Схема аксиомы спецификации - Axiom schema of specification

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств , то схема выделение , известное также как аксиома схема разделения , подмножество схемы аксиом или схемы аксиом ограниченного понимания является схемой аксиом . По сути, он говорит, что любой определяемый подкласс набора является набором.

Некоторые математики называют это схемой аксиомы понимания , хотя другие используют этот термин для неограниченного понимания , обсуждаемого ниже.

Поскольку ограничение понимания позволяет избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя, считали его наиболее важной аксиомой теории множеств.

Заявление

Один экземпляр схемы включается для каждой формулы ф в языке теории множеств с свободными переменными среди х , ш ₁ , ..., ш _п , А . Таким образом, B не входит в свободную форму в φ. На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит так:

${\ displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ forall A \, \ exists B \, \ forall x \, (x \ in B \ Leftrightarrow [x \ in A \ land \ varphi (x, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}, A)])}$

или словами:

Для любого набора , существует множество В (подмножество А ) таким образом, что, с учетом любого множества х , х является членом B тогда и только тогда , когда х является членом A и φ имеет место для х .

Заметим, что для каждого такого предиката φ существует одна аксиома ; таким образом, это схема аксиомы .

Чтобы понять эту аксиому схему, обратите внимание , что множество B должно быть подмножество из А . Таким образом, то, что схема аксиомы действительно говорит, что, учитывая множество и предикат P , мы можем найти подмножество B в A , члены которого являются именно членами А что удовлетворяет условие P . По аксиоме протяженности это множество единственно. Обычно мы обозначаем это множество, используя обозначение конструктора множеств, как { C ∈ A  : P ( C )}. Таким образом, суть аксиомы такова:

Каждый подкласс набора, который определяется предикатом, сам является набором.

Схема аксиом спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, связанных с обычной теорией множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально различных системах альтернативной теории множеств . Например, новые основы и положительны теории множеств используют различные ограничения на аксиоме понимания в наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств из п е н делает конкретную точку позволяя соответствующих подклассы наборов, называемый semisets . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке – Платека с элементами .

Отношение к схеме аксиом замены

Схема аксиом разделения может быть почти выведена из схемы аксиом замещения .

Во-первых, вспомните эту схему аксиом:

${\ Displaystyle \ forall A \, \ существует B \, \ forall C \, (C \ in B \ iff \ существует D \, [D \ in A \ land C = F (D)])}$

для любого функционального предиката F в одной переменной , которая не использует символы , B , C или D . Учитывая подходящий предикат P для аксиомы спецификации, определите отображение F следующим образом: F ( D ) = D, если P ( D ) истинно, и F ( D ) = E, если P ( D ) ложно, где E - любой член A такое, что P ( E ) истинно. Тогда множество B, гарантированное аксиомой замены, является в точности тем множеством B, которое требуется для аксиомы спецификации. Проблема только в том, что такого E не существует. Но в этом случае множество B, необходимое для аксиомы разделения, является пустым множеством , поэтому аксиома разделения следует из аксиомы замены вместе с аксиомой пустого множества .

По этой причине схему аксиом спецификации часто упускают из современных списков аксиом Цермело – Френкеля. Тем не менее, это все еще важно для исторических соображений и для сравнения с альтернативными аксиоматизациями теории множеств, как это можно увидеть, например, в следующих разделах.

Неограниченное понимание

Схема аксиомы неограниченного понимания гласит:

${\ displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ exists B \, \ forall x \, (x \ in B \ Leftrightarrow \ varphi (x, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}))}$

это:

Существует множество B , членами которого являются именно те объекты, которые удовлетворяют предикату φ.

Это множество B снова единственное и обычно обозначается как { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _n )}.

Эта схема аксиом негласно использовалась на заре наивной теории множеств , до того, как была принята строгая аксиоматизация. К сожалению, это приводит непосредственно к парадоксу Рассела , принимая φ ( x ) за ¬ ( x  ∈  x ) (т. Е. Свойство, при котором множество x не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуитивно достоверно.

Принятие только схемы аксиом спецификации было началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело – Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми, чтобы восполнить часть того, что было потеряно при изменении схемы понимания аксиом на схему аксиом. спецификации - каждая из этих аксиом утверждает, что определенный набор существует, и определяет этот набор, задавая предикат для его членов, то есть это частный случай схемы аксиомы понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив, к каким формулам она может применяться, например, только стратифицированные формулы в New Foundations (см. Ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, количественной оценкой и атомарными формулами) в положительной теории множеств . Однако позитивные формулы обычно не могут выразить определенные вещи, которые могут выразить большинство теорий; например, в позитивной теории множеств нет дополнения или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс C представляет собой набор , если и только если оно принадлежит некоторому классу Е . В этой теории есть схема теорем, которая гласит

${\ displaystyle \ существует D \ forall C \, ([C \ in D] \ iff [P (C) \ land \ exists E \, (C \ in E)]) \ ,,}$

это,

«Существует класс D такой, что любой класс C является членом D тогда и только тогда, когда C - множество, удовлетворяющее P ».

при условии, что кванторы в предикате P ограничены наборами.

Эта схема теорем сама по себе является ограниченной формой понимания, которая позволяет избежать парадокса Рассела из-за требования, чтобы C было множеством. Тогда спецификацию самих множеств можно записать в виде единой аксиомы

${\ Displaystyle \ forall D \ forall A \, (\ существует E \, [A \ in E] \ подразумевает \ существует B \, [\ существует E \, (B \ in E) \ land \ forall C \, ( C \ in B \ iff [C \ in A \ land C \ in D])]) \ ,,}$

это,

«Для любого класса D и любого множества A существует множество B , членами которого являются в точности те классы, которые являются членами как A, так и D ».

или даже проще

« Пересечение класса D и множества A само является множеством B ».

В этой аксиоме предикат P заменен классом D , который может быть определен количественно. Другая более простая аксиома, которая достигает того же эффекта, -

${\ Displaystyle \ forall A \ forall B \, ([\ существует E \, (A \ in E) \ land \ forall C \, (C \ in B \ подразумевает C \ in A)] \ предполагает \ существует E \ , [B \ in E]) \ ,,}$

это,

«Подкласс набора - это набор».

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем производить количественную оценку по предикатам, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же прием, который использовался в аксиомах NBG из предыдущего раздела, где предикат был заменен классом, который затем подвергался количественной оценке.

В логике второго порядка и логики высшего порядка с семантикой более высокого порядка, аксиома спецификации является логической обоснованности и не должны быть явно включены в теорию.

В новых фондах Куайна

В подходе New Foundations к теории множеств, впервые предложенном WVO Quine , аксиома понимания данного предиката принимает неограниченную форму, но сами предикаты, которые могут использоваться в схеме, ограничены. Предикат ( C не входит в C ) запрещен, потому что один и тот же символ C появляется с обеих сторон символа принадлежности (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом удается избежать парадокса Рассела. Однако, взяв P ( C ) равным ( C = C ), что допустимо, мы можем сформировать набор всех множеств. Подробнее см. Стратификация .

Рекомендации