Алгебра фон Неймана - Von Neumann algebra

В математике , A алгебра фон Неймана или W * -алгебра является * -алгеброй из ограниченных операторов на гильбертовом пространстве , которое закрыто в слабой операторной топологии и содержит единичный оператор . Это особый тип C * -алгебры .

Алгебры фон Неймана были первоначально введены Джоном фон Нейманом , мотивированным его изучением отдельных операторов , представлений групп , эргодической теории и квантовой механики . Его теорема о двойном коммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению как алгебры симметрий.

Два основных примера алгебр фон Неймана следующие:

Алгебры фон Неймана были впервые изучены фон Нейманом (1930) в 1929 году; он и Фрэнсис Мюррей разработали основную теорию под первоначальным названием колец операторов в серии статей, написанных в 1930-х и 1940-х годах (FJ Murray & J. von Neumann  1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann  1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), перепечатанный в собрании сочинений фон Неймана (1961) .

Вводные сведения об алгебрах фон Неймана приведены в онлайн-заметках Джонса (2003) и Вассермана (1991) и в книгах Диксмьера (1981) , Шварца (1967) , Блэкадара (2005) и Сакаи (1971) . Трехтомная работа Такесаки (1979) дает энциклопедический обзор теории. В книге Конна (1994) обсуждаются более сложные темы.

Определения

Есть три распространенных способа определения алгебр фон Неймана.

Первый и наиболее распространенный способ - определить их как слабо замкнутые * -алгебры ограниченных операторов (в гильбертовом пространстве), содержащие единицу. В этом определении слабая (операторная) топология может быть заменена множеством других общих топологий, включая сильную , сверхсильную или сверхслабую операторную топологию. * -Алгебры ограниченных операторов, замкнутые в топологии нормы, являются C * -алгебрами , поэтому, в частности, любая алгебра фон Неймана является C * -алгеброй.

Второе определение состоит в том, что алгебра фон Неймана - это подалгебра ограниченных операторов, замкнутых относительно инволюции (* -операция) и равная своему двойному коммутанту , или, что эквивалентно, коммутанту некоторой подалгебры, замкнутой относительно *. Теорема фон Неймана о двойном коммутанте ( фон Нейман, 1930 ) утверждает, что первые два определения эквивалентны.

Первые два определения описывают алгебру фон Неймана конкретно как набор операторов, действующих в некотором заданном гильбертовом пространстве. Сакаи (1971) показал, что алгебры фон Неймана также могут быть определены абстрактно как C * -алгебры, имеющие предуал ; другими словами, алгебра фон Неймана, рассматриваемая как банахово пространство, является двойственной к некоторому другому банахову пространству, называемому предвойственным. Предвойство алгебры фон Неймана на самом деле единственно с точностью до изоморфизма. Некоторые авторы используют «алгебру фон Неймана» для алгебр вместе с действием гильбертова пространства и «W * -алгебру» для абстрактного понятия, поэтому алгебра фон Неймана является W * -алгеброй вместе с гильбертовым пространством и подходящим точным унитальное действие в гильбертовом пространстве. Конкретные и абстрактные определения алгебры фон Неймана аналогичны конкретным и абстрактным определениям C * -алгебры, которую можно определить либо как замкнутые по норме * -алгебры операторов в гильбертовом пространстве, либо как банаховы * -алгебры такой, что || аа * || = || а || || а * ||.

Терминология

Некоторая терминология в теории алгебры фон Неймана может сбивать с толку, и эти термины часто имеют разные значения вне предмета.

  • Фактором является алгебра фон Неймана с тривиальным центром, то есть центр , состоящий только из скалярных операторов.
  • Конечная алгебра фон Неймана является одним , который является прямым интегралом конечных факторов (то есть алгебра фон Неймана имеет точное нормальное tracial состояния т: M → ℂ см http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/ IHP-trimester / IHP-CIRM / Notes = Cyril = Finin-vonNeumann.pdf ). Точно так же собственно бесконечные алгебры фон Неймана являются прямым интегралом собственно бесконечных факторов.
  • Алгебра фон Неймана, действующая в сепарабельном гильбертовом пространстве, называется сепарабельной . Отметим, что такие алгебры редко отделимы в топологии нормы.
  • Алгебра фон Неймана, порожденная набором ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, является наименьшей алгеброй фон Неймана, содержащей все эти операторы.
  • Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана , действующих на двух гильбертовых пространств определяется как алгебра фон Неймана порождается их алгебраического тензорного произведения, рассматриваемого как операторы на пространстве тензорного произведения Гильберта гильбертовых пространств.

При забывая о топологии на алгебре фон Неймана, мы можем рассмотреть его (унитарными) * -алгебра , или просто кольцо. Алгебры фон Неймана полунаследственны : каждый конечно порожденный подмодуль проективного модуля сам по себе проективен. Было предпринято несколько попыток аксиоматизировать основные кольца алгебр фон Неймана, включая * -кольца Бэра и * -алгебры AW * . * -Алгебра из дочерних операторов конечной алгебры фон Неймана является фон Неймана регулярное кольцо . (Сама алгебра фон Неймана в общем случае не является регулярной по фон Нейману.)

Коммутативные алгебры фон Неймана

Связь между коммутативными алгебрами фон Неймана и пространствами с мерой аналогична взаимосвязи между коммутативными C * -алгебрами и локально компактными хаусдорфовыми пространствами . Любая коммутативная алгебра фон Неймана изоморфна L ( X ) для некоторого пространства с мерой ( X , μ) и, наоборот, для любого σ-конечного пространства X с мерой X * -алгебра L ( X ) является алгеброй фон Неймана.

По этой аналогии теория алгебр фон Неймана была названа некоммутативной теорией меры, а теория C * -алгебр иногда называется некоммутативной топологией ( Connes, 1994 ).

Прогнозы

Операторы E в алгебре фон Неймана, для которых E = EE = E * , называются проекциями ; они в точности операторы, которые задают ортогональную проекцию H на некоторое замкнутое подпространство. Подпространство гильбертова пространства H называется принадлежат к алгебре фон Неймана M , если это образ некоторой проекции в M . Это устанавливает 1: 1 соответствие между проекциями М и подпространств , которые принадлежат к М . Неформально это замкнутые подпространства, которые можно описать с помощью элементов M или о которых M "знает".

Можно показать , что замыкание образа любого оператора M и ядра любого оператора М принадлежит М . Кроме того , замыкание образа под оператором М любого подпространства , принадлежащее М также принадлежит М . (Эти результаты являются следствием полярного разложения ).

Теория сравнения проекций

Основная теория проекций была разработана Мюрреем и фон Нейманом (1936) . Два подпространства, принадлежащие M , называются (по Мюррею – фон Нейману ) эквивалентными, если существует частичная изометрия, отображающая первое изоморфно на другое, которое является элементом алгебры фон Неймана (неформально, если M "знает", что подпространства изоморфны) . Это вызывает естественное отношение эквивалентности на проекциях путем определения Е , эквивалентна F , если соответствующие подпространства эквивалентны, или, другими словами , если есть частично изометрический из H , который отображает изображение E изометрически к образу F и является элемент алгебры фон Неймана. Другой способ задания в том , что E эквивалентно F , если E = уу * и F = и * и для некоторой частичной изометрии ˙U в М .

Определенное таким образом отношение эквивалентности ~ аддитивно в следующем смысле: предположим, что E 1 ~ F 1 и E 2 ~ F 2 . Если E 1E 2 и F 1F 2 , то E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2 . Аддитивность в общем случае не имела бы места, если бы требовалась унитарная эквивалентность в определении ~, т. Е. Если мы говорим, что E эквивалентно F, если u * Eu = F для некоторого унитарного u .

Подпространства, принадлежащие M , частично упорядочены по включению, и это индуцирует частичный порядок ≤ проекций. Существует также естественный частичный порядок на множестве классов эквивалентности проекций, индуцированный частичным порядком ≤ проекций. Если M - фактор, ≤ - общий порядок классов эквивалентности проекций, описанный в разделе о трассировках ниже.

Выступ (или подпространство , принадлежащие М ) Е называются быть конечным проектором , если нет проекции Р < Е (значение FE и FE ) , что эквивалентно Е . Например, все конечномерные проекции (или подпространства) конечны (поскольку изометрии между гильбертовыми пространствами оставляют размерность фиксированной), но тождественный оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве не конечен в алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов на это, поскольку оно изометрически изоморфно собственному подмножеству самого себя. Однако бесконечномерные подпространства могут быть конечными.

Ортогональные проекции являются некоммутативными аналогами индикаторных функций в L ( R ). L ( R ) - это || · || -замкнутость подпространства, порожденного индикаторными функциями. Точно так же алгебра фон Неймана порождается своими проекциями; это следствие спектральной теоремы для самосопряженных операторов .

Проекции конечного фактора образуют непрерывную геометрию .

Факторы

Алгебра фон Неймана N , центр которой состоит только из единиц, кратных единичному оператору, называется фактором . Фон Нейман (1949) показал, что любая алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна прямому интегралу факторов. Это разложение по сути уникально. Таким образом, проблема классификации классов изоморфизма алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах сводится к проблеме классификации классов изоморфизма факторов.

Мюррей и фон Нейман (1936) показали, что каждый фактор имеет один из трех типов, как описано ниже. Классификация типов может быть расширена до алгебр фон Неймана, которые не являются факторами, и алгебра фон Неймана относится к типу X, если ее можно разложить как прямой интеграл факторов типа X; например, любая коммутативная алгебра фон Неймана имеет тип I 1 . Каждую алгебру фон Неймана можно однозначно записать как сумму алгебр фон Неймана типов I, II и III.

Есть несколько других способов разделить факторы на классы, которые иногда используются:

  • Фактор называется дискретным (или иногда ручным ), если он относится к типу I, и непрерывным (или иногда диким ), если он имеет тип II или III.
  • Фактор называется полуконечным, если он имеет тип I или II, и чисто бесконечным, если он имеет тип III.
  • Фактор называется конечным, если проекция 1 конечна, и собственно бесконечным в противном случае. Факторы типов I и II могут быть либо конечными, либо собственно бесконечными, но факторы типа III всегда собственно бесконечны.

Факторы I типа

Фактор называется фактором типа I, если существует минимальная проекция E ≠ 0 , т. Е. Такая проекция , что не существует другой проекции F с 0 < F < E . Любой фактор типа I изоморфен алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве; поскольку для каждого кардинального числа существует одно гильбертово пространство , классы изоморфизма факторов типа I точно соответствуют кардинальным числам. Поскольку многие авторы рассматривают алгебры фон Неймана только в сепарабельных гильбертовых пространствах, ограниченные операторы в гильбертовом пространстве конечной размерности n принято называть фактором типа I n , а ограниченные операторы в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве - фактор типа I .

Факторы типа II

Фактор называется фактором типа II, если минимальных проекций нет, но есть ненулевые конечные проекции . Это означает , что каждый выступ Е может быть «вдвое» в том смысле , что существуют две проекции F и G , которые Мюррей-фон Неймана эквивалентны , и удовлетворяют условию Е = Р + G . Если тождественный оператор в факторе типа II конечен, говорят, что фактор имеет тип II 1 ; в противном случае говорят, что он имеет тип II . Наиболее изученными факторами типа II являются гиперконечный фактор типа II 1 и гиперконечный фактор типа II , обнаруженные Мюрреем и фон Нейманом (1936) . Это единственные гиперконечные множители типов II 1 и II ; существует бесчисленное множество других факторов этого типа, которые являются предметом интенсивного изучения. Мюррей и фон Нейман (1937) доказали фундаментальный результат о том, что фактор типа II 1 имеет единственное конечное состояние следа, а набор следов проекций равен [0,1].

Фактор типа II имеет полуконечный след, единственный с точностью до масштабирования, а множество следов проекций равно [0, ∞]. Множество действительных чисел λ, для которых существует автоморфизм, изменяющий масштаб следа в λ раз, называется фундаментальной группой фактора типа II .

Тензорное произведение множителя типа II 1 и бесконечного множителя типа I имеет тип II , и, наоборот, любой множитель типа II может быть построен таким образом. Фундаментальная группа из II типа 1 фактора определяется как фундаментальная группа тензорного произведения с бесконечным (разъемные) фактор типа I. На протяжении многих лет она была открытой проблемой найти фактор типа II, фундаментальная группа которого не было группа положительных вещественных чисел , но затем Конн показал, что групповая алгебра фон Неймана счетной дискретной группы со свойством Каждана (T) (тривиальное представление изолировано в двойственном пространстве), такая как SL (3, Z ), имеет счетная фундаментальная группа. Впоследствии, Сорин Поп показал , что фундаментальная группа может быть тривиальной для определенных групп, в том числе полупрямого продукта из Z 2 по SL (2, Z ).

Примером фактора типа II 1 является групповая алгебра фон Неймана счетной бесконечной дискретной группы такой, что каждый нетривиальный класс сопряженности бесконечен. Макдафф (1969) обнаружил несчетное семейство таких групп с неизоморфными групповыми алгебрами фон Неймана, тем самым показав существование несчетного числа различных разделимых факторов типа II 1 .

Факторы III типа

Наконец, факторы типа III - это факторы, которые вообще не содержат ненулевых конечных проекций. В своей первой статье Мюррей и фон Нейман (1936) не смогли решить, существуют ли они; первые примеры были позже найдены фон Нейманом (1940) . Поскольку тождественный оператор всегда бесконечен в этих множителях, в прошлом их иногда называли типом III , но недавно это обозначение было заменено обозначением III λ , где λ - действительное число в интервале [0,1]. Точнее, если спектр Конна (его модулярной группы) равен 1, то множитель имеет тип III 0 , если спектр Конна представляет собой все целые степени λ для 0 <λ <1, то тип - III λ , и если Спектр Конна - это все положительные действительные числа, тогда тип - III 1 . (Спектр Конна - это замкнутая подгруппа положительных вещественных чисел, так что это единственные возможности.) Единственный след на факторах типа III принимает значение ∞ на всех ненулевых положительных элементах, и любые две ненулевые проекции эквивалентны. Когда-то факторы типа III считались неразрешимыми объектами, но теория Томиты – Такесаки привела к хорошей теории структуры. В частности, любой фактор типа III может быть записан каноническим способом как скрещенное произведение фактора типа II и действительных чисел.

Предуальный

Любая алгебра фон Неймана M имеет предсопряженным M * , которая является банахово пространство всех ультраслабо непрерывных линейных функционалов на М . Как следует из названия, M (как банахово пространство) является двойственным к своему предуальному. Предуал уникален в том смысле, что любое другое банахово пространство, двойственное к M , канонически изоморфно M . Сакаи (1971) показал, что существование предуальной характеризует алгебры фон Неймана среди C * алгебр.

Приведенное выше определение предуала, по-видимому, зависит от выбора гильбертова пространства, на котором действует M , поскольку это определяет сверхслабую топологию. Однако предсопряженное также могут быть определены без использования пространства Гильберта , что М действует на, определив его пространство , порожденное всеми положительными нормальных линейных функционалов на М . (Здесь «нормальный» означает, что он сохраняет супрему, когда применяется к возрастающим сетям самосопряженных операторов; или, что эквивалентно, к возрастающим последовательностям проекций.)

Предуальное M является замкнутым подпространством двойственного M * (которое состоит из всех линейных функционалов, непрерывных по норме на M ), но, как правило, меньше. Доказательство того, что M (обычно) не то же самое, что M * , неконструктивно и существенно использует аксиому выбора; очень трудно явным образом указать элементы M * , не входящие в M . Например, экзотические положительные линейные формы на алгебре фон Неймана l ( Z ) задаются свободными ультрафильтрами ; они соответствуют экзотическим * гомоморфизмам в С и описать стоун-чеховское из Z .

Примеры:

  1. Предвойством алгебры фон Неймана L ( R ) существенно ограниченных функций на R является банахово пространство L 1 ( R ) интегрируемых функций. Двойственный к L ( R ) строго больше, чем L 1 ( R ). Например, функционал на L ( R ), расширяющий меру Дирака δ 0 на замкнутое подпространство ограниченных непрерывных функций C 0 b ( R ), не может быть представлена ​​как функция в L 1 ( R ).
  2. Предвойством алгебры фон Неймана B ( H ) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H является банахово пространство всех операторов следового класса с нормой следа || A || = Tr (| A |). Банахово пространство операторов класса следов само по себе является двойственным к C * -алгебре компактных операторов (которая не является алгеброй фон Неймана).

Веса, состояния и следы

Веса и их частные случаи, состояния и следы подробно обсуждаются в ( Takesaki 1979 ).

  • Вес ω на алгебре фон Неймана есть линейное отображение из множества положительных элементов (те формы а * а ) на [0, ∞].
  • Положительный линейный функционал является вес с со (1) конечным (или скорее продление со на всю алгебру по линейности).
  • Состояние является вес с со (1) = 1.
  • След является вес с со ( аа * ) = со ( а * а ) для всех а .
  • Состояние следа - это след с ω (1) = 1.

Любой фактор имеет след такой, что след ненулевой проекции отличен от нуля, а след проекции бесконечен тогда и только тогда, когда проекция бесконечна. Такая трасса уникальна вплоть до масштабирования. Для разделимых или конечных факторов две проекции эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же след. Тип фактора может быть определен из возможных значений этой кривой по проекциям фактора следующим образом:

  • Введите I n : 0, x , 2 x , ...., nx для некоторого положительного x (обычно нормализуется до 1 / n или 1).
  • Тип I : 0, x , 2 x , ...., ∞ для некоторого положительного x (обычно нормированного на 1).
  • Тип II 1 : [0, x ] для некоторого положительного x (обычно нормированного на 1).
  • Тип II : [0, ∞].
  • Тип III: {0, ∞}.

Если алгебра фон Неймана действует в гильбертовом пространстве, содержащем вектор v с нормой 1 , то функционал a → ( av , v ) является нормальным состоянием. Эту конструкцию можно обратить, чтобы дать действие в гильбертовом пространстве из нормального состояния: это конструкция GNS для нормальных состояний.

Модули над фактором

Учитывая абстрактный сепарабельный фактор, можно запросить классификацию его модулей, то есть сепарабельных гильбертовых пространств, на которых он действует. Ответ дается следующим образом: каждому такому модулю H может быть дана M -мерность dim M ( H ) (а не его размерность как комплексного векторного пространства), такая что модули изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую M -мерность. М -размерности аддитивна, и модуль изоморфно подпространства другого модуля , если и только если оно имеет меньший или равный M -размерности.

Модуль называется стандартным, если он имеет циклический разделяющий вектор. Каждый фактор имеет стандартное представление, единственное с точностью до изоморфизма. Стандартное представление имеет антилинейную инволюцию J такую, что JMJ = M ′ . Для конечных факторов стандартный модуль задается конструкцией GNS, применяемой к единственному нормальному состоянию следа, а M -мерность нормализуется так, что стандартный модуль имеет M -мерность 1, в то время как для бесконечных факторов стандартный модуль - это модуль с M - размерность равна ∞.

Возможные M -размеры модулей задаются следующим образом:

  • Тип I n ( n конечное): M -мерность может быть любой из 0 / n , 1 / n , 2 / n , 3 / n , ..., ∞. Стандартный модуль имеет M -размерность 1 (и комплексную размерность n 2 ).
  • Тип I M -размерности может быть любым из 0, 1, 2, 3, ..., ∞. Стандартное представление B ( H ) - HH ; его M -мерность равна ∞.
  • Тип II 1 : M -мерность может быть любой в [0, ∞]. Он нормирован так , что стандартный модуль имеет М -размерность 1. М -размерность также называется константой связи модуля Н .
  • Тип II : M -мерность может быть любой в [0, ∞]. В общем, нет канонического способа нормализовать это; фактор может иметь внешние автоморфизмы, умножающие M -мерность на константы. Стандартное представление - это представление с M -мерностью ∞.
  • Тип III: M -мерность может быть 0 или ∞. Любые два ненулевых модуля изоморфны, и все ненулевые модули стандартны.

Аменабельные алгебры фон Неймана

Конн (1976) и другие доказали , что следующие условия на алгебре фон Неймана M на сепарабельном гильбертовом пространстве H все эквивалентны :

  • M является гиперконечным, или AFD, или приблизительно конечномерным, или приблизительно конечным : это означает, что алгебра содержит возрастающую последовательность конечномерных подалгебр с плотным объединением. (Предупреждение: некоторые авторы используют термин «гиперконечный» для обозначения «AFD и конечный».)
  • М является аменабелен : это означает , что выводы из М со значениями в нормальном сопряженном банаховом бимодуле все внутреннее.
  • М имеет Шварц свойство Р : для любого ограниченного оператора Т на Н слабый оператор замкнутого выпуклую оболочку элементов Utu * содержит элемент , коммутирующий с М .
  • M является Полудискретным : это означает , что тождественное отображение из M в M есть слабый предел точечен вполне положительных отображения конечного ранга.
  • M обладает свойством E или свойством расширения Хакэда – Томиямы : это означает, что существует проекция нормы 1 с ограниченных операторов на H на M '.
  • М является инъективным : любое вполне положительное линейное отображение из любого самосопряжённых замкнутого подпространства , содержащего 1 любого унитального C * -алгебра к M может быть продолжено до вполне положительной карты от A до M .

Для указанного выше класса алгебр не существует общепринятого термина; Конн предположил , что поддающийся должен быть стандартный срок.

Подчиняемые факторы классифицированы: существует уникальный фактор каждого из типов I n , I , II 1 , II , III λ для 0 <λ ≤ 1, а факторы типа III 0 соответствуют определенным эргодическим факторам. потоки. (Для типа III 0, называя это классификацией, это немного вводит в заблуждение, поскольку известно, что нет простого способа классифицировать соответствующие эргодические потоки.) Потоки типа I и II 1 были классифицированы Мюрреем и фон Нейманом (1943). , а остальные были классифицированы Коннесом (1976) , за исключением случая типа III 1, завершенного Хаагерупом.

Все аменабельные факторы могут быть построены с использованием группового пространства с мерой конструкции из Мюррей и фон Неймана для одного эргодического преобразования. Фактически это в точности множители, возникающие как скрещенные произведения свободных эргодических действий Z или Z / nZ на абелевых алгебрах фон Неймана L ( X ). Тип I факторов возникает , когда мера пространство X является атомным и транзитивным действием. Когда X является диффузным или неатомарным , он эквивалентен [0,1] как пространство меры . Тип II факторов возникают , когда Х допускает эквивалентный конечные (II , 1 ) или (II бесконечного ) мера, инвариантную относительно действий группы Z . Факторы типа III встречаются в остальных случаях, когда нет инвариантной меры, а есть только инвариантный класс меры : эти факторы называются факторами Кригера .

Тензорные произведения алгебр фон Неймана

Тензорное произведение двух гильбертовых пространств в гильбертовом пространстве является пополнением их алгебраического тензорного произведения. Можно определить тензорное произведение алгебр фон Неймана (пополнение алгебраического тензорного произведения алгебр, рассматриваемых как кольца), которое снова является алгеброй фон Неймана, и действовать на тензорное произведение соответствующих гильбертовых пространств. Тензорное произведение двух конечных алгебр конечно, а тензорное произведение бесконечной алгебры и ненулевой алгебры бесконечно. Тип тензорного произведения двух алгебр фон Неймана (I, II или III) является максимальным из их типов. Теорема о коммутации для тензорных произведений утверждает, что

где М 'обозначает коммутант из М .

Тензорное произведение бесконечного числа алгебр фон Неймана, если оно сделано наивно, обычно является смехотворно большой неотделимой алгеброй. Вместо этого фон Нейман (1938) показал, что нужно выбрать состояние на каждой из алгебр фон Неймана, использовать это, чтобы определить состояние на алгебраическом тензорном произведении, которое можно использовать для создания гильбертова пространства и (достаточно малого) фон Неймана. алгебра. Араки и Вудс (1968) изучали случай, когда все факторы являются конечными матричными алгебрами; эти факторы называются факторами Араки – Вудса или факторами ITPFI (ITPFI означает «бесконечное тензорное произведение конечных факторов типа I»). Тип бесконечного тензорного произведения может резко меняться при изменении состояний; например, бесконечное тензорное произведение бесконечного числа факторов типа I 2 может иметь любой тип в зависимости от выбора состояний. В частности, Пауэрс (1967) нашел бесчисленное семейство неизоморфных гиперконечных λ- факторов типа III для 0 <λ <1, называемых факторами Пауэрса , взяв бесконечное тензорное произведение факторов типа I 2 , каждый из которых имеет состояние, заданное следующим образом:

Все гиперконечные алгебры фон Неймана, не относящиеся к типу III 0 , изоморфны факторам Араки – Вудса, но несчетное количество таких алгебр типа III 0 таковыми не являются.

Бимодули и субфакторы

Бимодулем (или переписка) гильбертово пространство Н с модулем действий двух коммутирующих алгебры фон Неймана. Бимодули имеют гораздо более богатую структуру, чем у модулей. Любой бимодуль над двумя факторами всегда дает подфактор, поскольку один из факторов всегда содержится в коммутанте другого. Существует также тонкая операция относительного тензорного произведения из-за Конна на бимодулях. Теория субфакторов, инициированная Воаном Джонсом , примиряет эти две, казалось бы, разные точки зрения.

Бимодули также важны для групповой алгебры фон Неймана M дискретной группы Γ. Действительно, если V любое унитарное представление группы Г, то, что касается Г в качестве диагональной подгруппы Г × Г, соответствующего индуцированного представления на л 2 (Г, V ) естественно бимодулем для двух коммутирующих копий М . Важные теоретические свойства представления Γ могут быть полностью сформулированы в терминах бимодулей и, следовательно, имеют смысл для самой алгебры фон Неймана. Например, Конн и Джонс таким образом дали определение аналога свойства Каждана (T) для алгебр фон Неймана.

Неустранимые факторы

Алгебры фон Неймана типа I всегда поддаются изменению, но для других типов существует бесчисленное количество различных не поддающихся изменению факторов, которые, кажется, очень трудно классифицировать или даже отличить друг от друга. Тем не менее Войкулеску показал, что класс неаменабельных факторов, возникающих из конструкции пространства с групповой мерой, не пересекается с классом, исходящим из групповых алгебр фон Неймана свободных групп. Позже Нарутака Одзава доказал, что групповые алгебры фон Неймана гиперболических групп дают простые множители типа II 1 , т. Е. Те, которые не могут быть разложены как тензорные произведения множителей типа II 1 , результат, впервые доказанный Лимингом Ге для свободных групповых факторов с использованием свободной энтропии Войкулеску . Работа Попы по фундаментальным группам неизвлекаемых факторов представляет собой еще один значительный прогресс. Теория факторов «за гранью гиперконечности» в настоящее время быстро расширяется, давая много новых и удивительных результатов; она тесно связана с явлениями жесткости в геометрической теории групп и эргодической теории .

Примеры

  • Существенно ограниченные функции на σ-конечном пространстве с мерой образуют коммутативную (тип I 1 ) алгебру фон Неймана, действующую на L 2 функции. Для некоторых пространств с не σ-конечной мерой, которые обычно считаются патологическими , L ( X ) не является алгеброй фон Неймана; например, σ-алгебра измеримых множеств может быть счетно-сосчетной алгеброй на несчетном множестве. Фундаментальная аппроксимационная теорема может быть представлена теоремой Капланского о плотности .
  • Ограниченные операторы в любом гильбертовом пространстве образуют алгебру фон Неймана или фактор типа I.
  • Если есть какие - либо унитарное представление о группе G в гильбертовом пространстве H , то ограниченные операторы , коммутирующие с G образуют алгебру фон Неймана G ', проекции точно соответствуют замкнутые подпространства H , инвариантных относительно G . Эквивалентные подпредставления соответствуют эквивалентным проекциям в G '. Двойной коммутант G ′ ′ группы G также является алгеброй фон Неймана.
  • Групповая алгебра фон Неймана дискретной группы G есть алгебра всех ограниченных операторов в H = L 2 ( G ) , коммутирующих с действием G на H через умножения справа. Можно показать , что это алгебра фон Неймана , порожденную операторами умножения соответствующих слева с элементом гG . Это фактор (типа II 1 ), если каждый нетривиальный класс сопряженности группы G бесконечен (например, неабелева свободная группа), и гиперконечный фактор типа II 1, если, кроме того, G является объединением конечные подгруппы (например, группа всех перестановок целых чисел, фиксирующих все элементы, кроме конечного).
  • Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана или счетного числа со состояниями является алгеброй фон Неймана, как описано в разделе выше.
  • Скрещенное произведение алгебры фон Неймана дискретным (или в более общем случае локально компактная) группа может быть определена, и является алгебра фон Неймана. Частными случаями являются построение пространств групповой меры факторов Мюррея, фон Неймана и Кригера .
  • Можно определить алгебры фон Неймана измеримого отношения эквивалентности и измеримого группоида . Эти примеры обобщают групповые алгебры фон Неймана и конструкцию пространств с групповой мерой.

Приложения

Алгебры фон Неймана нашли применение в различных областях математики, таких как теория узлов , статистическая механика , квантовая теория поля , локальная квантовая физика , свободная вероятность , некоммутативная геометрия , теория представлений , геометрия и вероятность .

Например, C * -алгебра обеспечивает альтернативную аксиоматизацию теории вероятностей. В данном случае метод носит название конструкции Гельфанда – Наймарка – Сигала . Это аналогично двум подходам к измерению и интегрированию, где у каждого есть выбор: сначала построить меры множеств, а затем определить интегралы, или сначала построить интегралы и определить меры множеств как интегралы от характеристических функций.

Смотрите также

использованная литература

  • Araki, H .; Woods, EJ (1968), "Классификация факторов", Publ. Res. Inst. Математика. Sci. Сер. , 4 (1): 51-130, DOI : 10,2977 / прим / 1195195263MR 0244773
  • Блэкадар Б. (2005), Операторные алгебры , Springer, ISBN 3-540-28486-9, исправленная рукопись (PDF) , 2013 г.
  • Конн, A. (1976), "Классификация Инъективных факторов", Анналы математики , вторая серия, 104 (1): 73-115, DOI : 10,2307 / 1971057 , JSTOR  1971057
  • Конн, А. (1994), Некоммутативная геометрия , Academic Press, ISBN 0-12-185860-X.
  • Диксмье, Дж. (1981), алгебры фон Неймана , ISBN 0-444-86308-7(Перевод Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars, первая книга об алгебрах фон Неймана.)
  • Джонс, VFR (2003), алгебры фон Неймана (PDF); неполные заметки из курса.
  • Костецки, Р.П. (2013), W * -алгебры и некоммутативная интеграция , arXiv : 1307.4818 , Bibcode : 2013arXiv1307.4818P.
  • МакДафф, Dusa (1969), "несчетное множество II 1 факторы", Анналы математики , второй серии 90 (2): 372-377, DOI : 10,2307 / 1970730 , JSTOR  1970730
  • Мюррей, FJ (2006), «Кольца операторов статей», Наследие Джона фон Неймана (Хемпстед, Нью-Йорк, 1988) , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 50 , Providence, RI .: Amer. Математика. Soc., Стр. 57–60, ISBN. 0-8218-4219-6 Исторический отчет об открытии алгебр фон Неймана.
  • Мюррей, Ф.Дж.; фон Неймана, Дж (1936), "О кольцах операторов", Анналы математики , второй серии 37 (1): 116-229, DOI : 10,2307 / 1968693 , JSTOR  1968693. В данной статье приводятся их основные свойства и делятся на типы I, II и III, и, в частности, обнаруживаются факторы, не относящиеся к типу I.
  • Мюррей, Ф.Дж.; фон Нейман, J. (1937), "О кольцах операторов II", Trans. Амер. Математика. Soc. , Американское математическое общество, 41 (2): 208-248, DOI : 10,2307 / 1989620 , JSTOR  1989620. Это продолжение предыдущей статьи, в которой изучаются свойства следа фактора.
  • Мюррей, Ф.Дж.; фон Неймана, Дж (1943), "О кольцах операторов IV", Анналы математики , второй серии 44 (4): 716-808, DOI : 10,2307 / 1969107 , JSTOR  1969107. Это изучает, когда факторы изоморфны, и, в частности, показывает, что все приблизительно конечные факторы типа II 1 изоморфны.
  • Силы, Роберт Т. (1967), "Представления Равномерно Гиперконечная алгебры и их ассоциированных Неймана колец", Annals математики , второй серии 86 (1): 138-171, DOI : 10,2307 / 1970364 , JSTOR  1970364
  • Сакаи, С. (1971), C * -алгебры и W * -алгебры , Springer, ISBN 3-540-63633-1
  • Шварц, Якоб (1967), W- * Алгебры , ISBN 0-677-00670-5
  • Штерн, AI (2001) [1994], "Алгебра фон Неймана" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Такесаки М. (1979), Теория операторных алгебр I, II, III , ISBN 3-540-42248-X
  • фон Нейман, J. (1930), "Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normal Operatoren", Math. Анна. , 102 (1): 370-427, Bibcode : 1930MatAn.102..685E , DOI : 10.1007 / BF01782352. Оригинальная статья по алгебрам фон Неймана.
  • фон Неймана, Дж (1936), "О некоторой топологии для колец операторов", Анналы математики , второй серии 37 (1): 111-115, DOI : 10,2307 / 1968692 , JSTOR  1968692. Это определяет сверхсильную топологию.
  • фон Нейман, J. (1938), "О бесконечных прямых произведениях" , Compos. Математика. , 6 : 1–77. Здесь обсуждаются бесконечные тензорные произведения гильбертовых пространств и алгебр, действующих на них.
  • фон Неймана, Дж (1940), "О кольцах операторов III", Анналы математики , второй серии 41 (1): 94-161, DOI : 10,2307 / 1968823 , JSTOR  1968823. Это свидетельствует о существовании факторов III типа.
  • фон Нейман, J. (1943), "О некоторых алгебраических свойствах оператора колец", Анналы математики , вторая серия, 44 (4): 709-715, DOI : 10,2307 / 1969106 , JSTOR  1969106. Это показывает, что некоторые очевидно топологические свойства в алгебрах фон Неймана могут быть определены чисто алгебраически.
  • фон Неймана, Дж (1949), "О кольцах операторов теории редукции.", Annals математики , второй серии 50 (2): 401-485, DOI : 10,2307 / 1969463 , JSTOR  1969463. Здесь обсуждается, как записать алгебру фон Неймана как сумму или интеграл факторов.
  • фон Нейман, Джон (1961), Тауб, AH (редактор), Собрание сочинений, Том III: Кольца операторов , Нью-Йорк: Pergamon Press. Перепечатывает статьи фон Неймана по алгебрам фон Неймана.
  • Вассерман, AJ (1991), Операторы в гильбертовом пространстве