Категория топологических пространств - Category of topological spaces

В математике , то категория топологических пространств , часто обозначаются Top , является категорией , чьи объекты являются топологическими пространствами и чьи морфизмы являются непрерывными отображениями . Это категория, потому что композиция двух непрерывных отображений снова непрерывна, а тождественная функция непрерывна. Изучение Топа и свойств топологических пространств с использованием методов теории категорий известно как категориальная топология .

NB. Некоторые авторы используют название Top для категорий с топологическими многообразиями или с компактно порожденными пространствами как объектами и непрерывными отображениями как морфизмами.

Как конкретная категория

Как и многие категории, категория Top - это конкретная категория , то есть ее объекты - это множества с дополнительной структурой (то есть топологиями), а ее морфизмы - это функции, сохраняющие эту структуру. Есть естественный забывчивый функтор

U  : Вверх → Установить

к категории множеств, которая присваивает каждому топологическому пространству базовое множество, а каждой непрерывной карте - базовую функцию .

Забывающий функтор U имеет оба сопряженных слева

D  : Установить → Вверх

который снабжает данное множество дискретной топологией и правым сопряженным

I  : Установить → Сверху

который снабжает данное множество недискретной топологией . Оба этих функтора фактически обратны вправо к U (это означает, что UD и UI равны тождественному функтору на Set ). Кроме того, поскольку любая функция между дискретным или между антидискретными пространствами является непрерывной, оба из этих функторов дают полные вложения из набора во Top .

Лучший также волоконно-полный смысл , что категория всех топологий на заданное множество X ( так называемого слоем из U выше X ) образует полную решетку , когда упорядочены по включению . Наибольший элемент в этом слое является дискретной топологией на X , в то время как наименьший элемент является антидискретной топологии.

Топ - это модель того, что называется топологической категорией . Эти категории характеризуются тем, что каждый структурированный источник имеет уникальный начальный подъем . В Top начальный подъем достигается путем размещения начальной топологии на источнике. Топологические категории имеют много общих свойств с Top (например, послойная полнота, дискретные и недискретные функторы и уникальное снятие пределов). ${\ displaystyle (X \ к UA_ {i}) _ {I}}$ ${\ Displaystyle (от А \ до А_ {я}) _ {I}}$

Пределы и коллимиты

Категория Top является одновременно полной и частично завершенной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Top . Фактически, забывчивый функтор U  : Top → Set однозначно снимает как пределы, так и копределы, а также сохраняет их. Следовательно, (со) пределы в Top задаются размещением топологий на соответствующих (со) пределах в Set .

В частности, если F является диаграммой в Top и ( L , φ  : L → F ) является пределом UF в Set , соответствующий предел F в Top получается размещением начальной топологии на ( L , φ  : L → F ). Двойные копределы в Top получаются помещением окончательной топологии на соответствующие копределы в Set .

В отличие от многих алгебраических категорий, забывчивый функтор U  : Top → Set не создает и не отражает ограничений, поскольку обычно неуниверсальные конусы в Top будут покрывать универсальные конусы в Set .

Примеры ограничений и копределов в Top включают:

• Пустое множество (рассматриваются как топологическое пространство) является исходным объектом из Top ; любое одноэлементное топологическое пространство является конечным объектом . Таким образом, в Top нет нулевых объектов .
• Продукт в Top определяется топологией произведения на декартово произведение . Копроизведение даются несвязным объединением топологических пространств.
• Эквалайзер пары морфизмов задаются путем размещения топологии подпространства на теоретико-множественный эквалайзер. Кроме того, коувалайзер задается помещением фактор-топологии на теоретико-множественный коувалайзер.
• Прямые пределы и обратные пределы - это теоретико-множественные пределы с окончательной топологией и начальной топологией соответственно.
• Примыкающие пространства - это пример выталкивания в Top .

Прочие свойства

• В мономорфизмах в Top являются инъективными непрерывными отображениями, то эпиморфизмы являются сюръективными непрерывными отображениями, а изоморфизмы являются гомеоморфизмами .
• В экстремальных мономорфизмах являются ( с точностью до изоморфизма) в подпространстве вложений. Фактически, в Top все экстремальные мономорфизмы удовлетворяют более сильному свойству регулярности .
• Экстремальные эпиморфизмы (по сути) являются фактор-отображениями . Каждый экстремальный эпиморфизм регулярен.
• Расщепленные мономорфизмы (по сути) являются включениями ретрактов в их окружающее пространство.
• Расщепленные эпиморфизмы - это (с точностью до изоморфизма) непрерывные сюръективные отображения пространства на один из его ретрактов.
• Там нет нулевых морфизмов в Top , и , в частности , категория не предаддитивна .
• Top не является декартово замкнутым (и, следовательно, также не является топосом ), поскольку он не имеет экспоненциальных объектов для всех пространств. Когда эта особенность желательна, часто ограничиваются полной подкатегорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств CGHaus . Однако Top содержится в экспоненциальной категории псевдотопологий , которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории пространств сходимости .

Отношения с другими категориями

• Категория точечных топологических пространств Top _• является категорией кослиц над Top .
• Гомотопическая категория HTOP имеет топологические пространства для объектов и классов гомотопической эквивалентности непрерывных отображений для морфизмов. Это фактор категории из Top . Точно так же можно образовать точечную гомотопическую категорию hTop _• .
• Топ содержит важную категорию Haus из пактов в качестве полной подкатегории . Дополнительная структура этой подкатегории допускает большее количество эпиморфизмов: фактически, эпиморфизмы в этой подкатегории - это в точности те морфизмы с плотными изображениями в их кодобластях , так что эпиморфизмы не обязательно должны быть сюръективными .
• Top содержит полную подкатегорию CGHaus из компактно порожденных пактов , который имеет важное свойство быть декартово замкнутой категории в то же время , содержащий все типичные пространства интересов. Это делает CGHaus особенно удобной категорией топологических пространств, которая часто используется вместо Top .
• Функтор забывчивости к Set имеет как левое, так и правое сопряжение, как описано выше в разделе о конкретных категориях.
• Существует функтор категории локалей Loc, отправляющий топологическое пространство в его локаль открытых множеств. У этого функтора есть правый сопряженный элемент, который отправляет каждую локаль в ее топологическое пространство точек. Это примыкание ограничивает эквивалентность категории трезвых пространств и пространственных локаций.
• Гипотеза гомотопии связывает Top с ∞Grpd , категорией ∞-группоидов . Гипотеза утверждает, что ∞-группоиды эквивалентны топологическим пространствам по модулю слабой гомотопической эквивалентности .

Смотрите также

• Категория групп
• Категория метрических пространств
• Категория наборов
• Категория топологических пространств с базовой точкой
• Категория топологических векторных пространств  - топологическая категория

Цитаты

использованная литература