Теория множеств Цермело - Zermelo set theory

Теория множеств Цермело (иногда обозначаемая Z ^- ), изложенная в важной статье 1908 года Эрнста Цермело , является родоначальником современной теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) и ее расширений, таких как множество фон Неймана – Бернейса – Гёделя. теория (НБГ). Он имеет определенные отличия от своих потомков, которые не всегда понимаются и часто цитируются неправильно. В этой статье изложены исходные аксиомы с исходным текстом (переведенным на английский язык) и исходной нумерацией.

Аксиомы теории множеств Цермело

В аксиомах теории множеств Цермели указаны для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) являются множество, а остальные объекты праэлементы и не устанавливает. Язык Цермело неявно включает отношение принадлежности ∈, отношение равенства = (если оно не включено в базовую логику) и унарный предикат, говорящий, является ли объект множеством. Более поздние версии теории множеств часто предполагают, что все объекты являются множествами, поэтому нет никаких элементов и нет необходимости в унарном предикате.

АКСИОМА I. Аксиома экстенсиональности ( Axiom der Bestimmtheit ) «Если каждый элемент множества M также является элементом N, и наоборот ... тогда M N. Вкратце, каждое множество определяется своими элементами».

{\ Displaystyle \ Equiv}

АКСИОМА II. Аксиома элементарных множеств ( Axiom der Elementarmengen ) «Существует множество, нулевое множество, ∅, которое не содержит вообще никаких элементов. Если a - любой объект домена, существует набор { a }, содержащий a и только a as элемент. Если a и b - любые два объекта домена, всегда существует набор { a , b }, содержащий как элементы a и b, но ни один объект x, отличный от них обоих ». См. Аксиома пар .

АКСИОМА III. Аксиома разделения ( Axiom der Aussonderung ) «Всякий раз, когда пропозициональная функция - ( x ) определена для всех элементов множества M , M обладает подмножеством M ', содержащим в качестве элементов в точности те элементы x из M, для которых - ( x ) истинно. . "

АКСИОМА IV. Аксиома множества мощности ( Axiom дер Potenzmenge ) «каждое множество Т соответствует множеству Т» , то набор мощности от T , который содержит в качестве элементов в точности всех подмножеств Т ».

АКСИОМА V. Аксиома объединения ( Axiom der Vereinigung ) «Каждому множеству T соответствует множество ∪T , объединение T , которое содержит в качестве элементов в точности все элементы из элементов T ».

АКСИОМА VI. Аксиома выбора ( Axiom der Auswahl ) «Если T - это множество, все элементы которого являются множествами, отличными от ∅ и взаимно не пересекающимися, его объединение ∪T включает по крайней мере одно подмножество S _1, имеющее один и только один элемент, общий с каждым элементом из Т «.

АКСИОМА VII. Аксиома бесконечности ( Axiom des Unendlichen ) «В области существует по крайней мере одно множество Z, которое содержит нулевое множество в качестве элемента и составлено таким образом, что каждому из его элементов a соответствует дополнительный элемент формы { a }, другими словами, что с каждым из своих элементов a он также содержит соответствующий набор { a } как элемент ".

Связь со стандартной теорией множеств

Наиболее широко используемая и принятая теория множеств известна как ZFC, которая состоит из теории множеств Цермело – Френкеля с добавлением аксиомы выбора . Ссылки показывают, где соответствуют аксиомы теории Цермело. Для «элементарных множеств» нет точного соответствия. (Это было позже показано , что множество одноточечное может быть получено из того , что теперь называют «Аксиома пар». Если существует, и существует, таким образом , { , } существует, так что в силу объемности { , } = { a }.) Аксиома пустого множества уже предполагается аксиомой бесконечности и теперь включена как ее часть.

Теория множеств Цермело не включает аксиомы замещения и регулярности . Аксиома замены была впервые опубликована в 1922 году Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом , которые независимо обнаружили, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...}, где Z ₀ - множество из натуральных чисел и Z _{п +1} является набор мощности из Z _н . Оба они поняли, что для доказательства этого нужна аксиома замены. В следующем году Джон фон Нейман указал, что эта аксиома необходима для построения его теории ординалов . Аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 году.

В современной системе ZFC, то «пропозициональная функция» , упомянутая в аксиоме разделения интерпретируются как «любая собственность , определяемая первым порядка формулой с параметрами», поэтому аксиома разделения заменяется схемой аксиом . Понятие «формулы первого порядка» не было известно в 1908 году, когда Цермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничительную. Теория множеств Цермело обычно рассматривается как теория первого порядка с заменой аксиомы разделения на схему аксиом с аксиомой для каждой формулы первого порядка. Ее также можно рассматривать как теорию в логике второго порядка , где теперь аксиома разделения представляет собой всего лишь единственную аксиому. Интерпретация второго порядка теории множеств Цермело, вероятно, ближе к его собственной концепции Цермело и сильнее, чем интерпретация первого порядка.

В обычной кумулятивной иерархии V _α теории множеств ZFC (для ординалов α) любое из множеств V _α для α предельного ординала, большего, чем первый бесконечный ординал ω (например, V _{ω · 2} ), образует модель множества Цермело теория. Таким образом, непротиворечивость теории множеств Цермело - это теорема теории множеств ZFC. Аксиомы Цермело не подразумевают существования ℵ _ω или более бесконечных кардиналов, поскольку модель V _{ω · 2} не содержит таких кардиналов. (Кардиналы должны определяться по-другому в теории множеств Цермело, поскольку обычное определение кардиналов и ординалов работает не очень хорошо: с обычным определением невозможно даже доказать существование ординала ω2.)

Аксиома бесконечности , как правило , в настоящее время изменена , чтобы утверждать существование первого бесконечного фон Нейман порядкового ; оригинальные аксиомы Цермело не могут доказать существование этого множества, а модифицированные аксиомы Цермело не могут доказать аксиому Цермело о бесконечности. Аксиомы Цермело (исходные или модифицированные) не могут доказать существование множества или какого-либо ранга совокупной иерархии множеств с бесконечным индексом. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Цермело допускал существование урелэлементов , которые не являются наборами и не содержат элементов; теперь они обычно не включаются в теории множеств.

Теория множеств Мак Лейна

Теория множеств Мак-Лейна, введенная Мак-Лейном ( 1986 ), представляет собой теорию множеств Цермело с аксиомой разделения, ограниченной формулами первого порядка, в которых каждый квантор ограничен. Теория множеств Мак-Лейна схожа по силе с теорией топоса с объектом натурального числа или с системой в Principia mathematica . Он достаточно силен, чтобы выполнять почти всю обычную математику, не связанную напрямую с теорией множеств или логикой.

Цель статьи Цермело

Во введении говорится, что самому существованию дисциплины теории множеств «кажется, угрожают определенные противоречия или« антиномии », которые могут быть выведены из ее принципов - принципов, которые, по-видимому, обязательно управляют нашим мышлением, - и для которых нет полностью удовлетворительного решения пока не найден ". Цермело, конечно, имеет в виду « антиномию Рассела ».

Он говорит, что хочет показать, как исходную теорию Георга Кантора и Ричарда Дедекинда можно свести к нескольким определениям и семи принципам или аксиомам. Он говорит, что не смог доказать, что аксиомы непротиворечивы.

Неконструктивистский аргумент в пользу их последовательности состоит в следующем. Определим V _α для α одного из ординалов 0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2 следующим образом:

V ₀ - пустое множество.
Для α наследника формы β + 1, V _α определяется как совокупность всех подмножеств V _β .
Для α предела (например, ω, ω · 2) тогда V _α определяется как объединение V _β для β <α.

Тогда аксиомы теории множеств Цермело непротиворечивы, потому что они верны в модели V _{ω · 2} . В то время как неконструктивист мог бы рассматривать это как действительный аргумент, конструктивист, вероятно, не стал бы: хотя нет проблем с построением множеств до V _ω , конструкция V _{ω + 1} менее ясна, потому что нельзя конструктивно определить каждое подмножество V _ω . Этот аргумент можно превратить в действительное доказательство, добавив к теории множеств Цермело единственную новую аксиому бесконечности - просто то, что V _{ω · 2} существует . Это, по-видимому, неубедительно для конструктивиста, но показывает, что непротиворечивость теории множеств Цермело может быть доказана с помощью теории, которая не сильно отличается от самой теории Цермело, только немного более мощной.

Аксиома разделения

Цермело комментирует, что Аксиома III его системы отвечает за устранение антиномий. Оно отличается от первоначального определения Кантора следующим образом.

Множества не могут быть независимо определены каким-либо произвольным логически определимым понятием. Их нужно каким-то образом сконструировать из ранее построенных множеств. Например, они могут быть построены, взяв наборы мощности, или они могут быть разделены как подмножества уже «заданных» наборов. Это, по его словам, устраняет противоречивые идеи, такие как «множество всех множеств» или «множество всех порядковых чисел».

Он избавляется от парадокса Рассела с помощью этой теоремы: «Каждое множество обладает по крайней мере одним подмножеством , которое не является элементом ». Позвольте быть подмножеством, для которого АКСИОМА III выделяет понятие " ". Тогда не может быть . Для ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle х \ notin х}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M}$

Если находится в , то содержит элемент x, для которого x находится в x (то есть сам), что противоречит определению . ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$
Если не находится в , и предполагается, что является элементом M , то является элементом M, который удовлетворяет определению " ", и поэтому is, в котором возникает противоречие. ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ Displaystyle х \ notin х}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$

Таким образом, предположение о том, что в это неправильно, доказывает теорему. Следовательно, не все объекты универсальной области B могут быть элементами одного и того же множества. «Это избавляет нас от антиномии Рассела ». ${\ displaystyle M_ {0}}$ ${\ displaystyle M}$

Это оставило проблему "домена B ", который, кажется, к чему-то относится. Это привело к идее правильного класса .

Теорема кантора

Статья Цермело может быть первой, в которой упоминается название « теорема Кантора ». Теорема Кантора: «Если M - произвольное множество, то всегда M <P ( M ) [мощность множества M ]. Каждое множество имеет меньшую мощность, чем множество его подмножеств».

Цермело доказывает это, рассматривая функцию φ: M → P ( M ). По аксиоме III это определяет следующее множество M ' :

M ' = { m : m φ ( m )}.

Но никакой элемент m ' из M не может соответствовать M' , т.е. такой, что φ ( m ' ) = M' . В противном случае можно построить противоречие:

1) Если m ' принадлежит M', то по определению m ' ∉ φ ( m' ) = M ' , что является первой частью противоречия

2) Если m ' не в M', а в M, то по определению m ' ∉ M' = φ ( m ' ), из которого по определению следует, что m' находится в M ' , что является второй частью противоречия.

так что от противного m ' не существует. Обратите внимание на близкое сходство этого доказательства с тем, как Цермело устраняет парадокс Рассела.

Смотрите также

S (теория множеств)

Languages

In other projects