Пьерпон прайм - Pierpont prime

Pierpont Prime
Названный в честь	Джеймс Пирпонт
Количество известных терминов	Тысячи
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
подпоследовательности из	Число Пьерпон
Первые триместры	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Самый большой известный термин	3 × 2 16 408 818 + 1
Индекс OEIS	A005109

Пьерпонт главным является простым числом вида

{\ Displaystyle 2 ^ {и} \ cdot 3 ^ {v} +1 \,}

для некоторых неотрицательных целых

u

и

v

. То есть, они являются простыми числами

р

, для которых

р - 1

является 3-гладким . Они названы в честь математика Джеймса Пирпонта , который представил их при изучении правильных многоугольников, которые могут быть построены с использованием конических сечений , они также являются правильными многоугольниками, которые можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла , они также являются правильными многоугольниками, которые можно построить с помощью складывания бумаги .

Простое число Пьерпона с $v = 0$ имеет форму и, следовательно, является простым числом Ферма (если $u$ $= 0$ ). Если $v$ является положительным , то $у$ также должна быть положительной (потому что было бы четное число , большее 2 , и , следовательно , не простое число ), и , следовательно, не-Ферма Piermont простых чисел все имеют вид $6$ $K$ $+ 1$ , когда $к$ является положительным целым числом ( кроме 2, когда $u$ $=$ $v$ $= 0$ ). ${\ displaystyle 2 ^ {u} +1}$ ${\ displaystyle 3 ^ {v} +1}$

Первые несколько простых чисел Пьерпонта:

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... (последовательность A005109 в OEIS )

Распределение

Нерешенная задача по математике :

Бесконечно много простых чисел Пьерпонта?

(больше нерешенных задач по математике)

Распределение показателей для меньших простых чисел Пьерпонта

Эмпирически простые числа Пьерпонта не кажутся особенно редкими или редко встречающимися; 42 простых числа Пьерпона меньше 10 ⁶ , 65 меньше 10 ⁹ , 157 меньше 10 ²⁰ и 795 меньше 10 ¹⁰⁰ . Есть несколько ограничений от алгебраических разложений на простые числа Пирпонта, поэтому нет таких требований, как условие простого числа Мерсенна, что показатель должен быть простым. Таким образом, ожидается, что среди $n-$ значных чисел правильной формы доля простых чисел должна быть пропорциональна $1 /$ $n$ , что аналогично доле простых чисел среди всех $n-$ значных чисел. Поскольку в этом диапазоне есть числа правильной формы, должны быть простые числа Пьерпона. ${\ displaystyle 2 ^ {u} \ cdot 3 ^ {v} +1}$ ${\ Displaystyle \ Theta (п ^ {2})}$ ${\ Displaystyle \ Theta (п)}$

Эндрю М. Глисон сделал это рассуждение явным, предположив, что существует бесконечно много простых чисел Пирпонта, а точнее, что должно быть приблизительно $9 n$ простых чисел Пирпонта до $10 n$ . Согласно гипотезе Глисона, существуют простые числа Пирпонта, меньшие, чем N , в отличие от меньшего предполагаемого числа простых чисел Мерсенна в этом диапазоне. ${\ Displaystyle \ Theta (\ журнал N)}$ ${\ Displaystyle О (\ журнал \ журнал N)}$

Проверка на первичность

Когда , простоту можно проверить по теореме Прота . С другой стороны, когда возможны альтернативные тесты на простоту , основанные на факторизации небольшого четного числа, умноженного на большую степень 3 . ${\ displaystyle 2 ^ {u}> 3 ^ {v}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {u} \ cdot 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {u} <3 ^ {v}}$ ${\ Displaystyle М = 2 ^ {и} \ cdot 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle M-1}$

Простые числа Пьерпона, найденные как множители чисел Ферма

В рамках продолжающегося во всем мире поиска факторов чисел Ферма некоторые простые числа Пьерпонта были объявлены факторами. В следующей таблице приведены такие значения m , k и n , что

{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {m}} + 1 {\ text {делится на}} 3 ^ {k} \ cdot 2 ^ {n} +1.}

Левая часть представляет собой простое число Пьерпона, когда k является степенью 3; правая часть - число Ферма.


м	k	п	Год	Первооткрыватель
38	1	41 год	1903 г.	Каллен , Каннингем и вестерн
63	2	67	1956 г.	Робинсон
207	1	209	1956 г.	Робинсон
452	3	455	1956 г.	Робинсон
9428	2	9431	1983 г.	Келлер
12185	4	12189	1993 г.	Дубнер
28281	4	28285	1996 г.	Таура
157167	1	157169	1995 г.	Молодой
213319	1	213321	1996 г.	Молодой
303088	1	303093	1998 г.	Молодой
382447	1	382449	1999 г.	Косгрейв и Галлот
461076	1	461081	2003 г.	Нохара, Джоблинг , Вольтман и Галлот
495728	5	495732	2007 г.	Кейзер, Джоблинг, Пенне и Фужерон
672005	3	672007	2005 г.	Купер , Джоблинг, Уолтман и Галлот
2145351	1	2145353	2003 г.	Косгрейв, Джоблинг, Вольтман и Галлот
2478782	1	2478785	2003 г.	Косгрейв, Джоблинг, Вольтман и Галлот
2543548	2	2543551	2011 г.	Браун, Рейнольдс, Пенне и Фужерон

По состоянию на 2020 год наибольшее известное простое число Пирпонта - 3 × 2 ^16408818 + 1 (4939547 десятичных цифр), простота которого была обнаружена в октябре 2020 года.

Строительство многоугольника

В математике складывания бумаги , то аксиомы Huzita определяют шесть из семи типов складки возможно. Было показано, что этих складок достаточно для построения точек, решающих любое кубическое уравнение . Отсюда следует, что они позволяют сформировать любой правильный многоугольник из $N$ сторон, если $N \geq 3$ и имеет вид $2 m 3 n ρ$ , где $ρ$ - произведение различных простых чисел Пьерпона. Это тот же класс правильных многоугольников, что и те, которые можно построить с помощью циркуля , линейки и трисектора угла . Правильные многоугольники, которые могут быть построены только с помощью циркуля и линейки ( конструктивные многоугольники ), являются частным случаем, когда $n = 0$ и $ρ$ является произведением различных простых чисел Ферма , которые сами являются подмножеством простых чисел Пьерпона.

В 1895 году Джеймс Пирпон изучил тот же класс правильных многоугольников; его работа - это то, что дало название простым числам Пьерпонта. Пьерпон по-другому обобщил конструкции компаса и линейки, добавив возможность рисовать конические секции , коэффициенты которых берутся из ранее построенных точек. Как он показал, что регулярные $N$ -угольник , которые могут быть построены с этими операциями являются те , например , что totient из $N$ является 3-гладким. Поскольку число простого числа образуется путем вычитания из него единицы, простые числа $N,$ для которых работает конструкция Пирпонта, в точности являются простыми числами Пьерпона. Однако Пьерпон не описал форму составных чисел с 3-мя гладкими числами. Как позже показал Глисон, эти числа в точности совпадают с приведенными выше числами в форме $2 m 3 n ρ$ .

Наименьшее простое число, не являющееся простым числом Пирпонта (или Ферма), равно 11; следовательно, пятиугольник - это первый правильный многоугольник, который нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трехугольника (оригами или конических секций). Все остальные правильные $N$ -угольники с $3 \leq N \leq 21$ могут быть построены с помощью циркуля, линейки и трисектора.

Обобщение

Пьерпонт простое второго рода простое число вида 2 ^U 3 ^V - 1. Эти цифры

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (последовательность A005105 в OEIS )

Самые большие известные простые числа этого типа - простые числа Мерсенна ; в настоящее время самый большой из известных (24 862 048 десятичных знаков). PrimeGrid обнаружила наибольшее известное простое число Пирпонта второго типа, не являющееся простым числом Мерсенна . ${\ displaystyle 2 ^ {82589933} -1}$ ${\ displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {11895718} -1}$

Обобщен Пьерпонт простой является простой формой с K фиксированных простых чисел р ₁ < р ₂ < р ₃ <... < р _K . Обобщен Пьерпонт простого второго рода является простой формой с K фиксированных простых чисел р ₁ < р ₂ < р ₃ <... < р _к . Поскольку все простые числа больше 2 нечетны , в обоих типах p ₁ должно быть равно 2. Последовательности таких простых чисел в OEIS следующие: ${\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} \! \ cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} \! \ cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} \! \ cdot \ ldots \ cdot p_ {k} ^ {n_ {k}} + 1}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} \! \ cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} \! \ cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} \! \ cdot \ ldots \ cdot p_ {k} ^ {n_ {k}} - 1}$

{ p ₁ , p ₂ , p ₃ , ..., p _k }	+1	- 1
{2}	OEIS : A092506	OEIS : A000668
{2, 3}	OEIS : A005109	OEIS : A005105
{2, 5}	OEIS : A077497	OEIS : A077313
{2, 3, 5}	OEIS : A002200	OEIS : A293194
{2, 7}	OEIS : A077498	OEIS : A077314
{2, 3, 5, 7}	OEIS : A174144
{2, 11}	OEIS : A077499	OEIS : A077315
{2, 13}	OEIS : A173236	OEIS : A173062

Смотрите также

Простое число прот, простые числа вида, где k и n - натуральные числа, нечетное и ${\ Displaystyle N = к \ cdot 2 ^ {n} +1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}> к.}$

Languages

In other projects