нашел неправильные простые числа меньше 165. В 1963 году Лемер сообщил о результатах до 10000, а Селфридж и Поллак объявили в 1964 году, что завершили таблицу неправильных простых чисел до 25000. Хотя две последние таблицы не появились в печати, Джонсон обнаружил что ( p , p - 3) на самом деле является неправильной парой для p = 16843 и что это первый и единственный раз, когда это происходит для p <30000 . В 1993 году было обнаружено, что в следующий раз это произойдет при p = 2124679 ; см. Wolstenholme Prime .

Определение

Критерий количества классов

Нечетное простое число р называется регулярным , если оно не делит число классов из р -го кругового поля Q ( ζ р ), где ζ р примитивный р -й корень из единицы, она указана на OEIS :  A000927 . Простое число 2 также часто считается правильным.

Число классов кругового поля является числом идеалов в кольце целых чисел Z (z р ) с точностью до эквивалентности. Два идеала I , J считаются эквивалентными, если в Q ( ζ p ) существует ненулевое u, такое что I = uJ .

Критерий Куммера

Эрнст Куммер ( Kummer 1850 ) показал, что эквивалентным критерием регулярности является то, что p не делит числитель любого из чисел Бернулли B k для k = 2, 4, 6, ..., p - 3 .

Доказательство Куммера, что это эквивалентно определению числа классов, усилено теоремой Эрбрана – Рибета , которая устанавливает некоторые следствия деления p одного из этих чисел Бернулли.

Гипотеза Зигеля

Было высказано предположение, что правильных простых чисел бесконечно много. Точнее, Карл Людвиг Зигель  ( 1964 ) предположил, что e −1/2 , или около 60,65% всех простых чисел, регулярны в асимптотическом смысле естественной плотности . На сегодняшний день ни одна из гипотез не доказана.

Неправильные простые числа

Нечетное простое число, которое не является правильным, является неправильным простым числом (или неправильным числом Бернулли или B-неправильным числом, чтобы отличить его от других типов или неправильностей, обсуждаемых ниже). Первые несколько неправильных простых чисел:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (последовательность A000928 в OEIS )

Бесконечность

К.Л. Йенсен (малоизвестный ученик Нильсена ) в 1915 году доказал, что существует бесконечно много неправильных простых чисел вида 4 n + 3 . В 1954 году Карлитц дал простое доказательство более слабого результата о том, что неправильных простых чисел, вообще говоря, бесконечно много.

Метсянкюля доказал, что для любого целого T > 6 существует бесконечно много неправильных простых чисел не вида mT + 1 или mT - 1 , и позже обобщил это.

Неправильные пары

Если p - неправильное простое число и p делит числитель числа Бернулли B 2 k при 0 <2 k < p - 1 , то ( p , 2 k ) называется неправильной парой . Другими словами, нерегулярная пара - это средство бухгалтерского учета для записи для неправильного простого числа p конкретных индексов чисел Бернулли, при которых нарушается регулярность. Первые несколько неправильных пар (в порядке k ):

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797) , 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (последовательность A189683 в OEIS ).

Наименьшее четное k такое, что n- е нерегулярное простое деление B k равны

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, ​​126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (последовательность A035112 в OEIS )

Для данного простого числа p количество таких пар называется индексом неправильности числа p . Следовательно, простое число является правильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности равен нулю. Точно так же простое число является неправильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности положительный.

Было обнаружено, что ( p , p - 3) на самом деле является неправильной парой для p = 16843 , а также для p = 2124679 . При p <10 9 больше нет вхождений .

Нерегулярный индекс

Нечетное простое число p имеет неправильный индекс n тогда и только тогда, когда существует n значений k, для которых p делит B 2k, и эти k s меньше, чем ( p - 1) / 2 . Первое неправильное простое число с неправильным индексом больше 1 - это 157 , что делит B 62 и B 110 , поэтому оно имеет неправильный индекс 2. Ясно, что неправильный индекс правильного простого числа равен 0.

Неправильный индекс n- го простого числа равен

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Начните с n = 2 или простое число = 3) (последовательность A091888 в OEIS )

Неправильный индекс n- го неправильного простого числа равен

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (последовательность A091887 в OEIS )

Простые числа с неправильным индексом 1:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (последовательность A073276 в OEIS )

Простые числа с неправильным индексом 2:

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (последовательность A073277 в OEIS )

Простые числа с нерегулярным индексом 3:

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (последовательность A060975 в OEIS )

Наименьшие простые числа с нерегулярным индексом n :

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (последовательность A061576 в OEIS ) (Эта последовательность определяет «неправильный индекс 2» как -1, а также начинается с n = - 1. )

Обобщения

Неправильные простые числа Эйлера

Точно так же мы можем определить нерегулярное простое число Эйлера (или E-иррегулярное число) как простое число p, которое делит по крайней мере одно число Эйлера E 2n на 0 <2 n ≤ p - 3 . Первые несколько нерегулярных простых чисел Эйлера

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (последовательность A120337 в OEIS )

Неправильные пары Эйлера:

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437) , 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22) ), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Вандивер доказал, что Великая теорема Ферма ( x p + y p = z p ) не имеет решения для целых чисел x , y , z с НОД ( xyz , p ) = 1, если p эйлер-регулярен. Гут доказал, что x 2 p + y 2 p = z 2 p не имеет решения, если p имеет индекс E-неправильности меньше 5.

Было доказано, что существует бесконечное количество E-неправильных простых чисел. Был получен более сильный результат: существует бесконечное количество E-нерегулярных простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 8. Как и в случае B-регулярных простых чисел Куммера, пока нет доказательства того, что существует бесконечно много E-регулярных простых чисел, хотя это кажется правдой.

Сильные неправильные простые числа

Простое число p называется сильно нерегулярным, если оно одновременно B-иррегулярно и E-нерегулярно (индексы чисел Бернулли и Эйлера, которые делятся на p, могут быть одинаковыми или разными). Первые несколько сильных неправильных простых чисел:

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (последовательность A128197 в OEIS )

Доказать Великую теорему Ферма для сильного иррегулярного простого числа p сложнее (поскольку Куммер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для B-регулярных простых чисел, Вандивер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для E-регулярных простых чисел), наиболее трудность состоит в том, что p не только сильное неправильное простое число, но и 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 также являются составными ( доказал Лежандр первый случай Великой теоремы Ферма для простых чисел p таких, что хотя бы одно из 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 является простым числом), первые несколько таких р являются

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Слабые неправильные простые числа

Простое число p является слабым неправильным, если оно либо B-нерегулярно, либо E-нерегулярно (или и то, и другое). Первые несколько слабых неправильных простых чисел

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (последовательность A250216 в OEIS )

Подобно иррегулярности Бернулли, слабая регулярность связана с делимостью чисел классов круговых полей . Фактически, простое число p является слабым иррегулярным тогда и только тогда, когда p делит номер класса 4 p -го кругового поля Q ( ζ 4p ).

Слабые неправильные пары

В этом разделе « a n » означает числитель n- го числа Бернулли, если n четное, « a n » означает ( n - 1) -е число Эйлера, если n нечетное (последовательность A246006 в OEIS ).

Так как для каждого нечетного простого р , р делит р тогда и только тогда , когда р конгруэнтен 1 моды 4, и так как р делит знаменатель ( р - 1) го числа Бернулли для каждого нечетного простого р , так что для любого нечетного простого р , р не может разделить на р -1 . Кроме того, если и только если нечетное простое число р делит п (и 2 р не делит п ), то р также делит на п + К ( р - 1) (2 , если р делит п , то предложение должно быть изменено на « р также делит на п +2 кп » на самом деле, если 2. р делит п и р ( р - 1) не делит п , то р делит п ) для любого целого. к (а условие п + к ( p - 1) должно быть> 1). Например, так как 19 делит 11 и 2 × 19 = 38 не делится на 11, так что 19 делит 18 к +11 для всех к . Таким образом, определение неправильной пары ( p , n ) , n должно быть не более p - 2 .

В следующей таблице показаны все неправильные пары с нечетным простым числом p ≤ 661 :

п целые числа
0 ≤ N ≤ р - 2
такие , что р делит п 		п целые числа
0 ≤ N ≤ р - 2
такие , что р делит п 		п целые числа
0 ≤ N ≤ р - 2
такие , что р делит п 		п целые числа
0 ≤ N ≤ р - 2
такие , что р делит п 		п целые числа
0 ≤ N ≤ р - 2
такие , что р делит п 		п целые числа
0 ≤ N ≤ р - 2
такие , что р делит п
3 79 19 181 293 156 421 240 557 222
5 83 191 307 88, 91, 137 431 563 175, 261
7 89 193 75 311 87, 193, 292 433 215, 366 569
11 97 197 313 439 571 389
13 101 63, 68 199 317 443 577 52, 209, 427
17 103 24 211 331 449 587 45, 90, 92
19 11 107 223 133 337 457 593 22
23 109 227 347 280 461 196, 427 599
29 113 229 349 19, 257 463 130, 229 601
31 год 23 127 233 84 353 71, 186, 300 467 94, 194 607 592
37 32 131 22 239 359 125 479 613 522
41 год 137 43 год 241 211, 239 367 487 617 20, 174, 338
43 год 13 139 129 251 127 373 163 491 292, 336, 338, 429 619 371, 428, 543
47 15 149 130, 147 257 164 379 100, 174, 317 499 631 80, 226
53 151 263 100, 213 383 503 641
59 44 год 157 62, 110 269 389 200 509 141 643
61 7 163 271 84 397 521 647 236, 242, 554
67 27, 58 167 277 9 401 382 523 400 653 48
71 29 173 281 409 126 541 86, 465 659 224
73 179 283 20 419 159 547 270, 486 661

Единственные простые числа ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 3 - это 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 и 929. Кроме того, 491 - единственное простое число ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 4. , а все остальные нечетные простые числа ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 0, 1 или 2. ( Слабый нерегулярные индекс определяются как «число целых чисел 0 ≤ N ≤ р - 2 , такие , что р делит п .)

В приведенной ниже таблице показаны все неправильные пары с п ≤ 63. ( Для того, чтобы получить эти неправильные пары, нам нужно только факторизовать в п . Например, 34 = 17 × 151628697551 , но 17 <34 + 2 , так что единственный нерегулярные пару с n = 34 равно (151628697551, 34) ) (для получения дополнительной информации (четные n до 300 и нечетные n до 201) см.).

п простые числа р ≥ п + 2, что р делит п п простые числа р ≥ п + 2, что р делит п
0 32 37, 683, 305065927
1 33 930157, 42737921, 52536026741617
2 34 151628697551
3 35 год 4153, 8429689, 2305820097576334676593
4 36 26315271553053477373
5 37 9257, 73026287, 25355088490684770871
6 38 154210205991661
7 61 39 23489580527043108252017828576198947741
8 40 137616929, 1897170067619
9 277 41 год 763601, 52778129, 359513962188687126618793
10 42 1520097643918070802691
11 19, 2659 43 год 137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12 691 44 год 59, 8089, 2947939, 1798482437
13 43, 967 45 587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14 46 383799511, 67568238839737
15 47, 4241723 47 285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
16 3617 48 653, 56039, 153289748932447906241
17 228135437 49 5516994249383296071214195242422482492286460673697
18 43867 50 417202699, 47464429777438199
19 79, 349, 87224971 51 5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20 283, 617 52 577, 58741, 401029177, 4534045619429
21 год 41737, 354957173 53 1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
22 131, 593 54 39409, 660183281, 1120412849144121779
23 31, 1567103, 1427513357 55 2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24 103, 2294797 56 113161, 163979, 19088082706840550550313
25 2137, 111691689741601 57 год 5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26 год 657931 58 67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27 67, 61001082228255580483 59 1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28 год 9349, 362903 60 2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
29 71, 30211, 2717447, 77980901 61 6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30 1721, 1001259881 62 157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31 год 15669721, 28178159218598921101 63 101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393

В следующей таблице показаны неправильные пары ( p , p - n ) ( n ≥ 2 ), это гипотеза, что существует бесконечно много неправильных пар ( p , p - n ) для каждого натурального числа n ≥ 2 , но было найдено лишь несколько для фиксированного n . Для некоторых значений n даже такое простое число p неизвестно .

п простые числа р такие , что р делит р - н (эти р проверяются до 20000) Последовательность OEIS
2 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ... A198245
3 16843, 2124679, ... A088164
4 ...
5 37, ...
6 ...
7 ...
8 19, 31, 3701, ...
9 67, 877, ... A212557
10 139, ...
11 9311, ...
12 ...
13 ...
14 ...
15 59, 607, ...
16 1427, 6473, ...
17 2591, ...
18 ...
19 149, 311, 401, 10133, ...
20 9643, ...
21 год 8369, ...
22 ...
23 ...
24 17011, ...
25 ...
26 год ...
27 ...
28 год ...
29 4219, 9133, ...
30 43, 241, ...
31 год 3323, ...
32 47, ...
33 101, 2267, ...
34 461, ...
35 год ...
36 1663, ...
37 ...
38 101, 5147, ...
39 3181, 3529, ...
40 67, 751, 16007, ...
41 год 773, ...

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки