Подмножество - Subset
В математике , А множество является подмножеством из множества B , если все элементы из A также являются элементами B ; В это тогда надмножество из A . Возможно, что A и B равны; если они не равны, то является собственное подмножество из B . Отношения одного набора быть подмножеством другого, называется включение (или иногда защитной оболочки ). Представляет собой подмножество B также может быть выражено как B включает в себя (или содержит) или включен (или содержаться) в B .
Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру с отношением подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является отношением булевого включения .
Определения
Если и B являются множествами , и каждый элемент из A также является элементом B , то:
- Является подмножеством из B , обозначается или , что эквивалентно
- Б является подмножеством из А , обозначается
Если является подмножеством B , но не равна к B (т.е. существует , по меньшей мере , один элемент из В , который не является элементом А ), то:
- Является собственно (или строгое ) подмножество из B , обозначается или , что эквивалентно,
- В это собственно (или строгое ) надмножество из А , обозначим через .
- Пустое множество , написанные или является подмножеством любого множества X и собственное подмножество любого множества , кроме самой себя.
Для любого множества S , включение отношение является частичным порядком на множестве (The множество мощности из S -The множество всех подмножеств S ) , определенное . Мы также можем частично упорядочить включение обратного множества, определив
При количественной оценке представляется как
Мы можем доказать утверждение , применив технику доказательства, известную как элементный аргумент:
Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что
- предположим, что a - частный, но произвольно выбранный элемент из A,
- показывают , что является элементом B .
Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c . Универсальное обобщение тогда подразумевает, что эквивалентно тому, что указано выше.
Характеристики
- Набор является подмножеством из B , если и только если их пересечение равно А.
- Формально:
- Набор является подмножеством из B , если и только если их объединение равно B.
- Формально:
- Конечное множество является подмножеством из B , тогда и только тогда , когда мощность их пересечения равна мощности А.
- Формально:
Символы ⊂ и ⊃
Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов, и Например, для этих авторов верно для каждого набора A, что
Другие авторы предпочитают использовать символы и для обозначения правильного (также называемого строгим) подмножества и надлежащего надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов, и это использование марки и аналогично к неравенству символов и Например, если тогда х может или не равно у , но если тогда х определенно не равна у , а это меньше , чем у . Аналогичным образом , с помощью конвенции , которая является подмножеством, если затем может быть или может не быть равным B , но если затем определенно не равно Б .
Примеры подмножеств
- Множество A = {1, 2} является правильным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и верны.
- Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому истинно, а не истинно (ложно).
- Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. ( верно и неверно для любого набора X.)
- Набор { x : x - простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x - нечетное число больше 10}
- Набор натуральных чисел - это собственное подмножество набора рациональных чисел ; аналогично, набор точек в линейном сегменте является надлежащим подмножеством набора точек в линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечно, а подмножество имеет такую же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного набора), как и все; такие случаи могут противоречить первоначальной интуиции.
- Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.
Другой пример на диаграмме Эйлера :
Другие свойства включения
Включение канонического частичный порядок , в том смысле , что каждое частично упорядоченное множество является изоморфно некоторой совокупностью множеств упорядоченных по включению. Эти порядковые номера представляют собой простой пример: если каждый порядковый п идентифицируются с множеством всех порядковых меньше или равно п , то тогда и только тогда ,
Для набора мощности из множества S , включение частичный порядок- с точностью до изоморфизма порядка -The декартово произведение из ( мощность из S ) копий частичного порядка на , для которых Это можно проиллюстрировать путем перечисления , и ассоциирование с каждым подмножество (т.е. каждый элемент ) в K -кратного из которых я й координаты 1 тогда и только тогда , когда является членом T .
Смотрите также
использованная литература
Библиография
- Jech, Томас (2002). Теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
внешние ссылки
- СМИ, связанные с подмножествами на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . MathWorld .