Теория пересечения - Intersection theory

В математике , теория пересечений является одной из главных ветвей алгебраической геометрии , где он дает информацию о пересечении двух подмногообразий данного сорта. Теория многообразий старше, ее корни в теореме Безу о кривых и теории исключения . С другой стороны, топологическая теория быстрее достигла окончательной формы.

Теория пересечений все еще развивается. В настоящее время основное внимание уделяется: виртуальным фундаментальным циклам, квантовым кольцам пересечений, теории Громова-Виттена и распространению теории пересечений со схем на стопки .

Форма топологического пересечения

Для подключенного ориентированного многообразия $М$ в размерности $2 н$ в форме пересечений определяется на $п$ -й группы когомологий (то , что обычно называют «среднего размера») по оценке продукта чашки на фундаментальный класс $[М]$ в $Н 2 n (M, \partial M)$ . Точнее говоря, существует билинейная форма

{\ displaystyle \ lambda _ {M} \ двоеточие H ^ {n} (M, \ partial M) \ times H ^ {n} (M, \ partial M) \ to \ mathbf {Z}}

дано

{\ displaystyle \ lambda _ {M} (a, b) = \ langle a \ smile b, [M] \ rangle \ in \ mathbf {Z}}

с участием

{\ displaystyle \ lambda _ {M} (a, b) = (- 1) ^ {n} \ lambda _ {M} (b, a) \ in \ mathbf {Z}.}

Это симметричная форма для $п$ даже (так $2 п = 4 к$ двукратно даже ), и в этом случае подпись на $М$ определяется как сигнатура формы, и знакопеременной формы для $п$ нечетного (так $2 п = 4 к + 2$ является по отдельности , даже ). Их можно равномерно называть ε-симметричными формами , где $ε = (-1) n = \pm 1$ соответственно для симметричных и кососимметричных форм. При некоторых обстоятельствах можно уточнить эту форму до $ε-$ квадратичной формы , хотя для этого требуются дополнительные данные, такие как обрамление касательного пучка. Можно отказаться от условия ориентируемости и вместо этого работать с коэффициентами $Z / 2 Z.$

Эти формы являются важными топологическими инвариантами . Например, теорема Майкла Фридмана утверждает, что односвязные компактные 4-многообразия (почти) определяются своими формами пересечения с точностью до гомеоморфизма .

В силу двойственности Пуанкаре оказывается, что есть способ думать об этом геометрически. Если возможно, выберите репрезентативные $n$ -мерные подмногообразия $A$ , $B$ для сопряженных Пуанкаре к $a$ и $b$ . Тогда $λ М ( , б)$ представляет собой ориентированное число пересечений из $A$ и $B$ , который хорошо определен , потому что с размерами $А$ и $В$ сумме к общему размеру $M$ , они в общем пересекаются в изолированных точках. Это объясняет форму пересечения терминологии .

Теория пересечений в алгебраической геометрии

Уильям Фултон в книге «Теория пересечений» (1984) пишет:

... если и $Б$ являются подмногообразием невырожденной многообразии $X$ , продукт пересечения $\cdot$ $B$ должен быть классом эквивалентности алгебраических циклов , тесно связанных с геометрией , как $\cap$ $B$ , и $B$ расположены в $X$ . Наиболее известны два крайних случая. Если пересечение собственное , то есть $dim ($ $A$ $\cap$ $B$ $) = dim$ $A$ $+ dim$ $B$ $- dim$ $X$ , то $A$ $\cdot$ $B$ является линейной комбинацией неприводимых компонент $A$ $\cap$ $B$ , с коэффициентами - кратностями пересечения. В других крайнем случае , если $=$ $B$ является несингулярным Подмногообразием, формула самопересечения говорит , что $\cdot$ $B$ представлена верхним Черен класс от нормального пучка из $А$ в $X$ .

Дать определение множественности пересечений в общем случае было главной задачей книги Андре Вейля « Основы алгебраической геометрии » 1946 года . Работа Б.Л. ван дер Вардена в 1920-х годах уже обращалась к этому вопросу; в итальянской школе алгебраической геометрии эти идеи были хорошо известны, но фундаментальные вопросы не рассматривались в том же духе.

Циклы перемещения

Хорошо работающий механизм пересечения алгебраических циклов $V$ и $W$ требует большего, чем просто теоретико-множественное пересечение $V \cap W$ рассматриваемых циклов. Если два цикла находятся в «хорошем положении», то произведение пересечений , обозначенное $V \cdot W$ , должно состоять из теоретико-множественного пересечения двух подмногообразий. Однако циклы могут находиться в неправильном положении, например, две параллельные прямые на плоскости или плоскость, содержащая прямую (пересекающуюся в 3-м пространстве). В обоих случаях пересечение должно быть точкой, потому что, опять же, если один цикл перемещается, это будет пересечение. Пересечение двух циклов $V$ и $W$ называется собственным, если коразмерность (теоретико-множественного) пересечения $V \cap W$ является суммой коразмерностей $V$ и $W$ соответственно, т.е. "ожидаемым" значением.

Поэтому используется концепция движущихся циклов с использованием соответствующих отношений эквивалентности на алгебраических циклах . Эквивалентность должна быть достаточно широкой, чтобы для любых двух циклов $V$ и $W$ существовали эквивалентные циклы $V '$ и $W '$ такие, что пересечение $V ' \cap W '$ является собственным. Конечно, с другой стороны, для второго эквивалента $V ' '$ и $W ' '$ , $V ' \cap W '$ должен быть эквивалентен $V ' ' \cap W ' '$ .

Для целей теории пересечений рациональная эквивалентность является наиболее важной. Вкратце, два $r$ -мерных цикла на многообразии $X$ рационально эквивалентны, если существует рациональная функция $f$ на $($ $r$ $+ 1)$ -мерном подмногообразии $Y$ , т. Е. Элемент функционального поля $k$ $($ $Y$ $)$ или, что то же самое, функция $f$ $:$ $Y$ $\to$ $P$ $1$ , такое что $V$ $-$ $W$ $=$ $f$ $-1$ $(0) -$ $f$ $-1$ $(\infty)$ , где $f$ $-1$ $(\cdot)$ считается с кратностями. Рациональная эквивалентность удовлетворяет описанные выше потребности.

Кратности пересечения

Пересечение линий и парабола

Руководящим принципом при определении кратностей пересечений циклов является в определенном смысле непрерывность. Рассмотрим следующий элементарный пример: пересечение параболы $y = x 2$ и оси $y = 0$ должно быть $2 \cdot (0, 0)$ , потому что если один из циклов перемещается (но в неопределенном смысле), есть ровно два точки пересечения, которые сходятся к $(0, 0),$ когда циклы приближаются к изображенному положению. (Картина вводит в заблуждение, поскольку кажущееся пустым пересечение параболы и прямой $y = -3$ пусто, потому что изображены только реальные решения уравнений).

Первое полностью удовлетворительное определение кратностей пересечений было дано Серром : пусть объемлющее многообразие $X$ гладкое (или все локальные кольца регулярны ). Далее, пусть $V$ и $W$ - два (неприводимых редуцированных замкнутых) подмногообразия, такие, что их пересечение собственно. Конструкция является локальным, поэтому сорта могут быть представлены двумя идеалами $I$ и $J$ в координатном кольце $X$ . Пусть $Z$ - неприводимая компонента теоретико-множественного пересечения $V \cap W,$ а $z -$ его общая точка . Кратность $Z$ в произведении пересечений $V \cdot W$ определяется равенством

{\ displaystyle \ mu (Z; V, W): = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {i} {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O} } _ {X, z}} {\ text {Tor}} _ {{\ mathcal {O}} _ {X, z}} ^ {i} ({\ mathcal {O}} _ {X, z} / I, {\ mathcal {O}} _ {X, z} / J),}

переменная сумма по длине над локальным кольцом $X$ в $г$ из торсионных групп фактора - колец , соответствующих подмногообразие. Это выражение иногда называют Tor-формулой Серра .

Примечания:

Первое слагаемое, длина

${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {O}} _ {X, z} / I \ right) \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X, z}} \ left ({\ mathcal {O }} _ {X, z} / J \ right) = {\ mathcal {O}} _ {Z, z}}$

это «наивное» предположение о множественности; однако, как показывает Серр, этого недостаточно.
Сумма конечна, поскольку регулярное локальное кольцо имеет конечную Tor-размерность. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, z}}$
Если пересечение $V$ и $W$ не является правильным, указанная выше кратность будет равна нулю. Если это правильно, то это строго положительно. (Оба утверждения не очевидны из определения).
Используя аргумент спектральной последовательности , можно показать, что $μ (Z; V, W) = μ (Z; W, V)$ .

Кольцо Чау

Ее кольцо является группа алгебраических циклов по модулю рациональной эквивалентности вместе со следующим коммутативным продуктом пересечения :

{\ Displaystyle V \ cdot W: = \ sum _ {i} \ mu (Z_ {i}; V, W) Z_ {i}}

всякий раз, когда V и W пересекаются поперечно, где - разложение теоретико-множественного пересечения на неприводимые компоненты. ${\ displaystyle V \ cap W = \ cup _ {i} Z_ {i}}$

Самопересечение

Для двух подмногообразий $V$ и $W$ можно взять их пересечение $V \cap W$ , но также возможно, хотя и более тонко, определить самопересечение одного подмногообразия.

Принимая во внимание, например, кривая $С$ на поверхности $S$ , его пересечение с самим собой (как множеств) просто сам по себе: $C \cap C = C$ . Это явно правильно, но, с другой стороны, неудовлетворительно: для любых двух различных кривых на поверхности (без общих компонентов) они пересекаются в некотором наборе точек, который, например, можно подсчитать, получив число пересечения , и мы может пожелать сделать то же самое для данной кривой: аналогия в том, что пересечение различных кривых похоже на умножение двух чисел: $xy$ , а самопересечение похоже на возведение в квадрат одного числа: $x 2$ . Формально аналогия формулируется как симметричная билинейная форма (умножение) и квадратичная форма (возведение в квадрат).

Геометрическим решением этого является пересечение кривой $C$ не с самой собой, а со слегка отодвинутой версией самой себя. В плоскости, это просто означает , что перевод кривой $C$ в некотором направлении, но в целом говорит о принятии кривой $C '$ , которое линейно эквивалентны с $C$ , и подсчета пересечений $C \cdot C'$ , таким образом , получая число пересечений, обозначается $C \cdot С$ . Обратите внимание, что в отличие от различных кривых $C$ и $D$ , фактические точки пересечения не определены, потому что они зависят от выбора $C '$ , но «точки самопересечения $C ' '$ можно интерпретировать как $k$ общих точек на $C$ , где $K = C \cdot С$ . Более должным образом, точка самопересечения $С$ является общей точкой $C$ , взятая с кратностью $C$ $\cdot$ $C$ .

В качестве альтернативы, можно «решить» (или мотивировать) эту проблему алгебраически, дуализируя и рассматривая класс $[C] \cup [C]$ - это одновременно дает число и поднимает вопрос о геометрической интерпретации. Отметим, что переход к классам когомологий аналогичен замене кривой линейной системой.

Обратите внимание, что число самопересечения может быть отрицательным, как показано в примере ниже.

Примеры

Рассмотрим прямую $L$ в проективной плоскости $P 2$ : у нее номер самопересечения 1, поскольку все другие прямые пересекают ее один раз: можно оттолкнуть $L$ от $L '$ , и $L \cdot L ' = 1$ (для любого выбора) $L '$ , поэтому $L \cdot L = 1$ . В терминах форм пересечения мы говорим, что плоскость имеет один тип $x 2$ (существует только один класс прямых, и все они пересекаются друг с другом).

Обратите внимание, что на аффинной плоскости можно оттолкнуть $L$ до параллельной линии, поэтому (мыслим геометрически) количество точек пересечения зависит от выбора отталкивания. Говорят, что «аффинная плоскость не имеет хорошей теории пересечений», а теория пересечений на непроективных многообразиях намного сложнее.

Прямая на $P 1 \times P 1$ (которую также можно интерпретировать как неособую квадрику $Q$ в $P 3$ ) имеет самопересечение $0$ , поскольку прямую можно сдвинуть с самой себя. (Это линейчатая поверхность .) В терминах форм пересечения мы говорим, что $P 1 \times P 1$ имеет один из типов $xy$ - есть два основных класса прямых, которые пересекаются друг с другом в одной точке ( $xy$ ), но не имеют нулевой точки. -пересечение (нет $x 2$ или $y 2$ слагаемых).

Раздутие

Ключевым примером чисел самопересечения является исключительная кривая раздутия, которая является центральной операцией в бирациональной геометрии . Дана алгебраическая поверхность $S$ , взрывает в точке создает кривую $C$ . Эта кривая $C$ узнаваема по ее роду, равному $0$ , и ее числу самопересечения, $равному -1$ . (Это не очевидно.) Отметим, что, как следствие, $P 2$ и $P 1 \times P 1$ являются минимальными поверхностями (они не являются раздутыми), поскольку у них нет кривых с отрицательным самопересечением. Фактически, теорема Кастельнуово о сжатии утверждает обратное: каждая $(-1)$ -кривая является исключительной кривой некоторого раздутия (ее можно «сдуть»).

Смотрите также

Цитаты

использованная литература

Gathman, Andreas, Algebraic Geometry , заархивировано из оригинала 21 мая 2016 г. , получено 11 мая 2018 г.
Тиан, Ичао, Примечания к курсу теории пересечений (PDF)

Библиография

Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (2016). 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-01708-5.
Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 2 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR 1644323
Фултон, Уильям; Серж, Ланг, Алгебра Римана-Роха , ISBN 978-1-4419-3073-6
Серр, Жан-Пьер (1965), регион Альжебра. Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Конспект лекций по математике, 11 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0201468

Languages

In other projects