Абсолютно интегрируемая функция - Absolutely integrable function

В математике , абсолютно интегрируемая функция является функцией которой абсолютной величина является интегрируемым , а это означает , что интеграл от абсолютной величины по всей области конечен.

Для вещественнозначной функции, поскольку

куда

оба и должны быть конечными. При интегрировании по Лебегу это в точности требование, чтобы любая измеримая функция f считалась интегрируемой, при этом интеграл равен , так что фактически «абсолютно интегрируемая» означает то же самое, что «интегрируемая по Лебегу» для измеримых функций. ${\ textstyle \ int е ^ {+} (х) \, dx}$${\ textstyle \ int е ^ {-} (х) \, dx}$ ${\ textstyle \ int е ^ {+} (х) \, dx- \ int f ^ {-} (х) \, dx}$

То же самое и со сложной функцией. Определим

где и являются действительными и мнимыми частями из . потом ${\ Displaystyle \ Re е (х)}$${\ Displaystyle \ Im е (х)}$${\ displaystyle f (x)}$

$${\ Displaystyle | е (х) | \ leq f ^ {+} (x) + f ^ {-} (x) + f ^ {+ i} (x) + f ^ {- i} (x) \ leq {\ sqrt {2}} \, | f (x) |}$$

так

$${\ Displaystyle \ int | е (х) | \, dx \ leq \ int f ^ {+} (x) \, dx + \ int f ^ {-} (x) \, dx + \ int f ^ {+ i} (x) \, dx + \ int f ^ {- i} (x) \, dx \ leq {\ sqrt {2}} \ int | f (x) | \, dx}$$

Это показывает, что сумма четырех интегралов (в середине) конечна тогда и только тогда, когда интеграл от модуля конечен, а функция является интегрируемой по Лебегу, только если все четыре интеграла конечны. Таким образом, наличие конечного интеграла от модуля эквивалентно условиям, при которых функция «интегрируема по Лебегу».

внешние ссылки

• «Абсолютно интегрируемая функция - Математическая энциклопедия» . Проверено 9 октября 2015 года .