Универсальный набор - Universal set

В теории множеств , универсальный набор представляет собой набор , который содержит все объекты, в том числе и себя. В теории множеств, как обычно формулируется, концепция универсального множества приводит к парадоксу Рассела и, следовательно, не допускается. Однако некоторые нестандартные варианты теории множеств включают универсальный набор.

Обозначение

Стандартных обозначений универсального множества данной теории множеств не существует. Общие символы включают $V$ , $U$ , $ξ$ и $S$ .

Причины отсутствия

Многие теории множеств не допускают существования универсального множества. Например, ему прямо противоречат такие аксиомы, как аксиома регулярности, и его существование подразумевает несоответствия. Вместо этого стандартная теория множеств Цермело – Френкеля основана на кумулятивной иерархии .

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела препятствует существование универсального множества в теории множеств Цермело-Френкеля и других теорий множеств , которые включают в себя Цермело «s аксиому понимания . Эта аксиома утверждает, что для любой формулы и любого множества $A$ существует множество ${\ Displaystyle \ varphi (х)}$

{\ Displaystyle \ {х \ в А \ середине \ varphi (х) \}}

который содержит в точности те элементы $x$ из $A,$ которые удовлетворяют . ${\ displaystyle \ varphi}$

При выборе as следует, что подмножество никогда не является членом , поскольку, как заметил Бертран Рассел , альтернатива парадоксальна: если содержит себя, то не должно содержать себя, и наоборот. ${\ Displaystyle \ varphi (х)}$ ${\ Displaystyle х \ notin х}$ ${\ Displaystyle В = \ {х \ в А \ середина х \ не \ в х \}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Таким образом, поскольку для каждого набора мы можем найти набор, который он не содержит, также не существует набора всех наборов. Это действительно верно даже при предикативном понимании и интуиционистской логике .

Теорема кантора

Вторая трудность, связанная с идеей универсального набора, связана с мощным набором всех наборов. Поскольку этот набор мощности является набором наборов, он обязательно будет подмножеством набора всех наборов, при условии, что оба существуют. Однако это противоречит теореме Кантора о том, что набор степеней любого набора (бесконечного или нет) всегда имеет строго более высокую мощность, чем само множество.

Теории универсальности

Трудностей, связанных с универсальным набором, можно избежать либо с помощью варианта теории множеств, в котором аксиома понимания каким-либо образом ограничена, либо с помощью универсального объекта, который не считается набором.

Ограниченное понимание

Существуют теории множеств, о которых известно, что они непротиворечивы (если непротиворечива обычная теория множеств), в которых универсальное множество $V$ существует (и верно). В этих теориях аксиома понимания Цермело в целом не соблюдается, а аксиома понимания наивной теории множеств ограничивается другим способом. Теория множеств, содержащая универсальное множество, обязательно является необоснованной теорией множеств . Наиболее широко изученная теория множеств с универсальным набором является Куайн «s Новые основаниями . Алонзо Черч и Арнольд Обершельп также опубликовали работы по таким теориям множеств. Черч предположил, что его теория может быть расширена способом, совместимым с теорией Куайна, но это невозможно для Обершельпа, поскольку в нем одноэлементная функция доказуемо является набором, что немедленно приводит к парадоксу в New Foundations. ${\ Displaystyle V \ in V}$

Другой пример - теория позитивных множеств , где аксиома понимания ограничивается только положительными формулами (формулами, не содержащими отрицаний). Такие теории множеств мотивированы понятиями замыкания в топологии.

Универсальные объекты, не являющиеся наборами

Идея универсального множества кажется интуитивно желательной в теории множеств Цермело – Френкеля , особенно потому, что большинство версий этой теории действительно допускают использование кванторов для всех множеств (см. Универсальный квантор ). Один из способов разрешить объекту, который ведет себя аналогично универсальному набору, не создавая парадоксов, - описать $V$ и подобные большие коллекции как надлежащие классы, а не как наборы. Одно различие между универсальным набором и универсальным классом состоит в том, что универсальный класс не содержит самого себя, поскольку собственные классы не могут быть элементами других классов. Парадокс Рассела неприменим в этих теориях, потому что аксиома понимания действует на множествах, а не на классах.

Категорию множеств можно рассматривать как универсальный объект , который, опять же , не сам набор. Он содержит все наборы как элементы, а также включает стрелки для всех функций от одного набора к другому. Опять же, он не содержит себя, потому что сам по себе не является набором.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Алонсо Черч (1974). «Теория множеств с универсальным множеством», Труды симпозиума Тарского. Труды симпозиумов по чистой математике XXV, изд. Л. Хенкин, Американское математическое общество, стр. 297–308.
Т. Е. Форстер (1995). Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной Вселенной (Oxford Logic Guides 31) . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851477-8.
Т. Е. Форстер (2001). «Теория множеств Чёрча с универсальным множеством».
Библиография: Теория множеств с универсальным множеством , созданная Т. Е. Форстером и поддерживаемая Рэндаллом Холмсом.
Арнольд Обершельп (1973). «Теория множеств над классами», Математические диссертации 106.
Уиллард Ван Орман Куайн (1937) «Новые основы математической логики», American Mathematical Monthly 44, стр. 70–80.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор» . MathWorld .

Languages

In other projects