Корень квадратный из 5 - Square root of 5

Корень квадратный из 5

Рациональность	Иррациональный
Представления
Десятичный	2,23606 79774 99789 69 ...
Алгебраическая форма	${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$
Непрерывная дробь	${\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4+ \ ddots}}}}}}} }}$
Двоичный	10.0011 1100 0110 1110 ...
Шестнадцатеричный	2.3C6E F372 FE94 F82C ...

Квадратный корень из 5 является положительным вещественным числом , что при умножении на себя, дает простое число 5 . Его более точно называют главным квадратным корнем из 5 , чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. Это число появляется в дробном выражении золотого сечения . В форме сурда это можно обозначить как:

${\ Displaystyle {\ sqrt {5}}. \,}$

Это иррациональное алгебраическое число . Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного разложения :

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089… (последовательность A002163 в OEIS ).

которое можно округлить до 2,236 с точностью 99,99%. Приближение161/72(≈ 2,23611) можно использовать квадратный корень из пяти. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, он отличается от правильного значения менее чем на1/10 000 (прибл. 4,3 × 10 ⁻⁵ ). По состоянию на ноябрь 2019 года его числовое значение в десятичном формате составляло не менее 2000000000000 цифр.

Доказательства иррациональности

1 . Это доказательство иррациональности квадратного корня из 5 использует метод бесконечного спуска Ферма :

Предположим, что √ 5 рационально, и выразим его в наименьших возможных выражениях (т. Е. Как полностью уменьшенная дробь ) какм/пдля натуральных чисел m и n . Тогда √ 5 может быть выражено в более низких терминах как5 н - 2 м/м - 2 нПротиворечие. (Два дробных выражения равны, потому что приравнивание их, перекрестное умножение и сокращение, как аддитивные, дает 5 n ² = m ² им/п= √ 5 , что верно по посылке. Второе дробное выражение для √ 5 выражается в младших членах, поскольку при сравнении знаменателей m - 2 n < n, поскольку m <3 n, посколькум/п<3, поскольку √ 5 <3 . И числитель, и знаменатель второго дробного выражения положительны, поскольку 2 < √ 5 <5/2 а также м/п= √ 5. )

2 . Это доказательство иррациональности также является доказательством от противного :

Предположим, что √ 5 =а/б куда а/б находится в сокращенном виде.

Таким образом, 5 =а ²/б ²и 5 b ² = a ² . Если бы b было четным, то b ² , a ² и a даже составляли бы дробьа/б не в сокращенном виде. Таким образом, b нечетно, и, следуя аналогичной процедуре, a нечетно.

Теперь пусть a = 2 m + 1 и b = 2 n + 1, где m и n - целые числа.

Подставляя в 5 b ² = a ^2, получаем:

${\ Displaystyle 5 (2n + 1) ^ {2} = (2m + 1) ^ {2}}$

что упрощает:

${\ displaystyle 5 \ left (4n ^ {2} + 4n + 1 \ right) = 4m ^ {2} + 4m + 1}$

изготовление:

${\ displaystyle 20n ^ {2} + 20n + 5 = 4m ^ {2} + 4m + 1}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем:

${\ displaystyle 20n ^ {2} + 20n + 4 = 4m ^ {2} + 4m}$

что сводится к:

${\ displaystyle 5n ^ {2} + 5n + 1 = m ^ {2} + m}$

Другими словами:

${\ Displaystyle 5n (п + 1) + 1 = м (м + 1)}$

Выражение x ( x + 1) является четным для любого целого числа x (поскольку либо x, либо x + 1 четно). Таким образом, это говорит о том, что 5 × четное + 1 = четное или нечетное = четное . Поскольку не существует целого числа, которое было бы одновременно четным и нечетным, мы пришли к противоречию, и , таким образом, √ 5 иррационально.

Непрерывная дробь

Его можно выразить в виде непрерывной дроби

${\ displaystyle [2; 4,4,4,4,4, \ ldots] = 2 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4+ { \ cfrac {1} {4+ \ dots}}}}}}}}.}$(последовательность A040002 в OEIS )

Подходящие и полуконвергентные этой непрерывной дроби следующие (черные члены - полуконвергенции):

${\ displaystyle {\ color {red} {\ frac {2} {1}}}, {\ frac {7} {3}}, {\ color {red} {\ frac {9} {4}}}, {\ frac {20} {9}}, {\ frac {29} {13}}, {\ color {red} {\ frac {38} {17}}}, {\ frac {123} {55}} , {\ color {red} {\ frac {161} {72}}}, {\ frac {360} {161}}, {\ frac {521} {233}}, {\ color {red} {\ frac {682} {305}}}, {\ frac {2207} {987}}, {\ color {red} {\ frac {2889} {1292}}}, \ dots}$

Подходящие дроби непрерывной дроби окрашены в красный цвет ; их числители - 2, 9, 38, 161, ... (последовательность A001077 в OEIS ), а их знаменатели - 1, 4, 17, 72, ... (последовательность A001076 в OEIS ).

Каждый из них является наилучшим рациональным приближением из √ 5 ; другими словами, оно ближе к √ 5, чем любое рациональное число с меньшим знаменателем.

Вавилонский метод

Когда √ 5 вычисляется вавилонским методом , начиная с r ₀ = 2 и используя r _{n +1} =1/2( г _н +5/r _n) , То п - й аппроксимант г _п равно2 ^н й сходящейся последовательности сходящейся:

${\ displaystyle {\ frac {2} {1}} = 2.0, \ quad {\ frac {9} {4}} = 2.25, \ quad {\ frac {161} {72}} = 2.23611 \ dots, \ quad {\ frac {51841} {23184}} = 2,2360679779 \ ldots}$

Вложенные квадратные расширения

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к : ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {5}} & = 3-10 \ left ({\ frac {1} {5}} + \ left ({\ frac {1} {5}} + \ left ({\ frac {1} {5}} + \ left ({\ frac {1} {5}} + \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {9} {4}} - 4 \ left ({\ frac {1} {16}} - \ left ({\ frac {1} {16}} - \ left ({\ frac {1} {16}} - \ left ({\ frac {1} {16}} - \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ { 2} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {9} {4}} - 5 \ left ({\ frac {1} {20}} + \ left ({\ frac {1} {20 }} + \ left ({\ frac {1} {20}} + \ left ({\ frac {1} {20}} + \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ end {align}}}$

Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи

Золотое отношение φ является средним арифметическим из 1 и √ 5 . Алгебраическое соотношение между √ 5 , золотое сечение и конъюгат золотой пропорции ( Φ =–1/φ= 1 - φ ) выражается следующими формулами:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {5}} & = \ varphi - \ Phi = 2 \ varphi -1 = 1-2 \ Phi \\ [5pt] \ varphi & = {\ frac {1+ {\ sqrt {5}}} {2}} \\ [5pt] \ Phi & = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}. \ end {align}}}$

(См. Раздел ниже для их геометрической интерпретации как разложения прямоугольника √ 5. )

Тогда √ 5 естественным образом фигурирует в закрытом выражении для чисел Фибоначчи , формуле, которая обычно записывается в терминах золотого сечения:

${\ displaystyle F (n) = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (1- \ varphi) ^ {n}} {\ sqrt {5}}}.}$

Частное от √ 5 и φ (или произведения √ 5 и Φ ) и его обратная величина дают интересный образец непрерывных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и числами Люка :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ sqrt {5}} {\ varphi}} = \ Phi \ cdot {\ sqrt {5}} = {\ frac {5 - {\ sqrt {5}} } {2}} & = 1.3819660112501051518 \ dots \\ & = [1; 2,1,1,1,1,1,1,1, \ ldots] \\ [5pt] {\ frac {\ varphi} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {1} {\ Phi \ cdot {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {10}} & = 0,72360679774997896964 \ ldots \\ & = [0; 1,2,1,1,1,1,1,1, \ ldots]. \ end {выравнивается}}}$

Ряды подходящих к этим значениям представляют собой ряды чисел Фибоначчи и ряды чисел Люка в качестве числителей и знаменателей и наоборот, соответственно:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {1, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {4} {3}}, {\ frac {7} {5}}, {\ frac { 11} {8}}, {\ frac {18} {13}}, {\ frac {29} {21}}, {\ frac {47} {34}}, {\ frac {76} {55}} , {\ frac {123} {89}}}, \ ldots \ ldots [1; 2,1,1,1,1,1,1,1, \ ldots] \\ [8pt] & {1, {\ frac {2} {3}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5} {7}}, {\ frac {8} {11}}, {\ frac {13} {18 }}, {\ frac {21} {29}}, {\ frac {34} {47}}, {\ frac {55} {76}}, {\ frac {89} {123}}}, \ dots \ dots [0; 1,2,1,1,1,1,1,1, \ dots]. \ end {align}}}$

Геометрия

Геометрически , √ 5 соответствует диагонали из прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2 , как это видно из теоремы Пифагора . Такой прямоугольник можно получить, разделив квадрат пополам или поместив два равных квадрата рядом. Вместе с алгебраической связью между √ 5 и φ , это формирует основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата, а также для построения правильного пятиугольника с учетом его стороны (поскольку отношение сторон к диагонали в правильном пятиугольник равен φ ).

Образуя двугранный прямой угол с двумя равными квадратами, которые делят пополам прямоугольник 1: 2, можно увидеть, что √ 5 также соответствует отношению между длиной ребра куба и кратчайшим расстоянием от одной из его вершин до противоположной. , при прохождении по поверхности куба (кратчайшее расстояние при прохождении через внутреннюю часть куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратным корнем из трехкратного ребра).

Число √ 5 может быть алгебраически и геометрически связано с √ 2 и √ 3 , так как это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами размером √ 2 и √ 3 (опять же, теорема Пифагора доказывает это). Прямоугольные треугольники таких пропорций можно найти внутри куба: стороны любого треугольника, определяемые центральной точкой куба, одной из его вершин и средней точкой стороны, расположенной на одной из граней, содержащих эту вершину, и противоположных ей. , находятся в соотношении √ 2 : √ 3 : √ 5 . Это следует из геометрических соотношений между кубом и величинами √ 2 (отношение ребер к диагонали или расстояние между противоположными ребрами), √ 3 (отношение ребер к диагонали куба) и √ 5 (отношение просто упомянутый выше).

Прямоугольник с пропорциями сторон 1: √ 5 называется прямоугольником из пяти корней и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников , основанных на √ 1 (= 1), √ 2 , √ 3 , √ 4 (= 2), √ 5 … и последовательно построенные по диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. Прямоугольник корня 5 особенно примечателен тем, что его можно разделить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размером Φ × 1 ) или на два золотых прямоугольника разных размеров (размеров Φ × 1 и 1 × φ ). Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размером 1 × φ ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между √ 5 , φ и Φ, упомянутых выше. Прямоугольник корень 5 может быть построен из прямоугольника 1: 2 (прямоугольник корень 4) или непосредственно из квадрата аналогично тому, как это сделано для золотого прямоугольника, показанного на иллюстрации, но с продолжением дуги длины√ 5/2 в обе стороны.

Тригонометрия

Подобно √ 2 и √ 3 , квадратный корень из 5 широко используется в формулах для точных тригонометрических констант , в том числе в синусах и косинусах каждого угла, величина которого в градусах делится на 3, но не на 15. Простейшими из них являются

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} & = {\ tfrac {1} {4}} ({\ sqrt {5} } -1) = {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} + 1}}, \\ [5pt] \ sin {\ frac {\ pi} {5}} = \ sin 36 ^ {\ circ } & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 - {\ sqrt {5}})}}, \\ [5pt] \ sin {\ frac {3 \ pi} {10} } = \ sin 54 ^ {\ circ} & = {\ tfrac {1} {4}} ({\ sqrt {5}} + 1) = {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} - 1 }}, \\ [5pt] \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = \ sin 72 ^ {\ circ} & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 + {\ sqrt {5}})}} \,. \ end {выравнивается}}}$

Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц . Поскольку √ 5 геометрически связано с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, оно также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдра .

Диофантовы приближения

Теорема Гурвица в диофантовых приближениях утверждает, что каждое иррациональное число x может быть аппроксимировано бесконечным числом рациональных чисел. м/пв самые низкие сроки таким образом, чтобы

${\ displaystyle \ left | x - {\ frac {m} {n}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, n ^ {2}}}}$

и что √ 5 является наилучшим возможным в том смысле, что для любой постоянной, большей, чем √ 5 , существуют некоторые иррациональные числа x, для которых существует только конечное число таких приближений.

С этим тесно связана теорема о том, что любых трех последовательных подходящих дробей п _я/q _я, п _{я +1}/д _{я +1}, p _{i +2}/д _{я +2}, числа α выполняется хотя бы одно из трех неравенств:

${\ displaystyle \ left | \ alpha - {p_ {i} \ over q_ {i}} \ right | <{1 \ over {\ sqrt {5}} q_ {i} ^ {2}}, \ qquad \ left | \ alpha - {p_ {i + 1} \ over q_ {i + 1}} \ right | <{1 \ over {\ sqrt {5}} q_ {i + 1} ^ {2}}, \ qquad \ left | \ alpha - {p_ {i + 2} \ over q_ {i + 2}} \ right | <{1 \ over {\ sqrt {5}} q_ {i + 2} ^ {2}}.}$

И √ 5 в знаменателе является наилучшей возможной оценкой, поскольку подходящие дроби золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более жесткую границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных сходящихся.

Алгебра

Кольцо ℤ [ √ -5 ] содержит числа вида а + б √ -5 , где и Ь являются целыми числами и √ -5 представляет собой мнимое число я √ 5 . Это кольцо является часто цитируемым примером целостной области, которая не является уникальной областью факторизации . Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации внутри этого кольца:

${\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (1 - {\ sqrt {-5}}) (1 + {\ sqrt {-5}}). \,}$

Поле ℚ [ √ -5 ] , как и любой другой квадратичного поля , является абелево расширение рациональных чисел. Таким образом, теорема Кронекера – Вебера гарантирует, что квадратный корень из пяти может быть записан как рациональная линейная комбинация корней из единицы :

${\ displaystyle {\ sqrt {5}} = e ^ {{\ frac {2 \ pi} {5}} i} -e ^ {{\ frac {4 \ pi} {5}} i} -e ^ { {\ frac {6 \ pi} {5}} i} + e ^ {{\ frac {8 \ pi} {5}} i}. \,}$

Личности Рамануджана

Квадратный корень из 5 появляется в различных тождествах, открытых Шринивасой Рамануджаном, с использованием непрерывных дробей .

Например, это случай непрерывной дроби Роджерса – Рамануджана :

${\ Displaystyle {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^) {-6 \ pi}} {1+ \ ddots}}}}}}} = \ left ({\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ right) e ^ {\ frac {2 \ pi} {5}} = e ^ {\ frac {2 \ pi} {5}} \ left ( {\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}}} - \ varphi \ right).}$

${\ displaystyle {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {) 5}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 6 \ pi {\ sqrt {5}}}} {1+ \ ddots}}}}}}}} = \ left ({{\ sqrt { 5}} \ over 1 + {\ sqrt [{5}] {5 ^ {\ frac {3} {4}} (\ varphi -1) ^ {\ frac {5} {2}} - 1}}} - \ varphi \ right) e ^ {\ frac {2 \ pi} {\ sqrt {5}}}.}$

${\ displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {xe ^ {- x {\ sqrt {5}}}} {\ cosh x}} \, dx = {\ cfrac {1} { 1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {2 ^ {2}} } {1 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}.}}$

Смотрите также

• Золотое сечение
• Квадратный корень
• Корень квадратный из 2
• Корень квадратный из 3

использованная литература