Лемма Римана – Лебега - Riemann–Lebesgue lemma

Лемма Римана – Лебега утверждает, что если интеграл от функции, подобной приведенной выше, мал, то интеграл будет приближаться к нулю по мере увеличения числа колебаний (это можно увидеть, рассматривая действительную часть преобразования Фурье).

В математике , то леммы Римана-Лебега , названный в честь Бернхарда Римана и Анри Лебега , утверждает , что преобразование Фурье или преобразование Лапласа от L ¹ функция обращается в нуль на бесконечности. Это важно в гармоническом и асимптотическом анализе .

Заявление

Если ƒ является L ¹ интегрируема на R ^д , то есть, если интеграл Лебега | ƒ | конечен, то преобразование Фурье от ƒ удовлетворяет

${\ displaystyle {\ hat {f}} (z) \ Equiv \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (x) \ exp (-iz \ cdot x) \, dx \ rightarrow 0 {\ текст {as}} | z | \ rightarrow \ infty.}$

Доказательство

Предположим сначала , что , на индикаторную функцию в качестве открытого интервала . ${\ Displaystyle е (х) = \ чи _ {(а, б)} (х)}$

Потом:

${\ Displaystyle \ int е (х) е ^ {я \ хи х} \, dx = \ int _ {а} ^ {b} е ^ {я \ хи х} \, dx = {\ гидроразрыва {е ^ { i \ xi b} -e ^ {i \ xi a}} {i \ xi}} \ rightarrow 0}$ в виде ${\ Displaystyle | \ xi | \ rightarrow \ infty}$

В силу аддитивности пределов то же самое верно и для произвольной ступенчатой ​​функции . То есть для любой функции формы:${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} \ chi _ {(a_ {i}, b_ {i})}, ~~ c_ {i} \ in \ mathbb {R }, ~~ a_ {i} \ leq b_ {i} \ in \ mathbb {R}}$

У нас есть что:

${\ Displaystyle \ lim _ {| \ xi | \ rightarrow \ infty} \ int f (x) e ^ {i \ xi x} \, dx = 0}$

Наконец, позвольте быть произвольным. ${\ displaystyle f \ in L ^ {1}}$

Пусть будет исправлено. ${\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R}> 0}$

Поскольку ступенчатые функции плотны в , существует ступенчатая функция такая, что:${\ displaystyle L ^ {1}}$ ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ int \ left \ vert f (x) -g (x) \ right \ vert \, dx <\ varepsilon}$

Согласно нашему предыдущему аргументу и определению предела сложной функции, существует такое, что для всех :${\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle | \ xi |> N}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ int g (x) e ^ {i \ xi x} \, dx \ right \ vert <\ varepsilon}$

По аддитивности интегралов:

${\ Displaystyle \ int е (х) е ^ {я \ xi x} \, dx = \ int (f (x) -g (x)) e ^ {i \ xi x} \, dx + \ int g (x ) e ^ {i \ xi x} \, dx}$

Согласно неравенству треугольника для комплексных чисел, [неравенству треугольника] для интегралов, мультипликативности модуля и формуле Эйлера :

${\ Displaystyle \ влево \ верт \ int е (х) е ^ {я \ хи х} \, dx \ вправо \ верт \ leq \ int \ влево \ верт е (х) -g (х) \ вправо \ верт \ , dx + \ left \ vert \ int g (x) e ^ {i \ xi x} \, dx \ right \ vert}$

Для всех правая часть ограничена нашими предыдущими рассуждениями. Поскольку это было произвольно, это устанавливает:${\ Displaystyle | \ xi |> N}$${\ Displaystyle 2 \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ lim _ {| \ xi | \ rightarrow \ infty} \ int f (x) e ^ {i \ xi x} \, dx = 0}$

для всех . ${\ displaystyle f \ in L ^ {1}}$

Другие версии

Лемма Римана – Лебега верна во множестве других ситуаций.

• Если ƒ является L ¹ интегрируемым и носителем на (0, ∞), то лемма Римана – Лебега верна и для преобразования Лапласа для  ƒ . Это,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- tz} \, dt \ to 0}$

как | z | → ∞ внутри полуплоскости Re ( z ) ≥ 0.

• Версия имеет место для ряда Фурье , а также: если ƒ интегрируемой функции на отрезке, то коэффициенты Фурье по ƒ стремятся к 0 ,${\ displaystyle n \ к \ pm \ infty}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {n} \ \ to \ 0.}$

Для этого следует расширить ƒ нулем за пределы интервала и затем применить версию леммы ко всей вещественной прямой.

• Аналогичное утверждение тривиально для L ² функций. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что преобразование Фурье переводит L ² в L ^2, и такие функции имеют l ² рядов Фурье.

• Однако лемма не верна для произвольных распределений. Например, распределение дельта-функции Дирака формально имеет конечный интеграл по действительной прямой, но его преобразование Фурье является константой (точное значение зависит от формы используемого преобразования) и не обращается в нуль на бесконечности.

Приложения

Лемму Римана – Лебега можно использовать для доказательства справедливости асимптотических приближений для интегралов. Строгая трактовка метода наискорейшего спуска и метода стационарной фазы , среди прочего, основана на лемме Римана – Лебега.

Доказательство

Мы сосредоточимся на одномерном случае, доказательство в более высоких измерениях аналогично. Предположим сначала , что ƒ является компактным поддерживается гладкой функцией . Тогда интегрирование по частям дает

${\ displaystyle \ left | \ int е (х) е ^ {- izx} \, dx \ right | = \ left | \ int {\ frac {1} {iz}} f '(x) e ^ {- izx } \, dx \ right | \ leq {\ frac {1} {| z |}} \ int | f '(x) | \, dx \ rightarrow 0 {\ text {as}} z \ rightarrow \ pm \ infty .}$

Если ƒ - произвольная интегрируемая функция, ее можно аппроксимировать в норме L ¹ гладкой функцией g с компактным носителем . Выберите такой g, чтобы || ƒ  -  г || _{L ¹}  <  ε . потом

${\ displaystyle \ limsup _ {z \ rightarrow \ pm \ infty} | {\ hat {f}} (z) | \ leq \ limsup _ {z \ to \ pm \ infty} \ left | \ int (f (x ) -g (x)) e ^ {- ixz} \, dx \ right | + \ limsup _ {z \ rightarrow \ pm \ infty} \ left | \ int g (x) e ^ {- ixz} \, dx \ right | \ leq \ varepsilon + 0 = \ varepsilon,}$

и поскольку это верно для любого ε  > 0, теорема следует.

Рекомендации

• Бохнер С. , Чандрасекхаран К. (1949). Преобразования Фурье . Издательство Принстонского университета.
• Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Римана – Лебега» . MathWorld .
• https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Formula