Теория Ходжа - Hodge theory

В математике , теория Ходжи , названная в честь Ходж , является методом для изучения когомологий групп из более гладкого многообразия М с помощью дифференциальных уравнений . Ключевое наблюдение состоит в том, что при наличии римановой метрики на M каждый класс когомологий имеет канонического представителя - дифференциальную форму, которая обращается в нуль под действием лапласовского оператора метрики. Такие формы называются гармоническими .

Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраической геометрии и основана на работе Жоржа де Рама по когомологиям де Рама . Он имеет основные приложения в двух средах: римановы многообразия и кэлеровы многообразия . Первичная мотивация Ходжа - изучение сложных проективных многообразий - охватывается последним случаем. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря ее связи с изучением алгебраических циклов .

Хотя теория Ходжа по сути зависит от действительных и комплексных чисел, ее можно применить к вопросам теории чисел . В арифметических ситуациях инструменты p -адической теории Ходжа дали альтернативные доказательства или результаты, аналогичные классической теории Ходжа.

История

Область алгебраической топологии еще только зарождалась в 1920-х годах. В нем еще не было развито понятие когомологий , а взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было плохо изучено. В 1928 году Эли Картан опубликовал заметку под названием Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos, в которой он предположил, но не доказал, что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда еще студент, сразу же почувствовал вдохновение. В своей диссертации 1931 года он доказал впечатляющий результат, который теперь называется теоремой де Рама . По теореме Стокса интегрирование дифференциальных форм по сингулярным цепям индуцирует для любого компактного гладкого многообразия M билинейное спаривание

${\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbf {R}) \ times H _ {\ text {dR}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R}.}$

Как было первоначально заявлено, теорема де Рама утверждает, что это идеальное спаривание , и что, следовательно, каждый из членов в левой части является двойным векторным пространством друг друга. На современном языке теорема де Рама чаще формулируется как утверждение, что особые когомологии с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама:

${\ displaystyle H _ {\ text {sing}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}) \ cong H _ {\ text {dR}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}).}$

Таким образом, первоначальное утверждение де Рама является следствием двойственности Пуанкаре .

Отдельно в 1927 году работа Соломона Лефшеца использовала топологические методы для опровержения теорем Римана . Говоря современным языком, если ω ₁ и ω ₂ являются голоморфными дифференциалами на алгебраической кривой C , то их произведение клина обязательно равно нулю, потому что C имеет только одну комплексную размерность; следовательно, чашечное произведение их классов когомологий равно нулю, и, когда его сделали явным, это дало Лефшецу новое доказательство соотношений Римана . Кроме того, если ω - ненулевой голоморфный дифференциал, то это форма положительного объема, из которой Лефшец смог заново вывести неравенства Римана. В 1929 году У. В. Д. Ходж узнал о статье Лефшеца. Он сразу заметил, что аналогичные принципы применимы к алгебраическим поверхностям. Точнее, если ω - ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то положительна, поэтому чашечное произведение и должно быть ненулевым. Отсюда следует, что ω сам должен представлять ненулевой класс когомологий, поэтому все его периоды не могут быть нулевыми. Это решило вопрос Севери. ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ bar {\ omega}}}$

Ходж считал, что эти методы должны быть применимы и к многомерным разновидностям. Его коллега Питер Фрейзер рекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая тезис де Рама, Ходж понял, что действительная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что подобная двойственность должна существовать и в более высоких измерениях; эта двойственность теперь известна как звездный оператор Ходжа . Далее он предположил, что у каждого класса когомологий должен быть выделенный представитель, обладающий тем свойством, что и он, и двойственный ему обращаются в нуль под действием оператора внешней производной; теперь они называются гармоническими формами. Ходж посвятил этой проблеме большую часть 1930-х годов. Его первая опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «в высшей степени грубой». Герман Вейль , один из самых блестящих математиков того времени, обнаружил, что не может определить, было ли доказательство Ходжа правильным или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство намного превосходящим его, Боненбласт обнаружил серьезный недостаток. Независимо, Герман Вейль и Кунихико Кодаира модифицировали доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами когомологий.

Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности теоремы существования на самом деле не требовали каких-либо значительных новых идей, а просто тщательного расширения классических методов. Настоящая новизна, которая была главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их связи с алгебраической геометрией. Этот триумф концепции над техникой напоминает аналогичный эпизод в творчестве великого предшественника Ходжа Бернхарда Римана.

- MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 июня 1903 - 7 июля 1975, Биографические воспоминания членов Королевского общества , т. 22, 1976, стр. 169–192.

Теория Ходжа для вещественных многообразий

Когомологии де Рама

Теория Ходжа ссылается на комплекс де Рама . Пусть M - гладкое многообразие . Для натурального числа к , пусть Ω ^к ( М ) является реальным векторное пространство гладких дифференциальных форм степени к на М . Комплекс де Рама - это последовательность дифференциальных операторов

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ xrightarrow {d_ {0}} \ Omega ^ {1} (M) \ xrightarrow {d_ {1}} \ cdots \ xrightarrow {d_ {n-1) }} \ Omega ^ {n} (M) \ xrightarrow {d_ {n}} 0,}$

где d _k обозначает внешнюю производную на Ω ^k ( M ). Это коцепной комплекс в том смысле, что d _{k +1} ∘ d _k = 0 (также пишется d ² = 0 ). Теорема де Рама говорит , что единственное число когомологий из M с вещественными коэффициентами вычисляется де Рама комплекса:

${\ displaystyle H ^ {k} (M, \ mathbf {R}) \ cong {\ frac {\ ker d_ {k}} {\ operatorname {im} d_ {k-1}}}.}$

Операторы в теории Ходжа

Выберем риманову метрику g на M и вспомним, что:

${\ Displaystyle \ Omega ^ {k} (M) = \ Gamma \ left (\ bigwedge \ nolimits ^ {k} T ^ {*} (M) \ right).}$

Метрические дает скалярное произведение на каждом слое путем расширения (см Определитель Грама ) скалярное произведение , индуцированное г от каждого кокасательному волокна к его внешнему продукта : . Затем внутренний продукт определяется как интеграл точечного внутреннего произведения данной пары k -форм над M относительно формы объема, связанной с g . Явно, учитывая некоторые, мы имеем ${\ Displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))}$${\ Displaystyle T_ {p} ^ {*} (М)}$${\ displaystyle k ^ {th}}$ ${\ Displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {к} (М)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ omega, \ tau \ in \ Omega ^ {k} (M)}$

${\ displaystyle \ langle \ omega, \ tau \ rangle \ mapsto \ int _ {M} \ langle \ omega (p), \ tau (p) \ rangle _ {p} \ sigma.}$

Естественно, что указанное выше внутреннее произведение индуцирует норму, если эта норма конечна на некоторой фиксированной k- форме:

${\ Displaystyle \ langle \ omega, \ omega \ rangle = \ | \ omega \ | ^ {2} <\ infty,}$

тогда подынтегральное выражение - это вещественнозначная квадратично интегрируемая функция на M , вычисляемая в данной точке через ее точечные нормы,

${\ displaystyle \ | \ omega (p) \ | _ {p}: M \ to \ mathbf {R} \ in L ^ {2} (M).}$

Рассмотрим сопряженный оператор из D относительно этих внутренних продуктов:

${\ Displaystyle \ delta: \ Omega ^ {k + 1} (M) \ to \ Omega ^ {k} (M).}$

Тогда лапласиан на формах определяется формулой

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d.}$

Это линейный дифференциальный оператор второго порядка, обобщающий лапласиан для функций на R ⁿ . По определению форма на M является гармонической, если ее лапласиан равен нулю:

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M) \ mid \ Delta \ alpha = 0 \}.}$

Лапласиан впервые появился в математической физике . В частности, уравнения Максвелла говорят, что электромагнитный потенциал в вакууме представляет собой 1-форму A, которая имеет внешнюю производную dA = F , где F - 2-форма, представляющая электромагнитное поле, такое что Δ A = 0 в пространстве-времени, рассматриваемом как Минковский пространство размерности 4.

Каждая гармоническая форма α на замкнутом римановом многообразии замкнута , что означает, что dα = 0 . В результате получается каноническое отображение . Теорема Ходжа утверждает, что это изоморфизм векторных пространств. Другими словами, каждый класс вещественных когомологий на M имеет единственного гармонического представителя. В частности, гармонический представитель является единственной замкнутой формой минимальной L ² нормы , что представляет собой данный класс когомологий. Теорема Ходжа была доказана с использованием теории эллиптических уравнений в частных производных, причем первоначальные аргументы Ходжа были дополнены Кодаирой и другими в 1940-х годах. ${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) \ to H ^ {k} (M, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle \ varphi}$

Например, из теоремы Ходжа следует, что группы когомологий с вещественными коэффициентами замкнутого многообразия конечномерны . (Правда, есть и другие способы доказать это.) Действительно, операторы Δ эллиптические, и ядро эллиптического оператора на замкнутом многообразии всегда является конечномерным векторным пространством. Другое следствие теоремы Ходжа состоит в том, что риманова метрика на замкнутом многообразии M определяет вещественнозначное скалярное произведение на интегральных когомологиях M по модулю кручения . Из этого следует, что , например, образ изометрии группы из М в общей линейной группе GL ( Н ^* ( М , Z )) конечен (так как группа изометрий решетки конечна).

Вариантом теоремы Ходжа является разложение Ходжа . Это говорит о том, что существует единственное разложение любой дифференциальной формы ω на замкнутом римановом многообразии в сумму трех частей в виде

${\ Displaystyle \ омега = д \ альфа + \ дельта \ бета + \ гамма,}$

в котором γ гармонический: Δ γ = 0 . В терминах L ² метрики на дифференциальных формах, это дает ортогональную прямую сумму разложения:

${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) \ cong \ operatorname {im} d_ {k-1} \ oplus \ operatorname {im} \ delta _ {k + 1} \ oplus {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M).}$

Разложение Ходжа является обобщением разложения Гельмгольца для комплекса де Рама.

Теория Ходжа эллиптических комплексов

Атья и Ботт определили эллиптические комплексы как обобщение комплекса де Рама. Теорема Ходжа распространяется на этот случай следующим образом. Пусть - векторные расслоения , снабженные метрикой, на замкнутом гладком многообразии M с формой объема  dV . Предположим, что ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ ldots, E_ {N}}$

${\ displaystyle L_ {i}: \ Gamma (E_ {i}) \ to \ Gamma (E_ {i + 1})}$

- линейные дифференциальные операторы, действующие на C ^∞ сечениях этих векторных расслоений, и что индуцированная последовательность

${\ displaystyle 0 \ to \ Gamma (E_ {0}) \ to \ Gamma (E_ {1}) \ to \ cdots \ to \ Gamma (E_ {N}) \ to 0}$

представляет собой эллиптический комплекс. Введите прямые суммы:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} & = \ bigoplus \ nolimits _ {i} \ Gamma (E_ {i}) \\ L & = \ bigoplus \ nolimits _ {i } L_ {i}: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ end {выровнено}}}$

и пусть L ^* является сопряженным к L . Определим эллиптический оператор А = LL ^* + L ^* L . Как и в случае де Рама, это дает векторное пространство гармонических сечений

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {e \ in {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ mid \ Delta e = 0 \}.}$

Пусть ортогональная проекция, и пусть G будет в оператор Грина для А. Теорема Ходжа утверждает следующее: ${\ displaystyle H: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {H}}}$

1. H и G определены правильно.
2. Id = H + Δ G = H + G Δ
3. LG = GL , L ^∗ G = GL ^∗
4. Когомологии комплекса канонически изоморфны пространству гармонических секций в том смысле, что каждый класс когомологий имеет единственного гармонического представителя.${\ Displaystyle Н (E_ {j}) \ cong {\ mathcal {H}} (E_ {j})}$

В этой ситуации также существует разложение Ходжа, обобщающее приведенное выше утверждение для комплекса де Рама.

Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Пусть X является гладким комплексное проективное многообразие, а это означает , что X является замкнутым комплексным подмногообразием некоторого комплексного проективного пространства СР ^N . По теореме Ей , комплексные проективные многообразия автоматически алгебраические: они определяются в нуле однородных полиномиальных уравнений на CP ^N . Стандартная риманова метрика на СР ^N индуцирует риманову метрику на X , который имеет сильную совместимость со сложной структурой, что делает X Кэлерово многообразия .

Для комплексного многообразия X и натурального числа r любую C ^∞ r -форму на X (с комплексными коэффициентами) можно однозначно записать как сумму форм типа ( p , q ) с p + q = r , что означает формы, которые локально можно записать в виде конечной суммы членов, причем каждый член принимает вид

${\ displaystyle f \, dz_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {p} \ wedge d {\ overline {w_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ overline {w_ {q}}} }$

где f - функция C ^∞, а z _s и w _s голоморфные функции . На кэлеровом многообразии ( p , q ) компоненты гармонической формы снова гармоничны. Поэтому для любого компактного кэлерова многообразия X , Ходжа теорема дает разложение когомологий на X с комплексными коэффициентами как прямая суммой комплексных векторных пространств:

${\ displaystyle H ^ {r} (X, \ mathbf {C}) = \ bigoplus _ {p + q = r} H ^ {p, q} (X).}$

Фактически, это разложение не зависит от выбора кэлеровой метрики (но для общего компактного комплексного многообразия аналогичного разложения нет). С другой стороны, разложение Ходжи действительно зависит от структуры X как комплексное многообразие, тогда как в группе Н ^г ( Х , С ) зависит только от лежащего в основе топологического пространства в X .

Кусок H ^{p , q} ( X ) разложения Ходжа можно отождествить с группой когерентных пучков когомологий , которая зависит только от X как комплексного многообразия (а не от выбора кэлеровой метрики):

${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X) \ cong H ^ {q} (X, \ Omega ^ {p}),}$

где Ω ^р обозначает пучок голоморфных р -форм на X . Например, Н ^{р , 0} ( Х ) является пространство голоморфных р -форм на X . (Если X проективно, Серра «s GAGA теоремы следует , что голоморфная р -форма на все X фактически является алгебраической.)

Число Ходжа h ^{p , q} ( X ) означает размерность комплексного векторного пространства H ^{p . q} ( X ). Это важные инварианты гладкого комплексного проективного многообразия; они не меняются при непрерывном изменении комплексной структуры X , и все же в общем случае они не являются топологическими инвариантами. К свойствам чисел Ходжа относятся симметрия Ходжа h ^{p , q} = h ^{q , p} (поскольку H ^{p , q} ( X ) является комплексно сопряженным с H ^{q , p} ( X )) и h ^{p , q} = h ^{n - p , n - q} (по двойственности Серра ).

Числа Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) можно перечислить в ромбе Ходжа (показанном в случае комплексной размерности 2):

		h 2,2
	ч 2,1		h 1,2
h 2,0		h 1,1		ч 0,2
	h 1,0		ч 0,1
		ч 0,0

Например, любая гладкая проективная кривая из рода г имеет Hodge алмаз

	1
грамм		грамм
	1

В качестве другого примера, каждая поверхность K3 имеет ромб Ходжа

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Эти числа Бетти из X представляют собой сумму чисел Ходжа в данной строке. Основное применение теории Ходжа состоит в том, что нечетные числа Бетти b _{2 a +1} гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) четны в силу симметрии Ходжа. Это не верно для компактных комплексных многообразий в целом, как показано на примере на поверхности Хопфа , которая является диффеоморфен к S ¹ × S ³ и , следовательно , имеет б ₁ = 1 .

«Кэлеровский пакет» - это мощный набор ограничений на когомологии гладких комплексных проективных многообразий (или компактных кэлеровых многообразий), основанный на теории Ходжа. Результаты включают теорему Лефшеца о гиперплоскости , жесткую теорему Лефшеца и билинейные отношения Ходжа-Римана . Теория Ходжа и расширения, такие как неабелева теория Ходжа, также дают сильные ограничения на возможные фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий.

Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа

Пусть X - гладкое комплексное проективное многообразие. Комплекс подмногообразие Y в X в коразмерности р определяет элемент группы когомологий . Кроме того, в результате класса имеет особое свойство: его образ в сложном когомологическом лежит в средней части разложения Ходжи . Гипотеза Ходжи предсказывает обратную: каждый элемент , образ которого в сложных когомологиях лежат в подпространстве должен иметь положительное целое кратное , что является -линейным сочетанием классов комплексных подмногообразие X . (Такая линейная комбинация называется алгебраическим циклом на X. ) ${\ Displaystyle Н ^ {2p} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle Н ^ {2p} (Х, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle H ^ {p, p} (X)}$${\ Displaystyle Н ^ {2p} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {p, p} (X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ключевым моментом является то, что разложение Ходжа - это разложение когомологий с комплексными коэффициентами, которое обычно не получается из разложения когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами. В результате пересечение

${\ displaystyle (H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z}) / {\ text {torsion}}) \ cap H ^ {p, p} (X) \ substeq H ^ {2p} (X, \ mathbb {C})}$

может быть намного меньше, чем кручение всей группы , даже если число Ходжа велико. Короче говоря, гипотеза Ходжа предсказывает , что возможные «формы» комплексных подмногообразий X (как описано на когомологии) определяются структурой Ходжа из X (комбинация целочисленных когомологий с разложением Ходжа комплексных когомологий). ${\ Displaystyle Н ^ {2p} (Х, \ mathbb {Z}) /}$${\ displaystyle h ^ {p, p}}$

Lefschetz (1,1) -теореме говорит о том , что гипотеза Ходжа верна для р = 1 (даже как единое целое, то есть без необходимости положительного кратному в заявлении).

Структура Ходж многообразия X описывает интегралы алгебраических дифференциальных форм на X над гомологическими классами в X . В этом смысле теория Ходжа связана с фундаментальной проблемой в исчислении : вообще не существует «формулы» для интеграла от алгебраической функции . В частности, определенные интегралы алгебраических функций, известные как периоды , могут быть трансцендентными числами . Сложность гипотезы Ходжа отражает непонимание таких интегралов в целом.

Пример: для гладкой комплексной проективной K3-поверхности X группа H ² ( X , Z ) изоморфна Z ²² , а H ^1,1 ( X ) изоморфна C ²⁰ . Их пересечение может иметь ранг от 1 до 20; этот чин называется число Пикара из X . Пространство модулей всех проективных K3-поверхностей имеет счетно бесконечное множество компонент, каждая из которых имеет комплексную размерность 19. Подпространство K3-поверхностей с числом Пикара a имеет размерность 20− a . (Таким образом, для большинства проективных поверхностей K3 пересечение H ² ( X , Z ) с H ^1,1 ( X ) изоморфно Z , но для «специальных» поверхностей K3 пересечение может быть больше.)

Этот пример предлагает несколько различных ролей, которые теория Ходжа играет в комплексной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа дает ограничения на то, какие топологические пространства могут иметь структуру гладкого комплексного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа дает информацию о пространстве модулей гладких комплексных проективных многообразий с заданным топологическим типом. Наилучший случай - это когда выполняется теорема Торелли , означающая, что многообразие определяется с точностью до изоморфизма своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа дает информацию о группе Чжоу алгебраических циклов на данном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа отображения цикла из групп Чоу в обычные когомологии, но теория Ходжа также дает информацию о ядре отображения цикла, например, с использованием промежуточных якобианов, которые построены из структуры Ходжа.

Обобщения

Смешанная теория Ходжа , разработанная Пьером Делинем , расширяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомологии любого комплексного алгебраического многообразия имеют более общий тип разложения - смешанную структуру Ходжа .

Другое обобщение теории Ходжа на особые многообразия обеспечивается гомологиями пересечений . А именно, Морихико Сайто показал, что гомологии пересечений любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеют чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь пакет Кэлера продолжается до гомологий пересечений.

Фундаментальный аспект комплексной геометрии состоит в том, что существуют непрерывные семейства неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Филлип Гриффитс понятие «ы о вариации структуры Ходжа описывает , как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия X изменяется , когда Х изменяется. С геометрической точки зрения, это равносильно изучению отображения периода, связанного с семейством разновидностей. Теория модулей Ходжа Сайто является обобщением. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии X - это пучок смешанных структур Ходжа над X , который возник бы из семейства многообразий, которое не обязательно должно быть гладким или компактным.

Смотрите также

• Возможная теория
• Двойственность Серра
• Разложение Гельмгольца

Примечания

использованная литература

• Арапура, Дону, Вычисление некоторых чисел Ходжа (PDF)
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8. Руководство по ремонту  0507725 .
• Ходж, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, MR  0003947
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия: Введение , Springer , ISBN 3-540-21290-6, Руководство по ремонту  2093043
• Вуазен, Клэр (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511615344 , ISBN 978-0-521-71801-1, MR  1967689
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Springer , ISBN 0-387-90894-3, Руководство по ремонту  0722297
• Уэллс-младший, Раймонд О. (2008) [1973], Дифференциальный анализ комплексных многообразий , Тексты для выпускников по математике, 65 (3-е изд.), Springer , DOI : 10.1007 / 978-0-387-73892-5 , hdl : 10338.dmlcz / 141778 , ISBN 978-0-387-73891-8, MR  2359489