Абсолютное значение (алгебра) - Absolute value (algebra)

В алгебре , абсолютное значение (также называемые оценки , величины , или норму , хотя « норма » обычно относится к определенному виду абсолютного значения на поле ) является функция , которая измеряет «размер» элементы в поле или интеграле домен . Точнее, если D - область целостности, то абсолютное значение - это любое отображение | x | от D до действительных чисел R, удовлетворяющих:

•	${\ Displaystyle \ влево \| х \ вправо \| \ geq 0}$	(неотрицательность)
•	${\ Displaystyle \ влево \| х \ вправо \| = 0}$ если и только если ${\ displaystyle x = 0}$	( положительная определенность )
•	${\ Displaystyle \ влево \| ху \ вправо \| = \ влево \| х \ вправо \| \ влево \| у \ вправо \|}$	(мультипликативность)
•	${\ Displaystyle \ влево \| х + у \ вправо \| \ Leq \ влево \| х \ вправо \| + \ влево \| у \ вправо \|}$	( неравенство треугольника )

Из этих аксиом следует, что | 1 | = 1 и | -1 | = 1. Кроме того, для каждого положительного целого числа п ,

| п | = | 1 + 1 + ... + 1 ( n раз) | = | −1 - 1 - ... - 1 ( n раз) | ≤ п .

Классическое « абсолютное значение » - это такое, в котором, например, | 2 | = 2, но многие другие функции удовлетворяют указанным выше требованиям, например, квадратный корень из классического абсолютного значения (но не его квадрат).

Абсолютное значение индуцирует метрику (и, следовательно, топологию ) посредством ${\ displaystyle d (f, g) = | fg |.}$

Примеры

Стандартное абсолютное значение целых чисел.
Стандартное абсолютное значение комплексных чисел .
Р -адическое абсолютное значение на рациональных числах .
Если R является полем рациональных функций над полем F и является фиксированным неприводимым элементом из R , то следующее определяет абсолютное значение на R : для в R определяет как , где и ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle | f |}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$ ${\ Displaystyle е (х) = п (х) ^ {п} {\ гидроразрыва {г (х)} {ч (х)}}}$ ${\ displaystyle \ gcd (g (x), p (x)) = 1 = \ gcd (h (x), p (x)).}$

Типы абсолютного значения

Тривиальным абсолютное значение абсолютное значение с | x | = 0, когда x = 0 и | x | = 1 в противном случае. Каждая область целостности может иметь хотя бы тривиальное абсолютное значение. Тривиальное значение - единственное возможное абсолютное значение в конечном поле, потому что любой ненулевой элемент может быть возведен в некоторую степень, чтобы дать 1.

Если абсолютное значение удовлетворяет более сильному свойству | х + у | ≤ max (| x |, | y |) для всех x и y , то | х | называется ультраметрическим или неархимедовым абсолютным значением , а в противном случае - архимедовым абсолютным значением .

Места

Если | х | ₁ и | х | ₂ - два абсолютных значения в одной и той же области целостности D , то эти два абсолютных значения эквивалентны, если | х | ₁ <1 тогда и только тогда, когда | х | ₂ <1 для всех x . Если два нетривиальных абсолютных значения эквивалентны, то для некоторой экспоненты e | х | ₁^e = | х | ₂ для всех x . Увеличение абсолютного значения до степени меньше 1 приводит к другому абсолютному значению, но увеличение до степени больше 1 не обязательно приводит к абсолютному значению. (Например, возведение в квадрат обычного абсолютного значения действительных чисел дает функцию, которая не является абсолютной величиной, потому что она нарушает правило | x + y | ≤ | x | + | y |.) Абсолютные значения с точностью до эквивалентности или в Другими словами, класс эквивалентности абсолютных значений называется местом .

Теорема Островского утверждает, что нетривиальные позиции рациональных чисел Q являются обычным модулем и p -адическим модулем для каждого простого числа p . Для данного простого числа p любое рациональное число q можно записать как p ⁿ ( a / b ), где a и b - целые числа, не делящиеся на p, а n - целое число. Р -адическая абсолютное значение ц является

{\ displaystyle \ left | p ^ {n} {\ frac {a} {b}} \ right | _ {p} = p ^ {- n}.}

Поскольку обычное абсолютное значение и p -адические абсолютные значения являются абсолютными значениями согласно приведенному выше определению, они определяют места.

Оценки

Если для некоторого ультраметрического модуля и любой базы b > 1 мы определим ν ( x ) = −log _b | х | для x ≠ 0 и ν (0) = ∞, где ∞ упорядочено так, чтобы оно было больше всех действительных чисел, то мы получаем функцию от D до R ∪ {∞} со следующими свойствами:

ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
ν ( xy ) = ν ( x ) + ν ( y ),
ν ( x + y ) ≥ min (ν ( x ), ν ( y )).

Такая функция известна как оценка в терминологии Бурбаки , но другие авторы используют термин « оценка» для обозначения абсолютной стоимости, а затем говорят « экспоненциальная оценка» вместо оценки .

Завершено

Учитывая область целостности D с абсолютным значением, мы можем определить последовательности Коши элементов D по модулю, потребовав, чтобы для каждого ε> 0 существовало положительное целое число N такое, что для всех целых чисел m , n > N есть | х _м - х _п | <ε. Последовательности Коши образуют кольцо при поточечном сложении и умножении. Можно также определить нулевые последовательности как последовательности ( a _n ) элементов D такие, что | а _п | сходится к нулю. Нулевые последовательности являются первичным идеалом в кольце последовательностей Коши, поэтому фактор-кольцо является областью целостности. Домен D имеет встроенный в этом фактор - кольцо, называемое завершение из D по абсолютному значению | х |.

Поскольку поля являются областями целостности, это также конструкция для завершения поля по абсолютному значению. Чтобы показать, что результатом является поле, а не просто область целостности, мы можем либо показать, что нулевые последовательности образуют максимальный идеал , либо напрямую построить обратное. Последнее легко сделать, взяв для всех ненулевых элементов факторкольца последовательность, начинающуюся с точки за последним нулевым элементом последовательности. Любой ненулевой элемент факторкольца будет отличаться от такой последовательности нулевой последовательностью, и, выполняя поточечную инверсию, мы можем найти представительный обратный элемент.

Другая теорема Александра Островского гласит, что любое поле, полное относительно архимедова абсолютного значения, изоморфно либо действительным, либо комплексным числам, и оценка эквивалентна обычному. Гельфанд-Tornheim теорема утверждает , что любое поле с архимедовой оценкой изоморфно подполом из С , оценок, эквивалентными обычной абсолютной величиной на C .

Поля и области целостности

Если D - область целостности с абсолютным значением | х |, то мы можем расширить определение абсолютного значения в поле фракций из D по установке

{\ Displaystyle | х / у | = | х | / | у |. \,}

С другой стороны, если F - поле с ультраметрическим модулем | x |, то множество таких элементов F , что | х | ≤ 1 определяет кольцо нормирования , которая является Подкольцо D из F , что для любого ненулевого элемента х из F , по меньшей мере , один из й или х ^-1 принадлежит D . Поскольку F - поле, D не имеет делителей нуля и является областью целостности. Он имеет единственный максимальный идеал, состоящий из всех x таких, что | х | <1, а значит, является локальным кольцом .

Languages

In other projects