Целое число Эйзенштейна - Eisenstein integer

Целые числа Эйзенштейна как точки пересечения треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике , Эйзенштейн целых числа (названные в честь Готхольда Eisenstein ), иногда называемые также эйлеровые целые числа (после Леонарда Эйлера ), являются комплексными числами вида

${\ Displaystyle г = а + б \ омега,}$

где a и b - целые числа и

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {-1 + i {\ sqrt {3}}} {2}} = e ^ {i {\ frac {2 \ pi} {3}}}}$

является примитивным (следовательно, нереальным) кубическим корнем из единицы . Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна - это счетное бесконечное множество .

Характеристики

Числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо из алгебраических чисел в поле алгебраических чисел - третье круговое поле . Чтобы убедиться, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, обратите внимание, что каждое z = a + bω является корнем монического многочлена${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ omega)}$  

${\ displaystyle z ^ {2} - (2a-b) \; \! z + \ left (a ^ {2} -ab + b ^ {2} \ right) ~.}$

В частности, ω удовлетворяет уравнению

${\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0 ~.}$

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна a + bω и c + dω явно задается формулой     

${\ displaystyle (a + b \; \! \ omega) \; \! (c + d \; \! \ omega) = (ac-bd) + (bc + ad-bd) \; \! \ omega ~ .}$

Норма целого числа Эйзенштейна - это просто квадрат его модуля и определяется выражением

${\ displaystyle {\ left | a + b \; \! \ omega \ right |} ^ {2} \, = \, {(a - {\ tfrac {1} {2}} b)} ^ {2} + {\ tfrac {3} {4}} b ^ {2} \, = \, a ^ {2} -ab + b ^ {2} ~,}$

что, очевидно, является обычным положительным (рациональным) целым числом.

Кроме того, комплексно сопряженное к ω удовлетворяет

${\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = \ omega ^ {2} ~.}$

Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическая группа , образованная шестые корни из единицы в комплексной плоскости: целые числа Эйзенштейн нормы 1. ${\ displaystyle \ left \ {\ pm 1, \ pm \ omega, \ pm \ omega ^ {2} \ right \} ~,}$

Простые числа Эйзенштейна

Малые простые числа Эйзенштейна.

Если x и y - целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y, если существует некоторое целое число Эйзенштейна z такое, что y = zx . Неединичное целое число Эйзенштейна x называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют вид ux , где u - любая из шести единиц.

Есть два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычное простое число (или рациональное простое число ), которое конгруэнтно 2 по модулю 3 , также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, 3 и любое рациональное простое число, конгруэнтное 1 по модулю 3 , равно норме x ² - xy + y ² целого числа Эйзенштейна x + ωy . Таким образом, такое простое число может быть разложено на множители как ( x + ωy ) ( x + ω ² y ) , и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область , норма N которой задается квадратом модуля, как указано выше:

${\ Displaystyle N (a + b \, \ omega) = a ^ {2} -ab + b ^ {2}.}$

Алгоритм деления , применяется к любому делимому и делителю , дает частное и остаток меньше делителя, удовлетворяющий: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta \ neq 0}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ alpha = \ kappa \ beta + \ rho \ \ {\ text {with}} \ \ N (\ rho) <N (\ beta).}$

Вот все целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна. ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ каппа, \ rho}$

Один алгоритм деления следующий. Сначала выполните деление в поле комплексных чисел и запишите частное через ω:

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ = \ {\ tfrac {1} {\ | \ beta | ^ {2}}} \ alpha {\ overline {\ beta}} \ = \ a + bi \ = \ a + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} b + {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}} b \ omega,}$

для рационального . Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округляя рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа: ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ kappa = \ left \ lfloor a + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} b \ right \ rceil + \ left \ lfloor {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}} b \ right \ rceil \ omega \ \ {\ text {and}} \ \ \ rho = {\ alpha} - \ kappa \ beta.}$

Здесь может обозначаться любая из стандартных функций округления до целого числа. ${\ displaystyle \ lfloor x \ rceil}$

Причина, по которой это выполняется , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целочисленных колец, заключается в следующем. Фундаментальной областью идеала , действующего посредством сдвигов на комплексной плоскости, является ромб 60 ° -120 ° с вершинами . Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а частное является одной из его вершин. Остаток - это квадратное расстояние от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме равно только , so . (Размер ρ можно немного уменьшить, приняв его за ближайший угол.) ${\ Displaystyle N (\ rho) <N (\ бета)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega] \ beta = \ mathbb {Z} \ beta + \ mathbb {Z} \ omega \ beta}$${\ displaystyle 0, \ beta, \ omega \ beta, \ beta {+} \ omega \ beta}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} | \ beta |}$${\ displaystyle | \ rho | \ leq {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} | \ beta | <| \ beta |}$${\ displaystyle \ kappa}$

Частное от C по целым числам Эйзенштейна

Фактор комплексной плоскости С помощью решетки , содержащей все целых числа Эйзенштейн является комплексным тором вещественной размерности 2. Это один из двух торы с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. Этот тор можно получить, отождествив каждую из трех пар противоположных ребер правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор представляет собой фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке целых гауссовских чисел , и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, такой как [0,1] × [ 0,1] .)

Смотрите также

• Гауссовское целое число
• Циклотомическое поле
• Систолическая геометрия
• Постоянная Эрмита
• Кубическая взаимность
• Неравенство тора Лёвнера
• Кватернион Гурвица
• Квадратичное целое число
• Эллиптические функции Диксона

Примечания

внешние ссылки

• Целое число Эйзенштейна - из MathWorld