Proth Prime - Proth prime

Proth Prime

Названный в честь	Франсуа Прот
Год публикации	1878 г.
Автор публикации	Прот, Франсуа
Количество известных терминов	Более 1,5 миллиарда Менее 2 70
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
подпоследовательности из	Простые числа, простые числа
Формула	к  × 2 п + 1
Первые триместры	3, 5, 13, 17, 41, 97, 113
Самый большой известный термин	10223 × 2 31172165 + 1 (по состоянию на декабрь 2019 г.)
Индекс OEIS

Номер Proth является натуральным числом N вида , где к и п имеют положительные целые числа , к является нечетным и . Proth премьер ряд Proth что премьер . Они названы в честь французского математика Франсуа Прот . Первые несколько простых чисел Proth: ${\ Displaystyle N = к \ cdot 2 ^ {n} +1}$${\ displaystyle 2 ^ {n}> k}$

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 ( OEIS :  A080076 ).

Простота чисел Proth может быть проверена легче, чем многие другие числа аналогичной величины.

Определение

Число Proth принимает форму, где k и n - натуральные числа, нечетное и . Простое число Proth - это простое число Proth. ${\ Displaystyle N = k2 ^ {n} +1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2 ^ {n}> k}$

Без условия, что все нечетные целые числа больше 1 будут числами Proth. ${\ displaystyle 2 ^ {n}> k}$

Проверка на первичность

Простота числа Proth может быть проверена с помощью теоремы Proth , которая гласит, что число Proth является простым тогда и только тогда, когда существует целое число, для которого ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ Equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

Эта теорема может быть использована в качестве вероятностного теста простоты, проверяя для многих случайных выборов ли сбой Если удерживать в течение нескольких случайных , то весьма вероятно , что число является композитом . Этот тест является алгоритмом Лас-Вегаса : он никогда не возвращает ложноположительный результат, но может возвращать ложноотрицательный результат ; другими словами, он никогда не сообщает составное число как « возможно простое », но может сообщать простое число как «возможно составное». ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ Equiv -1 {\ pmod {p}}.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$

В 2008 году Сзе создал детерминированный алгоритм, который работает в большинстве случаев, где Õ - это обозначение soft-O . Для типичного поиска простых чисел Proth обычно либо фиксированный (например, поиск простых чисел 321 или задача Серпинского), либо порядок (например,  поиск простых чисел Каллена ). В этих случаях алгоритм работает максимум или время для всех . Также есть алгоритм, работающий во времени. ${\ Displaystyle {\ тильда {O}} ((к \ журнал к + \ журнал N) (\ журнал N) ^ {2})}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle О (\ журнал N)}$${\ Displaystyle {\ тильда {O}} ((\ журнал N) ^ {3})}$${\ Displaystyle О ((\ журнал N) ^ {3+ \ epsilon})}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle {\ тильда {O}} ((\ журнал N) ^ {24/7})}$

Большие простые числа

По состоянию на 2019 год самый крупный из известных Proth Prime - это . Его длина составляет 9,383,761 цифра. Оно было обнаружено Сабольчем Петером в проекте распределенных вычислений PrimeGrid, о котором было объявлено 6 ноября 2016 года. Это также крупнейшее известное простое число, не относящееся к Мерсенну . ${\ displaystyle 10223 \ cdot 2 ^ {31172165} +1}$

Проект Seventeen or Bust , ищущий простые числа Proth с некоторым доказательством того, что 78557 является наименьшим числом Серпинского ( задача Серпинского ), к 2007 году нашел 11 больших простых чисел Proth , из которых 5 являются мегапростыми числами . Подобные решения простой задачи Серпинского и расширенной задачи Серпинского дали еще несколько чисел. ${\ displaystyle t}$

По состоянию на декабрь 2019 года PrimeGrid является ведущим вычислительным проектом для поиска простых чисел Proth. В его основные проекты входят:

• общий поиск Proth Prime
• 321 Prime Search (поиск простых чисел формы , также называемых простыми числами Табита второго рода )${\ Displaystyle 3 \ раз 2 ^ {п} +1}$
• 27121 Prime Search (поиск простых чисел вида и )${\ displaystyle 27 \ times 2 ^ {n} +1}$${\ displaystyle 121 \ times 2 ^ {n} +1}$
• Поиск простых чисел Каллена (поиск простых чисел формы )${\ Displaystyle п \ раз 2 ^ {п} +1}$
• Задача Серпинского (и их простые и расширенные обобщения) - поиск простых чисел вида, где k находится в этом списке:${\ Displaystyle к \ раз 2 ^ {п} +1}$

k ∈ {21181, 22699, 24737, 55459, 67607, 79309, 79817, 91549, 99739, 131179, 152267, 156511, 163187, 200749, 202705, 209611, 222113, 225931, 227723, 229673, 237019, 238411}

По состоянию на декабрь 2019 года самыми крупными обнаруженными простыми числами Proth являются:

классифицировать	основной	цифры	когда	Каллен Прайм ?	Первооткрыватель (Проект)	использованная литература
1	10223 · 2 31172165 + 1	9383761	31 октября 2016 г.		Сабольч Петер (Проблема Серпинского)
2	168451 · 2 19375200 + 1	5832522	17 сен 2017		Бен Мэлони (простая задача Серпинского)
3	19249 · 2 13018586 + 1	3918990	26 марта 2007 г.		Константин Агафонов (Семнадцать или бюст)
4	193997 · 2 11452891 + 1	3447670	3 апреля 2018 г.		Том Грир (Расширенная проблема Серпинского)
5	3 · 2 10829346 + 1	3259959	14 янв 2014		Сай Ик Тан (321 Prime Search)
6	27653 · 2 9167433 + 1	2759677	8 июня 2005 г.		Дерек Гордон (семнадцать или бюст)
7	90527 · 2 9162167 + 1	2758093	30 июня 2010 г.		Неизвестно (простая задача Серпинского)
8	28433 · 2 7830457 + 1	2357207	30 декабря 2004 г.		Team Prime Rib (семнадцать или бюст)
9	161041 · 2 7107964 + 1	2139716	6 янв 2015		Мартин Ванц (Расширенная проблема Серпинского)
10	27 · 2 7046834 + 1	2121310	11 октября 2018 г.		Эндрю М. Фэрроу (27121 Prime Search)
11	3 · 2 7033641 + 1	2117338	21 февраля 2011 г.		Майкл Хердер (321 Prime Search)
12	33661 · 2 7031232 + 1	2116617	17 октября 2007 г.		Стерле Сунде (Семнадцать или Бюст)
13	6679881 · 2 6679881 + 1	2010852	25 июл 2009	да	Магнус Бергман (Каллен Прайм Поиск)
14	1582137 · 2 6328550 + 1	1905090	20 апреля 2009 г.		Деннис Р. Гескер (Поиск Каллена Прайм)
15	7 · 2 5775996 + 1	1738749	2 ноя 2012		Мартин Элви (Поиск Прот Прайм)
16	9 · 2 5642513 + 1	1698567	29 ноя 2013		Серж Баталов
17	258317 · 2 5450519 + 1	1640776	28 июля 2008 г.		Скотт Гилви (Простая задача Серпинского)
18	27 · 2 5213635 + 1	1569462	9 марта 2015 г.		Хироюки Окадзаки (27121 Prime Search)
19	39 · 2 5119458 + 1	1541113	23 ноя 2019		Скотт Браун (Fermat Divisor Prime Search)
20	3 · 2 5082306 + 1	1529928	3 апреля 2009 г.		Энди Брэди (321 Prime Search)

Использует

Маленькие простые числа Proth (менее 10 ²⁰⁰ ) использовались при построении простых лестниц, последовательностей простых чисел, так что каждый член "близок" (в пределах примерно 10 ¹¹ ) к предыдущему. Такие лестницы использовались для эмпирической проверки гипотез, связанных с простыми числами . Например, слабая гипотеза Гольдбаха была проверена в 2008 году до 8,875 × 10 ³⁰ с использованием простых лестниц, построенных из простых чисел Proth. (Гипотеза была позже доказана Харальдом Хельфготтом .)

Кроме того , Proth простых чисел может оптимизировать ден Бур сокращения между проблемы Диффи-Хеллмана и задачи дискретного логарифма . Таким образом было использовано простое число 55 × 2 ²⁸⁶  + 1.

Поскольку простые числа Proth имеют простые двоичные представления, они также использовались для быстрого модульного сокращения без необходимости предварительного вычисления, например, Microsoft .

использованная литература