Кристофер Денингер - Christopher Deninger

Кристофер Денингер
Родившийся	( 1958-04-08 )8 апреля 1958 г. (63 года)
Альма-матер	Кельнский университет
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Мюнстерский университет
Докторант	Курт Мейер
Докторанты	Аннетт Хубер-Клавиттер Аннетт Вернер

Кристофер Денингер (родился 8 апреля 1958) является немецким математиком в университете Мюнстера . Исследования Денингера сосредоточены на арифметической геометрии , включая приложения к L- функциям .

Карьера

Денингер получил докторскую степень в Кельнском университете в 1982 году под руководством Курта Мейера . В 1992 году он разделил премию Готфрида Вильгельма Лейбница с Майклом Рапопортом , Питером Шнайдером и Томасом Цинком . В 1998 году он был пленарным докладчиком на Международном математическом конгрессе в 1998 году в Берлине. В 2012 году он стал членом Американского математического общества .

Математическая работа

Двойственность Артина – Вердье

В серии работ между 1984 и 1987 годами Денингер изучал расширения двойственности Артина – Вердье . Грубо говоря, Артина- Вердье двойственность, следствием теории полей классов , является арифметической аналог двойственности Пуанкаре , двойственности для когомологий пучков на компактном многообразии. В этой параллели ( спектр ) кольцо целых чисел в числовом поле соответствует 3-многообразию . Следуя работе Мазура , Денингер (1984) распространил двойственность Артина – Вердье на функциональные поля . Затем Денингер распространил эти результаты в различных направлениях, таких как пучки без кручения ( 1986 ), арифметические поверхности ( 1987 ), а также многомерные локальные поля ( вместе с Вингбергом, 1986 ). Появление мотивных комплексов Блоха, рассмотренных в последних статьях, повлияло на работы нескольких авторов, включая Гейссера (2010) , который идентифицировал комплексы Блоха как дуализирующие комплексы над многомерными схемами.

Особые значения L- функций

Другая группа работ Денингера изучает L -функции и их особые значения. Классическим примером L -функции является дзета-функция Римана ζ ( s ), для которой такие формулы, как

ζ (2) = π ² /6

известны со времен Эйлера. В знаменательной статье Бейлинсон (1984) предложил ряд далеко идущих гипотез, описывающих особые значения L- функций, т. Е. Значения L- функций в целых числах. В очень грубо говоря, домыслы Бейлинсона утверждать , что для гладкого проективного алгебраического многообразия X над Q , мотивная когомологий из X должны быть тесно связаны с Делинем когомологиями из X . Кроме того, связь между этими двумя теориями когомологий должна объяснять, согласно гипотезе Бейлинсона, порядки полюсов и значения

L ( h ⁿ ( X ), s )

Любые два из трех колец Борромео можно развести, но все три кольца связаны. Произведение Мэсси трех классов когомологий, полученное путем наматывания вокруг каждого круга, может быть использовано для алгебраической фиксации этого явления.

в целых числах s . Блох и Бейлинсон доказали существенные части этой гипотезы для h ¹ ( X ) в случае, когда X - эллиптическая кривая с комплексным умножением и s = 2. В 1988 году Deninger & Wingberg представили этот результат. В 1989 и 1990 годах Денингер распространил этот результат на некоторые эллиптические кривые, рассмотренные Шимурой, при всех s ≥ 2. Денингер и Нарт ( 1995 ) выразили спаривание высот , ключевой ингредиент гипотезы Бейлинсона, как естественное спаривание Ext-групп в определенной категории мотивов. В 1995 году Денингер изучил произведения Месси в когомологиях Делиня и на основании этого предположил формулу для специального значения L -функции эллиптической кривой при s = 3, что впоследствии было подтверждено Гончаровым (1996) . По состоянию на 2018 год гипотеза Бейлинсона все еще широко открыта, и вклад Денингера остается одним из немногих случаев, когда гипотеза Бейлинсона была успешно опровергнута (обзоры по этой теме включают Deninger & Scholl (1991) , Nekovář (1994) ).

L -функции через регуляризованные детерминанты

Ζ-функция Римана определяется с помощью произведения множителей Эйлера

${\ displaystyle \ zeta _ {p} (s): = {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

для каждого простого числа p . Чтобы получить функциональное уравнение для ζ ( s ), необходимо умножить их на дополнительный член, включающий гамма-функцию :

${\ displaystyle \ zeta _ {\ infty} (s): = 2 ^ {- 1/2} \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma (s / 2).}$

Более общие L -функции также определяются произведениями Эйлера, включающими в каждом конечном месте определитель эндоморфизма Фробениуса, действующего на l-адических когомологиях некоторого многообразия X / Q , в то время как фактор Эйлера для бесконечного места, согласно Серра , продукты гамма функций в зависимости от структур Ходжа , присоединенных к X / Q . Денингер (1991) выразил эти Γ-факторы в терминах регуляризованных детерминантов и в 1992 году и в более общих чертах в 1994 году приступил к объединению факторов Эйлера L- функций как в конечных, так и в бесконечных местах, используя регуляризованные детерминанты. Например, для факторов Эйлера дзета-функции Римана это единообразное описание выглядит следующим образом: Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFDeninger1991 ( справка )

${\ displaystyle \ zeta _ {p} (s) = \ det {} _ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} (s- \ Theta) | R_ {p}) \ вправо) ^ {- 1}.}$

Здесь p - либо простое число, либо бесконечность, соответствующие неархимедовым факторам Эйлера и архимедовым факторам Эйлера соответственно, а R _p - пространство конечных вещественных рядов Фурье на R / log ( p ) Z для простого числа p , и R _∞ = R [exp (−2 y )]. Наконец, Θ - это производная R -действия, заданного сдвигом таких функций. Денингер (1994) также продемонстрировал подобный унифицирующий подход для ε-факторов (которые выражают соотношение между завершенными L- функциями при s и 1– s ).

Арифметический сайт

Эти результаты привели Deninger предложить программу , касающееся существование «арифметика сайта» Y , связанное с компактификацией от Spec Z . Среди других свойств, этот сайт будет оснащен действием из R , а каждое простое число р будет соответствовать замкнутой орбите R -действия лог длины ( р ). Более того, аналогии между формулами аналитической теории чисел и динамикой на слоеных пространствах привели Денингера к предположению о существовании слоения на этом узле. Более того, предполагается, что этот сайт наделен бесконечномерной теорией когомологий, такой что L -функция мотива M задается формулой

${\ displaystyle L (M, s) = \ prod _ {i = 0} ^ {2} \ det {} _ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} (s- \ Theta) | H_ {c} ^ {i} (Y, F (M)) \ right).}$

Здесь М представляет собой мотив , такие как мотивы ч ^п ( X ) , происходящий в гипотезе Бейлинсона, и Р ( М ) задуман , чтобы быть пучком на Y присоединен к подающим М . Оператор Θ является инфинитезимальным генератором из потока , заданного R -действия. Согласно этой программе, гипотеза Римана была бы следствием свойств, параллельных положительности спаривания пересечений в теории Ходжа . Версия формулы следа Лефшеца на этом сайте, которая могла бы быть частью этой гипотезы, была доказана другими способами Денингером (1993) . В 2010 году , Deninger доказал , что классические домыслы Бейлинсон и Блох , касающиеся теории пересечений на алгебраических циклов бы дальнейшие последствия его программы.

Эта программа была рассмотрена Денингером в его выступлениях на Европейском конгрессе математиков в 1992 г. , на Международном конгрессе математиков в 1998 г. , а также Лейхтнамом (2005) . В 2002 году Денингер построил слоистое пространство, которое соответствует эллиптической кривой над конечным полем , а Хессельхольт (2016) показал, что дзета-функция Хассе-Вейля гладкого собственного многообразия над F _p может быть выражена с помощью регуляризованных определителей с использованием топологических определителей Хохшильда. гомология . Кроме того, аналогия между узлами и простыми числами плодотворно изучалась в арифметической топологии . Однако по состоянию на 2018 г. построение расслоенного пространства, соответствующего Spec Z, остается неуловимым.

Векторные расслоения на p -адических кривых

В серии совместных работ с Аннет Вернер изучаются векторные расслоения на p -адических кривых. Классическим результатом, мотивирующим это исследование, является теорема Нарасимхана – Сешадри , краеугольный камень соответствия Симпсона . Она утверждает , что векторное расслоение на компактной римановой поверхности X является стабильным , если оно возникает из унитарного представления из фундаментальной группы П ₁ ( Х ).

В Deninger & Werner (2005) установили р -адический его аналог: для гладкой проективной алгебраической кривой над С _р , полученный путем замены базы из , они построили действие этальной фундаментальной группы П ₁ (Х) на волокнах на определенных векторные расслоения, в том числе степени 0 и имеющие потенциально сильно полустабильную редукцию. В другой работе 2005 , они связаны полученные представления фундаментальной группы кривой X с представлениями модуля Tate из якобиева многообразия из X . В 2007 и 2010 годах они продолжили эту работу, показав, что такие векторные расслоения образуют таннакианскую категорию, которая сводится к идентификации этого класса векторных расслоений как категории представлений определенной группы. ${\ displaystyle X / {\ overline {\ mathbf {Q}}} _ {p}}$

Слоения и группа Гейзенберга

В нескольких совместных работах Денингер и Вильгельм Сингхоф изучали факторпространство n -мерной группы Гейзенберга H по стандартной решетке, состоящей из целочисленных матриц,

X = H / Γ,

с разных точек зрения. В 1984 году , они вычислили е-инвариант из X в терминах z , (- п ), что приводит к построению элементов в стабильных гомотопических групп сфер сколь угодно большого порядка. В 1988 году , они использовали методы аналитической теории чисел , чтобы дать оценки по размерности когомологий из нильпотентных алгебр Ли .

Классический факт теории Ходжа о том, что любой класс когомологий на кэлеровом многообразии допускает единственную гармонику, был обобщен Альваресом Лопесом и Кордюковым (2001) на римановы слоения . Денингер и Сингхоф (2001) показывают, что слоения на указанном выше пространстве X , удовлетворяющие лишь немного более слабым условиям, не допускают таких теоретических свойств Ходжа. В другой совместной работе 2001 года они установили динамическую формулу следа Лефшеца: она связывает след оператора на гармонических формах с локальными следами, появляющимися на замкнутых орбитах (на некоторых слоеных пространствах с R- действием). Этот результат служит подтверждением упомянутой выше программы Денингера в том смысле, что он проверяет предсказание, сделанное этой программой с аналитической стороны, т. Е. То, что касается динамики на слоеных пространствах.

Энтропия и меры Малера

Другая группа работ Денингера вращается вокруг космоса.

${\ Displaystyle X_ {F}: = (\ mathbf {Z} \ Gamma / \ mathbf {Z} \ Gamma f) {\ widehat {\}} \,}$

где Γ - дискретная группа, f - элемент ее группового кольца Z Γ, а шляпа обозначает двойственное по Понтрягину . Для Γ = Z ^п и , Lind, Шмидт & Ward (1990) показал , что энтропия Г-действия на X _F задается мерой Mahler${\ displaystyle f \ in \ mathbb {Z} [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ dots, x_ {n} ^ {\ pm n}]}$

${\ displaystyle m (f): = (2 \ pi i) ^ {- n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma} \ log | f (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) | {\ frac {dz_ {1}} {z_ {1}}} \ dots {\ frac {dz_ {n}} {z_ {n}}}.}$

Более того, было известно, что меры Малера некоторых многочленов могут быть выражены через специальные значения некоторых L-функций. В 1997 году Денингер заметил, что подынтегральное выражение в определении меры Малера имеет естественное объяснение в терминах когомологий Делиня. Используя известные случаи гипотезы Бейлинсона, он вывел, что m ( f ) является образом символа { f , t ₁ , ..., t _n } при регуляторе Бейлинсона, где многообразие является дополнением в n -мерном пространстве. тор нулевого множества f . Это привело к концептуальному объяснению вышеупомянутых формул для мер Малера. Бессер и Денингер (1999) и Денингер позже в 2009 году перенесли эти идеи в p -адический мир, заменив регуляторное отображение Бейлинсона на когомологии Делиня регуляторным отображением на синтомические когомологии , а логарифм, появляющийся в определении энтропии р -адическая логарифм .

В 2006 и 2007 годах Денингер и Клаус Шмидт продвинули параллель между энтропией и мерами Малера за пределы абелевых групп, а именно финитно аппроксимируемых счетных дискретных аменабельных групп Γ. Они показали , что Γ-действие на X _е есть экспансивный тогда и только тогда , когда е обратим в L ¹ - свертка алгебры Г. Более того, логарифм определителя Фугледе-Кадисона на алгебре фон Неймана NΓ, ассоциированной с Γ (который заменяет меру Малера для Z ⁿ ), согласуется с энтропией указанного действия.

Векторы Витта

Иоахим Кунц и Денингер вместе работали над векторами Витта . В двух работах около 2014 года, они упростили теорию, давая представление кольца векторов Витта с точкой зрения завершения моноидной алгебры Z R . Этот подход позволяет избежать универсальных многочленов, используемых в классическом определении сложения векторов Витта.

Избранная библиография

Двойственность Артина – Вердье

• Deninger, Кристофер (1984), "О Артина- Вердиера двойственности для функциональных полей", Mathematische Zeitschrift , 188 (1): 91-100, DOI : 10.1007 / BF01163876 , МР  0767366 , S2CID  123090400
• - (1986), «Расширение двойственности Артина – Вердье на неторсионные пучки», J. Reine Angew. Математика. , Один тысячу девятьсот восемьдесят-шесть (366): 18-31, DOI : 10,1515 / crll.1986.366.18 , МР  0833011 , S2CID  116275426CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Wingberg, Кей (1986), "Артина- Вердье двойственность для п - мерных локальных полей , связанных с более алгебраические K -пучков", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 43 (3): 243-255, DOI : 10.1016 / 0022-4049 ( 86) 90066-6 , Руководство по ремонту  0868985CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1987), "Двойственность в этальных когомологиях одномерных собственных схем и обобщения", Mathematische Annalen , 277 (3): 529-541, DOI : 10.1007 / BF01458330 , МР  0891590 , S2CID  120941469CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

L -функции и гипотеза Бейлинсона

• -; Вингберг, Кей (1988), "О гипотезах Бейлинсона для эллиптических кривых с комплексным умножением", гипотезах Бейлинсона о специальных значениях L- функций , Perspect. Math., 4 , Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR  0944996CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1989), «Высшие регуляторы и L- серия Гекке мнимых квадратичных полей. I», Inventiones Mathematicae , 96 (1): 1–69, Bibcode : 1989InMat..96 .... 1D , doi : 10.1007 / BF01393970 , Руководство по ремонту  0981737 , S2CID  122586535CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1990), "Высшие регуляторы и Гекке L -рядов мнимых квадратичных полей II.", Анналы математики , второй серии 132 (1): 131-158, DOI : 10,2307 / 1971502 , JSTOR  1971502 , МР  1059937CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Шолль, Энтони Дж. (1991), "Гипотезы Беллинсона",L -функции и арифметика (Дарем, 1989) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 153 , Cambridge Univ. . Пресс, стр 173-209, DOI : 10,1017 / CBO9780511526053.007 , ISBN 9780521386197, Руководство по ремонту  1110393CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

• - (1991), "О Г-факторов прикреплены к мотивам", Inventiones Mathematicae , 104 (2): 245-261, DOI : 10.1007 / BF01245075 , МР  1098609 , S2CID  123206613CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1992), "Местные L -факторами мотивов и регуляризованные детерминанты", Inventiones Mathematicae , 107 (1): 135-150, Bibcode : 1992InMat.107..135D , DOI : 10.1007 / BF01231885 , МР  1135468 , S2CID  120740473CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1993), "Лефшец формула следов и явные формулы в аналитической теории чисел" , Journal für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 1993 (441): 1-15, DOI : 10.1515 / crll.1993.441.1 , S2CID  116031228 , ZBL  0782.11034CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1994a), "Мотивные ε-факторы на бесконечности и регуляризованные измерения", Indag. Математика. , Новая серия, 5 (4): 403-409, DOI : 10,1016 / 0019-3577 (94) 90015-9 , MR  1307961CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1994b), "Мотивные L- функции и регуляризованные детерминанты", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпози. Чистая математика, 55 , Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., MR  1265547CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1994c), "Доказательства когомологического подхода к аналитической теории чисел", Первый Европейский математический конгресс, Vol. I (Париж, 1992) , Прогр. Math., 119 , Birkhäuser, Basel, стр. 491–510, MR  1341834CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Нарт, Энрик (1995), "О Ext ² мотивов над арифметическими кривыми", Amer. J. Math. , 117 (3): 601-625, DOI : 10,2307 / 2375082 , JSTOR  2375082 , МР  1333938CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1995), "Операции высшего порядка в когомологиях Делиня", Инвент. Математика. , 120 (2): 289-315, Bibcode : 1995InMat.120..289D , DOI : 10.1007 / BF01241130 , МР  1329043 , S2CID  121481341CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (1998), "Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами на слоеных пространствах", Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Берлин, 1998 г.) , Documenta Mathematica (Extra Vol. I), стр. 163–186, MR  1648030CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (2002), «О природе« явных формул »в аналитической теории чисел --- простой пример», Теоретико-числовые методы (Iizuka, 2001) , Dev. Math., 8 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Pp. 97–118, arXiv : math / 0204194 , doi : 10.1007 / 978-1-4757-3675-5_7 , ISBN 978-1-4419-5239-4, MR  1974137 , S2CID  17829739CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (2010), «Стратегия Гильберта-Пойа и пары высот», сила Казимира, операторы Казимира и гипотеза Римана , Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр. 275–283, MR  2777722CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

p -адические векторные расслоения

• -; Вернер, Аннетт (2005), "векторных расслоений на р -адическими кривых и параллельным переносом" , Анналов Научных де l'Эколь Нормаль , Quatrième Серию, 38 (4): 553-597, DOI : 10.1016 / j.ansens.2005.05 .002 , Руководство по ремонту  2172951 , S2CID  8884837CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Вернер, Аннетт (2005), «Линейные пучки и p -адические символы», Числовые и функциональные поля - два параллельных мира , Progr. Math., 239 , стр. 101–131, arXiv : math / 0407511 , doi : 10.1007 / 0-8176-4447-4_7 , ISBN 978-0-8176-4397-3, Руководство по ремонту  2176589 , S2CID  119669442CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Вернер, Аннетт (2007), "О двойственности Таннаки для векторных расслоений на p -адических кривых", Алгебраические циклы и мотивы. Vol. 2 , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 344 , pp. 94–111, MR  2187151.CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Вернер, Аннетт (2010), "Векторные расслоения на p -адических кривых и параллельный перенос II", Алгебраические и арифметические структуры пространств модулей (Саппоро, 2007) , Adv. Stud. . Чистая Математика, 58 ., Стр 1-26, DOI : 10,2969 / ASPM / 05810001 , ISBN 978-4-86497-008-2, Руководство по ремонту  2676155CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

Группа Гейзенберга, алгебры Ли и слоения

• -; Сингхоф, Вильгельм (1984), " e -инвариант и спектр лапласиана для компактных нильмногообразий, покрываемых группами Гейзенберга", Inventiones Mathematicae , 78 (1): 101–112, Bibcode : 1984InMat..78..101D , doi : 10.1007 / BF01388716 , Руководство по ремонту  0762355 , S2CID  119465585CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Сингхоф, Вильгельм (1988), "О когомологиях нильпотентных алгебр Ли", Бюлл. Soc. Математика. Франция , 116 (1): 3-14, DOI : 10,24033 / bsmf.2087 , МР  0946276CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Сингхоф, Вильгельм (2001), "Контрпример к гладкому послойному разложению Ходжа для общих слоений и к типу формул динамического следа", Ann. Inst. Фурье (Гренобль) , 51 (1): 209-219, DOI : 10,5802 / aif.1821 , МР  1821074CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• -; Сингхоф, Вильгельм (2001b), «Заметка о формулах динамических следов», Динамические, спектральные и арифметические дзета-функции (Сан-Антонио, Техас, 1999) , Contemp. Math., 290 , AMS, стр. 41–55, DOI : 10.1090 / conm / 290/04572 , ISBN 9780821820797, MR  1868467CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

Энтропия

• - (1997), «Делиня периоды смешанных мотивов, К -теория и энтропии некоторого Z ^п -действий», журнал Американского математического общества , 10 (2): 259-281, DOI : 10,1090 / S0894-0347- 97-00228-2 , Руководство по ремонту  1415320CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• - (2006), «Определители Фугледе-Кадисона и энтропия для действий дискретных аменабельных групп», Журнал Американского математического общества , 19 (3): 737–758, arXiv : math / 0502233 , doi : 10.1090 / S0894-0347- 06-00519-4 , Руководство по ремонту  2220105 , S2CID  7741105CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

• -; Шмидт, Клаус (2007), «Расширяющие алгебраические действия дискретных финитно аппроксимируемых аменабельных групп и их энтропия», Эргодическая теория и динамические системы , 27 (3): 769–786, arXiv : math / 0605723 , doi : 10.1017 / S0143385706000939 , MR  2322178 , S2CID  12803685CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

• Бессер, Амнон; Денингер, Кристофер (1999), « p -адические меры Малера», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1999 (517): 19–50, doi : 10.1515 / crll.1999.093 , MR  1728549
• - (2009), « p -адическая энтропия и p -адический определитель Фугледе-Кадисона», Алгебра, арифметика и геометрия: им. Ю.А. И. Манин. Vol. Я , Прогр. Math., 269 , Birkhäuser, стр. 423–442, arXiv : math / 0608539 , doi : 10.1007 / 978-0-8176-4745-2_10 , ISBN 978-0-8176-4744-5, Руководство по ремонту  2641178 , S2CID  6186513CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

Векторы Витта

• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2015), «Векторные кольца Витта и относительный комплекс де Рама Витта», Journal of Algebra , 440 : 545–593, arXiv : 1410.5249 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2015.05.029 , MR  3373405 , S2CID  119171724
• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2014), «Альтернатива векторам Витта», Münster Journal of Mathematics , 7 (1): 105–114, arXiv : 1311.2774 , Bibcode : 2013arXiv1311.2774C , doi : 10.1080 / 18756891.2013.858905 , MR  3271241

Рекомендации

• Альварес Лопес, Хесус; Кордюков, Ю. А. (2001), "Долгое время поведение потока послойного тепла для римановых слоений", Compositio Mathematica , 125 (2): 129-153, DOI : 10,1023 / A: 1002492700960 , МР  1815391
• Бейлинсон, AA (1984), "Высшие регуляторы и значения L- функций", Современные проблемы математики, Vol. 24 , Итоги науки и техники, Москва: Акад. Наук СССР, Всесоюз. Inst. Научн. и Техн. Информ., MR  0760999
• Geisser, Томас (2010), "Двойственность с помощью комплексов цикла", Анналы математики , второй серии 172 (2): 1095-1127, DOI : 10.4007 / annals.2010.172.1095 , MR  2680487
• Гончаров, А. Б. (1996), "гипотеза Deninger о L - функциях эллиптических кривых при х = 3", журнал математических наук , 81 (3): 2631-2656, да : 10.1007 / BF02362333 , МР  1420221 , S2CID  15570808
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля , Contemporary Mathematics, 708 , стр. 157–180, arXiv : 1602.01980 , Bibcode : 2016arXiv160201980H , doi : 10.1090 / conm / 708/14264 , ISBN 9781470429119, S2CID  119145574
• Лейхтнам, Эрик (2005), «Приглашение к работе Денингера по арифметическим дзета-функциям», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика , Contemp. Math., 387 , Providence, RI: Amer. Математика. . Soc . , С. 201-236, DOI : 10,1090 / conm / 387/07243 , ISBN 9780821837108, Руководство по ремонту  2180209
• Линд, Дуглас; Шмидт, Клаус; Уорд, Том (1990), "Малер мера и энтропии для коммутирующих автоморфизмов компактных групп" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 593-629, Bibcode : 1990InMat.101..593L , DOI : 10.1007 / BF01231517 , Руководство по ремонту  1062797 , S2CID  17077751
• Нековарж, Ян (1994), "Гипотезы Беллинсона", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпози. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., MR  1265544

Внешние ссылки

• Веб-сайт Мюнстерского университета