Среднее арифметическое - Arithmetic mean


Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике и статистике , на среднее арифметическое ( / ˌ æ г ɪ & thetas м ɛ т ɪ к м я п / , нагрузка на третий слог «арифметики»), или просто среднее или среднее , когда контекст ясно, является сумма коллекции чисел , разделенных на число чисел в коллекции. Коллекция часто набор результатах эксперимента или обсервационное исследование , или часто набора результатов от обследования . Термин «среднее арифметическое» является предпочтительным в некоторых контекстах в области математики и статистики , поскольку она помогает отличить его от других средств , таких , как среднее геометрическое и гармонического среднего .

В дополнении к математике и статистике, средний арифметической часто используются во многих различных областях , таких как экономика , антропология , и истории , и он используется почти во все академическом поле до некоторой степени. Например, доход на душу населения является средним арифметическим доходов населения той или иной страны.

В то время как среднее арифметическое часто используется для сообщения центральных тенденций , это не является надежной статистики , а это означает , что она в значительной степени зависит от выбросов (значений, которые очень намного больше или меньше , чем большинство значений). Следует отметить, что для скошенных распределений , таких как распределение доходов , для которых доходы нескольких людей существенно больше , чем у большинства людей, среднее арифметическое может не совпадать со своим понятием «средний», и надежные статистические данные, такие как медиана , может быть лучше описание центральной тенденции.

Определение

Среднее арифметическое (или виду , или в среднем ), (чтение бар ), представляет собой среднее из значений .

Среднее арифметическое является наиболее широко используемым и легко понять мера центральной тенденции в наборе данных . В статистике термин в среднем относится к любому из мер центральной тенденции. Среднее арифметическое из набора наблюдаемых данных определяется как равное сумме численных значений каждого наблюдения , деленное на общее число наблюдений. Символически, если мы имеем набор данных , состоящий из значений , то среднее арифметическое определяется по формуле:

(См суммирования для объяснения оператора суммирования ).

Например, давайте рассмотрим ежемесячную зарплату 10 сотрудников фирмы: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Среднее арифметическое является

Если набор данных является статистической совокупностью (т.е. состоит из каждого возможного наблюдения , а не только их подмножество), то среднее , что население называется математическим ожиданием . Если набор данных является статистической выборкой (подмножество населения), мы называем статистику в результате этого вычисления выборочного среднего .

Мотивирование свойства

Среднее арифметическое имеет несколько свойств, которые делают его полезным, особенно в качестве меры центральной тенденции. Они включают:

  • Если номера имеют в виду , то . Так как расстояние от заданного числа к среднему значению, один из способов интерпретировать это свойство , как говорят , что цифры слева от среднего уравновешиваются числами справа от среднего значения. Средний является единственным единственным числом , для которых остатки (отклонение от оценки) подводить к нулю.
  • Если требуется использовать один номер в качестве «типичного» значения для множества известных чисел , то среднее арифметическое чисел делает это лучше, в смысле минимизации суммы квадратов отклонений от типичного значения: сумма из . (Отсюда следует , что выборочное среднее также лучший одиночный предсказатель в том смысле, что самый низкий корень среднеквадратичной ошибки .) Если среднее арифметическое населения чисел желателен, то оценка его , что является несмещенной представляет собой среднее арифметическое образца , проведенной от населения.

Контраст с медианой

Среднее арифметическое может быть противопоставлено медианы. Медиана определяется таким образом, что не более половины значения больше , чем, и не более чем на половину не меньше , чем, в среднем. Если элементы данных увеличивают арифметически , при размещении в определенном порядке, то медиана и среднее арифметическое равны. Например, рассмотрим выборку данных . Среднем , как медиана. Однако, когда мы рассматриваем образец , который не может быть организованы так, чтобы увеличить арифметически, например , медиана и среднее арифметическое отклонение может значительно отличаться. В этом случае, среднее арифметическое составляет 6,2 и средний показатель равен 4. В общем случае , среднее значение может существенно от большинства значений изменяются в образце, и может быть больше или меньше , чем большинство из них.

Есть приложения этого явления во многих областях. Например, с 1980 года, средний доход в Соединенных Штатах увеличилось более медленно, чем среднее арифметическое дохода.

Обобщения

Средневзвешенное

Взвешенный средний или взвешенное среднее, в среднем , в котором рассчитывать некоторые точки данных в большей степени , чем другие, в том , что они дают больший вес в расчете. Так , например, среднее арифметическое , и это , или , что эквивалентно . В противоположность этому , взвешенное среднее , в котором первое число получает, например, в два раза больше веса , как второй (возможно , потому , что , как предполагается, появляются в два раза чаще в общей популяции , из которых были отобранного эти числа) будет рассчитываться . Здесь вес, которые обязательно подведут к значению одного, являются и , причем первый двумя последними. Обратите внимание , что среднее арифметическое (иногда называемый «невзвешенное среднее» или «одинаково взвешенное среднее») можно интерпретировать как частный случай взвешенного среднего , в котором все веса равны друг другу (равной в приведенном выше примере, и равно в ситуации с числом будучи в среднем).

распределения вероятностей Непрерывные

Сравнение двух логнормальных распределений с одинаковым средним , но другой перекос , в результате чего в различных медиан и режимах .

Если числовое свойство, и любой выборка данных из него, может принимать любое значение из непрерывного диапазона, вместо того , чтобы , например, только целые числа, то вероятность ряда падения в некоторый диапазон возможных значений может быть описаны путем интегрирования непрерывное распределение вероятностей по всей этой области, даже если наивная вероятность для ряда образца принимает одно определенное значение из бесконечного числа равно нуль. Аналог взвешенного среднего в данном контексте, в котором существует бесконечное число возможностей для точного значения переменной в каждом диапазоне, называется среднее значение распределения вероятностей . Наиболее широко встречается распределение вероятностей называется нормальным распределением ; он обладает тем свойством , что все меры центральной тенденции, в том числе не только среднего , но и вышеупомянутый медиану и режим (три М - х), равны друг другу. Это равенство не выполняется для других вероятностных распределений, как показано на логарифмический нормальное распределение здесь.

углы

Особое внимание необходимо соблюдать осторожность при использовании циклических данных, таких как фазы или углы . Наивно принимать среднее арифметическое 1 ° и 359 ° дает результат 180 °. Это неверно по двум причинам:

  • Во - первых, угловые измерения только определены с точностью до аддитивной константы 360 ° (или 2л, при измерении в радианах ). Таким образом , можно было бы так же легко называть эти 1 ° и -1 °, или 361 ° и 719 °, каждый из которых дает различное среднее значение .
  • Во- вторых, в этой ситуации, 0 ° ( то же самое, 360 °) геометрически лучшее среднее значение: есть нижняя дисперсия об этом (точки расположены в 1 ° от нее, и 179 ° от 180 °, средняя предполагаемая).

В общем случае применения такого контроль приведет к среднему значению искусственно двигается по направлению к середине числового диапазона. Решение этой проблемы заключается в использовании формулировки оптимизации ( а именно , определить среднее значение в качестве центральной точки: точка , о которой один имеют самую низкую дисперсию), и пересмотреть разницу в качестве модульного расстояния (т.е. расстояние по окружности : так что модульная расстояние между 1 ° и 359 ° составляет 2 °, а не 358 °).

Символы и кодирование

Среднее арифметическое часто обозначается чертой, например , как в (чтение бар ).

Некоторые программы ( текстовые процессоры , веб - браузеры ) могут не отображаться символ X правильно. Например, символ X в HTML фактически является комбинацией двух кодов - базовая буква х плюс код линии выше (& # 772: или ¯).

В некоторых текстах, таких как PDFs , символ X может быть заменен на цент (¢) символ ( Unicode & # 162) , когда копируется в текстовый процессор , такие как Microsoft Word .

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка