Аксиома союза - Axiom of union

В аксиоматической теории множеств , то аксиома союза является одной из аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля . Эта аксиома была введена Эрнстом Цермело .

Аксиома утверждает, что для каждого множества x существует множество y , элементы которого являются в точности элементами элементов x .

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${\ Displaystyle \ forall A \, \ существует B \, \ forall c \, (с \ в B \ iff \ существует D \, (c \ in D \ land D \ in A) \,)}$

или словами:

Для любого набора , существует множество В такое , что для любого элемента с , с является членом B тогда и только тогда , когда существует множество Г таким образом, что с является членом D и D является членом A .

или, проще:

Для любого набора существует набор, который состоит только из элементов элементов этого набора . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ bigcup A \}$${\ displaystyle A}$

Отношение к спариванию

Аксиома объединения позволяет распаковать набор множеств и, таким образом, создать более плоский набор. Вместе с аксиомой спаривания это означает, что для любых двух наборов существует набор (называемый их объединением ), который содержит в точности элементы этих двух наборов.

Отношение к замене

Аксиома замены позволяет образовать множество объединений, например, объединение двух множеств.

Однако в своей полной общности аксиома объединения не зависит от остальных аксиом ZFC: замена не доказывает существование объединения набора множеств, если результат содержит неограниченное количество мощностей.

Вместе со схемой аксиом замены аксиома объединения подразумевает, что можно сформировать объединение семейства множеств, индексированных набором.

Отношение к разделению

В контексте теорий множеств, которые включают аксиому разделения, аксиома объединения иногда формулируется в более слабой форме, которая дает только надмножество объединения множества. Например, Кунен формулирует аксиому как

${\ displaystyle \ forall {\ mathcal {F}} \, \ exists A \, \ forall Y \, \ forall x [(x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}}) \ Rightarrow x \ в].}$

что эквивалентно

${\ Displaystyle \ forall {\ mathcal {F}} \, \ существует A \ forall x [[\ существует Y (x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}})] \ Rightarrow x \ in A ].}$

По сравнению с аксиомой, изложенной в верхней части этого раздела, этот вариант утверждает только одно направление импликации, а не оба направления.

Отношение к пересечению

Соответствующей аксиомы пересечения нет . Если это непустое множество, содержащее , можно сформировать пересечение, используя схему аксиом спецификации как ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ bigcap A}$

${\ Displaystyle \ bigcap A = \ {с \ в E: \ forall D (D \ in A \ Rightarrow c \ in D) \}}$ ,

поэтому нет необходимости в отдельной аксиоме пересечения. (Если A - пустое множество , то попытка сформировать пересечение A как

{ c : для всех D в A , c находится в D }

не допускается аксиомами. Более того, если бы такой набор существовал, то он содержал бы все множества во «вселенной», но понятие универсального множества противоречит теории множеств Цермело – Френкеля.)

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .