Теорема обращения Фурье - Fourier inversion theorem

В математике , то теорема Фурье инверсии говорит , что для многих типов функций можно восстановить функцию от его преобразования Фурье . Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем всю информацию о частоте и фазе волны, то мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция, удовлетворяющая определенным условиям, и мы используем соглашение для преобразования Фурье, что ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy,}$

тогда

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi.}$

Другими словами, теорема говорит, что

${\ Displaystyle е (х) = \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} e ^ {2 \ pi i (xy) \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy \, d \ xi.}$

Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье .

Другой способ сформулировать теорему, что если оборотная оператор есть , то ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle (Rf) (х): = f (-x)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {F}} R = R {\ mathcal {F}}.}$

Теорема верна, если оба и их преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ) и непрерывны в точке . Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Заявление

В этом разделе мы предполагаем, что это интегрируемая непрерывная функция. Используйте соглашение для преобразования Фурье, которое ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f ( y) \, dy.}$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл

Чаще всего в теореме обращения Фурье обратное преобразование формулируется как интеграл. Для любой интегрируемой функции и всего набора ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, g (\ xi) \, d \ xi.}$

Тогда для всех у нас есть ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Интегральная теорема Фурье

Теорема может быть переформулирована как

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi i (xy) \ cdot \ xi } \, f (y) \, dy \, d \ xi.}$

Если f является действительным знаком, то, взяв действительную часть каждой стороны указанного выше, мы получим

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ cos (2 \ pi (xy) \ cdot \ xi) \, f (y) \, dy \, d \ xi.}$

Обратное преобразование в терминах оператора переворота

Для любой функции определите оператор переворота следующим образом: ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle Rg (x): = g (-x).}$

Тогда мы можем вместо этого определить

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} f: = R {\ mathcal {F}} f = {\ mathcal {F}} Rf.}$

Из определения преобразования Фурье и оператора переворота следует, что оба и соответствуют интегральному определению , и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют . ${\ displaystyle R {\ mathcal {F}} f}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} Rf}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x)}$

Поскольку у нас есть и ${\ Displaystyle Rf = R {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ mathcal {F}} f = RR {\ mathcal {FF}} f}$${\ Displaystyle R = {\ mathcal {F}} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {F}} ^ {3}.}$

Двусторонний инверсный

Форма сформулированной выше теоремы об обращении Фурье, как правило, такова:

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Другими словами, является левым обратным преобразованию Фурье. Однако он также является правым обратным преобразованию Фурье, т.е. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} f) (\ xi) = f (\ xi).}$

Поскольку это так похоже на , это очень легко следует из теоремы об обращении Фурье (с заменой переменных ): ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ zeta: = - \ zeta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f & = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) \\ [6pt] & = \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy \, d \ xi \\ [6pt] & = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ { -2 \ pi ix \ cdot \ zeta} \, e ^ {2 \ pi iy \ cdot \ zeta} \, f (y) \, dy \, d \ zeta \\ [6pt] & = {\ mathcal {F }} ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} f) (x). \ end {align}}}$

В качестве альтернативы, это может быть видно из соотношения между и флип - оператора и ассоциативности из композиции функций , так как ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} f}$

${\ displaystyle f = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) = {\ mathcal {F}} R {\ mathcal {F}} f = {\ mathcal {F }} ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} f).}$

Условия на функцию

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, а теорема об обращении Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца

Теорема обращения Фурье верна для всех функций Шварца (грубо говоря, гладких функций, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование являются абсолютно интегрируемыми. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье

Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые являются абсолютно интегрируемыми (т. Е. С абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье). Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в разделе операторов . ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Небольшой вариант - отказаться от условия непрерывности функции, но при этом требовать, чтобы она и ее преобразование Фурье были абсолютно интегрируемыми. Тогда почти всюду, где g - непрерывная функция, и для каждого . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = g}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = g (x)}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

Интегрируемые функции в одном измерении

Кусочно-гладкая; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ) И кусочно гладкая, то верна версия теоремы об обращении Фурье. В этом случае мы определяем ${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {- R} ^ {R} e ^ {2 \ pi ix \ xi} \, g (\ xi) \, d \ xi.}$

Тогда для всех ${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = {\ frac {1} {2}} (f (x _ {-}) + f ( х _ {+})),}$

т.е. равно среднему значению левого и правого пределов at . В точках, где непрерывно, это просто равно . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x)}$

Имеется и многомерный аналог этой формы теоремы, но, по словам Фолланда (1992), он «довольно тонкий и не очень полезный».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция является абсолютно интегрируемой в одном измерении (т.е. ), но просто кусочно-непрерывной, то версия теоремы об обращении Фурье все еще остается в силе. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; конкретно мы определяем ${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} \ varphi (\ xi / R) \ , e ^ {2 \ pi ix \ xi} \, g (\ xi) \, d \ xi, \ qquad \ varphi (\ xi): = e ^ {- \ xi ^ {2}}.}.$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.

Непрерывный; любое количество измерений

Если является непрерывным и абсолютно интегрируемым на, то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой срезающей функцией, т.е. ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ varphi (\ xi / R) \, e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, g (\ xi) \, d \ xi, \ qquad \ varphi (\ xi): = e ^ {- \ vert \ xi \ vert ^ {2}}.}$

Вывод просто таков, что для всех ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если мы отбросим все предположения о (кусочной) непрерывности и предположим просто, что она абсолютно интегрируема, то версия теоремы все еще верна. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого обрезания, но с заключением, что ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x)}$

почти для каждого ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Квадратные интегрируемые функции

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. Статью о преобразовании Фурье ). Например, положив

${\ displaystyle g_ {k} (\ xi): = \ int _ {\ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ vert y \ right \ vert \ leq k \}} e ^ { -2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy, \ qquad k \ in \ mathbb {N},}$

мы можем установить, где берется предел в -норме. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворачивания. Тогда у нас есть ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {F}} f: = \ lim _ {k \ to \ infty} g_ {k}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} f) (x) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x)}$

в среднеквадратичной норме . В одном измерении (и только в одном измерении) также можно показать, что он сходится почти для каждого x ∈ℝ - это теорема Карлесона , но ее гораздо труднее доказать, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Закаленные дистрибутивы

Преобразование Фурье может быть определено на пространстве умеренных распределений двойственностью преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. Специально для и для всех тестовых функций мы устанавливаем ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {F}} f, \ varphi \ rangle: = \ langle f, {\ mathcal {F}} \ varphi \ rangle,}$

где определяется с помощью интегральной формулы. Если тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование либо двойственностью обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо определив его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда у нас есть ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ varphi}$${\ displaystyle f \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cap L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ двоеточие {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {S}}' (\ mathbb { R} ^ {n})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ mathcal {F}} = \ operatorname {Id} _ { {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}.}$

Связь с рядами Фурье

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать ее так, чтобы она действовала (или была -периодической). Вместо этого в этом разделе мы используем несколько необычное соглашение, чтобы действовать , поскольку оно соответствует соглашению преобразования Фурье, используемому здесь. ${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,1]}$

Теорема обращения Фурье аналогична сходимости рядов Фурье . В случае преобразования Фурье имеем

${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}, \ quad {\ hat {f}} \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C} ,}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f (y) \ , dy,}$

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} е ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, {\ hat {f}} (\ xi) \, d \ xi.}$

Вместо этого в случае рядов Фурье имеем

${\ displaystyle f \ двоеточие [0,1] ^ {n} \ to \ mathbb {C}, \ quad {\ hat {f}} \ двоеточие \ mathbb {Z} ^ {n} \ to \ mathbb {C} ,}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (к): = \ int _ {[0,1] ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot k} \, f (y) \, dy ,}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot k} \, {\ hat {f}} (k).}$

В частности, в одном измерении сумма колеблется от до . ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$

Приложения

Некоторые проблемы, такие как определенные дифференциальные уравнения, становится легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

В приложениях преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Говоря более абстрактно, теорема об обращении Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как об операторе (см. Преобразование Фурье в функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на . ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Свойства обратного преобразования

Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье сохраняются для обратного преобразования Фурье, такие как теорема свертки и лемма Римана – Лебега .

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив искомую функцию с оператором переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что

${\ displaystyle f (x) = \ operatorname {rect} (ax) \ quad \ Rightarrow \ quad ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) = {\ frac {1} {| a |}} \ имя оператора {sinc} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right) \ !,}$

так что соответствующий факт для обратного преобразования равен

${\ displaystyle g (\ xi) = \ operatorname {rect} (a \ xi) \ quad \ Rightarrow \ quad ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} g) (x) = {\ frac {1} {| a |}} \ operatorname {sinc} \ left (- {\ frac {x} {a}} \ right) \ !.}$

Доказательство

Доказательство использует несколько фактов, приведенных и . ${\ displaystyle f (y)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} е (\ xi) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} f (y) \, dy }$

1. Если и , то . ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle г (\ xi) = e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} x \ cdot \ xi} \ psi (\ xi)}$${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} g) (y) = ({\ mathcal {F}} \ psi) (yx)}$
2. Если и , то . ${\ Displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ psi (\ xi) = \ varphi (\ varepsilon \ xi)}$${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} \ psi) (y) = ({\ mathcal {F}} \ varphi) (y / \ varepsilon) / | \ varepsilon |}$
3. Действительно , это следует из теоремы Фубини . ${\ Displaystyle е, г \ в L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {п})}$${\ displaystyle \ textstyle \ int g (\ xi) \ cdot ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = \ int ({\ mathcal {F}} g) (y) \ cdot f (y) \, dy}$
4. Определить ; тогда . ${\ Displaystyle \ varphi (\ xi) = e ^ {- \ pi \ vert \ xi \ vert ^ {2}}}$${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} \ varphi) (y) = \ varphi (y)}$
5. Определить . Затем с обозначая свертку , является приближением к идентичности : для любых непрерывных и точек , (где сходимость точечно). ${\ Displaystyle \ varphi _ {\ varepsilon} (y) = \ varphi (y / \ varepsilon) / \ varepsilon ^ {n}}$${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ varepsilon}}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (\ varphi _ {\ varepsilon} \ ast f) (x) = f (x)}$

Поскольку по предположению, то по теореме о мажорируемой сходимости следует, что ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi} ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi.}$

Определить . Применяя факты 1, 2 и 4, если необходимо, многократно для кратных интегралов, получаем ${\ displaystyle g_ {x} (\ xi) = e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} \ vert \ xi \ vert ^ {2} +2 \ pi \ mathrm {i} x \ cdot \ xi}}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} g_ {x}) (y) = {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {n}}} e ^ {- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}} = \ varphi _ {\ varepsilon} (xy).}$

Используя факт 3 и для каждого из них , мы имеем ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g_ {x}}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi} ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {n}}} e ^ {- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}} f (y) \, dy = (\ varphi _ {\ varepsilon} * f) (x),}$

свертка с приблизительным тождеством. Но поскольку факт 5 говорит, что ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (\ varphi _ {\ varepsilon} * f) (x) = f (x).}$

Объединив все вышесказанное, мы показали, что

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = f (х). \ qquad \ square}$

Примечания

Рекомендации

• Фолланд, Великобритания (1992). Фурье-анализ и его приложения . Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN   0-534-17094-3 .
• Фолланд, Великобритания (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN   978-0-691-04361-6 .