Стена – Солнце – Солнце премьер - Wall–Sun–Sun prime

Стена – Солнце – Солнце премьер

Названный в честь	Дональд Дайнс Уолл , Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун
Год публикации	1992 г.
Количество известных терминов	0
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный

В теории чисел , премьер Уолл-ВС-ВС или Фибоначчи-простое число виферих определенного вид простого числа , который предположил существование, хотя никто не известен.

Определение

Позвольте быть простым числом. Когда каждый член в последовательности чисел Фибоначчи сокращается по модулю , результатом является периодическая последовательность . (Минимальная) длина периода этой последовательности называется периодом Пизано и обозначается . Так как отсюда следует, что p делится . Простое число p такое, что p ² делится , называется простым числом Уолла – Солнца – Солнца . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ пи (р)}$${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle F _ {\ pi (p)}}$${\ Displaystyle F _ {\ pi (p)}}$

Эквивалентные определения

Если обозначает ранг появления по модулю (т. Е. Является наименьшим положительным индексом , который делит ), то простое число Уолла – Солнца – Солнца может быть эквивалентно определено как простое число, такое, что делится . ${\ Displaystyle \ альфа (м)}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ альфа (м)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle F _ {\ alpha (m)}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {2}}$${\ displaystyle F _ {\ alpha (p)}}$

Для простого p 2, 5 ранг появления, как известно, делится , где символ Лежандра имеет значения ${\ Displaystyle \ альфа (р)}$${\ displaystyle p- \ left ({\ tfrac {p} {5}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {p} {5}} \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {5}} \ right) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} p \ Equiv \ pm 1 {\ pmod {5}}; \\ -1 & {\ text {if}} p \ Equiv \ pm 2 {\ pmod {5}}. \ End {case}}}$

Это наблюдение приводит к эквивалентной характеристике простых чисел Уолла – Солнца – Солнца как таких простых чисел , которые делят число Фибоначчи . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {2}}$${\ Displaystyle F_ {p- \ left ({\ frac {p} {5}} \ right)}}$

Простое число является простым числом Стена – Солнце – Солнце тогда и только тогда, когда . ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ пи (п ^ {2}) = \ пи (р)}$

Простое число является простым числом Стены – Солнца – Солнца тогда и только тогда , когда , где - -е число Лукаса . ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle L_ {p} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {2}}}}$${\ displaystyle L_ {p}}$${\ displaystyle p}$

Макинтош и Рёттгер устанавливают несколько эквивалентных характеристик простых чисел Лукаса – Вифериха . В частности, пусть ; то следующие эквиваленты: ${\ displaystyle \ epsilon = \ left ({\ tfrac {p} {5}} \ right)}$

• ${\ Displaystyle F_ {p- \ epsilon} \ Equiv 0 {\ pmod {p ^ {2}}}}$
• ${\ Displaystyle L_ {п- \ эпсилон} \ экв 2 \ эпсилон {\ pmod {р ^ {4}}}}$
• ${\ Displaystyle L_ {п- \ эпсилон} \ экв 2 \ эпсилон {\ pmod {р ^ {3}}}}$
• ${\ Displaystyle F_ {p} \ Equiv \ epsilon {\ pmod {p ^ {2}}}}$
• ${\ Displaystyle L_ {p} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {2}}}}$

Существование

В исследовании периода Пизано , Дональд Dines Стена установила , что есть нет Wall-вс-вс простых чисел меньше . В 1960 году он писал: ${\ Displaystyle к (р)}$${\ displaystyle 10000}$

Самая сложная проблема, с которой мы столкнулись в этом исследовании, касается гипотезы . Мы провели тест на цифровом компьютере, который показывает это для всех до ; однако мы не можем доказать, что это невозможно. Вопрос тесно связан с другим: «Может ли число иметь одинаковый порядок мод и моду ?», На который в редких случаях даётся утвердительный ответ (например ,; ); следовательно, можно предположить, что равенство может иметь место для некоторых исключений .${\ Displaystyle к (р ^ {2}) \ neq к (р)}$${\ Displaystyle к (р ^ {2}) \ neq к (р)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 10000}$${\ Displaystyle к (п ^ {2}) = к (р)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {2}}$${\ displaystyle x = 3, p = 11}$${\ displaystyle x = 2, p = 1093}$${\ displaystyle p}$

С тех пор было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Стена – Солнце – Солнце. По состоянию на декабрь 2020 года простые числа Стена – Солнце – Солнце не известны.

В 2007 году Ричард Дж. Макинтош и Эрик Л. Рёттгер показали, что если они существуют, то они должны быть> 2 × 10 ¹⁴ . Дорайс и Клив расширили этот диапазон до 9,7 × 10 ^14, не найдя такого простого числа.

В декабре 2011 года , еще один поиск был начат в PrimeGrid проекта, однако она была приостановлена в мае 2017. В ноябре 2020 года PrimeGrid начал еще один проект , который ищет Wieferich и Уолл-Sun-Sun простых чисел одновременно. По состоянию на декабрь 2020 года его передовой рубеж закончился . ${\ displaystyle 300 \ cdot 10 ^ {15}}$

История

Простые числа Стена – Солнце – Солнце названы в честь Дональда Дайнса Уолла , Чжи Хун Сун и Чжи Вей Сун ; ZH Sun и ZW Sun показали в 1992 году, что если первый случай Великой теоремы Ферма был ложным для некоторого простого числа p , то p должно было быть простым числом Стены – Солнца – Солнца. В результате, до доказательства Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом поиск простых чисел Стена – Солнце – Солнце был также поиском потенциального контрпримера к этой многовековой гипотезе .

Обобщения

Tribonacci-простое число вифериха является простым р , удовлетворяющее ч ( р ) = ч ( р ² ) , где ч наименьшее положительное целое число , удовлетворяющее [ Т _ч , Т _{ч + 1} , Т _{ч +2} ] ≡ [ Т ₀ , Т ₁ , Т ₂ ] ( по модулю т ) и Т _п обозначает п -е число tribonacci . Простое число трибоначчи – Вифериха меньше 10 ^{11 не существует} .

Пэлл-простое число вифериха является простым р , удовлетворяющих P ² делит Р _{р -1} , когда р конгруэнтны 1 или 7 ( по модулю 8), или р ² делит Р _{р + 1} , когда р конгруэнтны 3 или 5 ( по модулю 8) , где Р _п обозначает п -го числа Pell . Например, 13, 31 и 1546463 являются простыми числами Пелла – Вифериха, и никакие другие числа меньше 10 ⁹ (последовательность A238736 в OEIS ). Фактически, простые числа Пелля – Вифериха являются простыми числами 2-Стены – Солнца – Солнца.

Простые числа у стены – Солнца – Солнца

Простое число p такое, что с малым | А | называется простым числом у Стены – Солнца – Солнца . Простые числа у стены – Солнца – Солнца с A = 0 будут простыми числами Стена – Солнце – Солнце. PrimeGrid записывает случаи с помощью | А | ≤ 1000. Известна дюжина случаев, когда A = ± 1 (последовательность A347565 в OEIS ). ${\ Displaystyle F_ {p- \ left ({\ frac {p} {5}} \ right)} \ Equiv Ap {\ pmod {p ^ {2}}}}$

Простые числа Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D

Wall-вс-вс простых чисел можно рассматривать для поля с дискриминантной D . Для обычных простых чисел Уолла – Солнца – Солнца D = 5. В общем случае простое число Люка – Вифериха p, ассоциированное с ( P , Q ), является простым числом Вифериха с основанием Q и простым числом Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D = Р ² - 4 Q . В этом определении, премьер - р должен быть нечетным и не делить D . ${\ displaystyle Q _ {\ sqrt {D}}}$

Он высказал предположение , что для любого натурального числа D , существует бесконечное множество Уолл-вс-вс простых чисел с дискриминантной D .

Случай соответствует простым числам k- Стена – Солнце – Солнце , для которых простые числа Стена – Солнце – Солнце представляют собой частный случай k = 1. Простые числа k -Стена – Солнце – Солнце могут быть явно определены как простые числа p, такие что p ² делит k- число Фибоначчи , где F _k ( n ) = U _n ( k , −1) - последовательность Люка первого рода с дискриминантом D = k ² + 4 и является периодом Пизано k- чисел Фибоначчи по модулю стр . Для простого числа p ≠ 2, не делящего D , это условие эквивалентно любому из следующих. ${\ displaystyle (P, Q) = (k, -1)}$${\ Displaystyle F_ {к} (\ пи _ {к} (р))}$ ${\ displaystyle \ pi _ {k} (p)}$

• p ² делит , где - символ Кронекера ;${\ displaystyle F_ {k} \ left (p- \ left ({\ tfrac {D} {p}} \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {D} {p}} \ right)}$
• V _p ( k , −1) ≡ k (mod p ² ), где V _n ( k , −1) - последовательность Люка второго рода.

Наименьшие простые числа k- Стены – Солнца – Солнца для k = 2, 3, ...

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (последовательность A271782 в OEIS )

k	часть D без квадратов ( OEIS :  A013946 )	простые числа k -Стена – Солнце – Солнце	Примечания
1	5	...	Никто не известен.
2	2	13, 31, 1546463, ...
3	13	241, ...
4	5	2, 3, ...	Поскольку это второе значение k, для которого D = 5, простые числа k -Wall – Sun – Sun включают простые множители 2 * 2−1, которые не делят 5. Поскольку k делится на 4, 2 - это k -Стена – Солнце – Солнце простое.
5	29	3, 11, ...
6	10	191, 643, 134339, 25233137, ...
7	53	5, ...
8	17	2, ...	Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца.
9	85	3, 204520559, ...
10	26	2683, 3967, 18587, ...
11	5	...	Поскольку это третье значение k, для которого D = 5, простые числа k -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 3–1, которые не делят 5.
12	37	2, 7, 89, 257, 631, ...	Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца.
13	173	3, 227, 392893, ...
14	2	3, 13, 31, 1546463, ...	Поскольку это второе значение k, для которого D = 2, простые числа k -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 2–1, которые не делят 2.
15	229	29, 4253, ...
16	65	2, 1327, 8831, 569831, ...	Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца.
17	293	1192625911, ...
18	82	3, 5, 11, 769, 256531, 624451181, ...
19	365	11, 233, 165083, ...
20	101	2, 7, 19301, ...	Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца.
21 год	445	23, 31, 193, ...
22	122	3, 281, ...
23	533	3, 103, ...
24	145	2, 7, 11, 17, 37, 41, 1319, ...	Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца.
25	629	5, 7, 2687, ...
26	170	79, ...
27	733	3, 1663, ...
28 год	197	2, 1431615389, ...	Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца.
29	5	7, ...	Поскольку это четвертое значение k, для которого D = 5, простые числа k -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 4-1, которые не делят 5.
30	226	23, 1277, ...

D	Простые числа Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D (проверено до 10 9 )	Последовательность OEIS
1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)	A065091
2	13, 31, 1546463, ...	A238736
3	103, 2297860813, ...	A238490
4	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
5	...
6	(3), 7, 523, ...
7	...
8	13, 31, 1546463, ...
9	(3), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
10	191, 643, 134339, 25233137, ...
11	...
12	103, 2297860813, ...
13	241, ...
14	6707879, 93140353, ...
15	(3), 181, 1039, 2917, 2401457, ...
16	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
17	...
18	13, 31, 1546463, ...
19	79, 1271731, 13599893, 31352389, ...
20	...
21 год	46179311, ...
22	43, 73, 409, 28477, ...
23	7, 733, ...
24	7, 523, ...
25	3, (5), 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
26	2683, 3967, 18587, ...
27	103, 2297860813, ...
28 год	...
29	3, 11, ...
30	...

Смотрите также

• Виферих прайм
• Wolstenholme Prime
• Уилсон прайм
• PrimeGrid
• Простое число Фибоначчи
• Период Пизано
• Таблица сравнений

использованная литература

дальнейшее чтение

• Crandall, Ричард Э .; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива . Springer. п. 29 . ISBN 0-387-94777-9.
• Саха, Арпан; Картик, CS (2011). "Несколько эквивалентностей гипотезы Уолла – Солнца – Солнца о простом". arXiv : 1102,1636 [ math.NT ].

внешние ссылки

• Крис Колдуэлл, Главный Глоссарий: Стена – Солнце – Солнце премьер на Prime Pages .
• Вайсштейн, Эрик В. "Стена – Солнце – Солнце простое число" . MathWorld .
• Ричард Макинтош, Статус поиска простых чисел Стена – Солнце – Солнце (октябрь 2003 г.)
• Последовательность OEIS A000129 (простые числа p, которые делят свои частные Пелла, где частное Пелля для p равно A000129 (p - (2 / p)) / p и (2 / p) является символом Якоби)