Гипотенуза - Hypotenuse

Прямоугольный треугольник и его гипотенуза.

В геометрии , A гипотенузой является длинная сторона прямоугольного треугольника , стороны , противоположной прямым углом . Длина гипотенузы можно найти , используя теорему Пифагора , которая гласит , что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон. Например, если одна из других сторон имеет длину 3 (в квадрате 9), а другая - 4 (в квадрате 16), то их квадраты в сумме составляют 25. Длина гипотенузы равна квадратный корень из 25, то есть 5.

Этимология

Слово гипотенуза является производным от греческого п τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (п. Γραμμή или πλευρά ), что означает «[боковой] стягивающий прямой угол» ( Аполлодор ), ὑποτείνουσα hupoteinousa быть женским настоящее активным причастие глагола ὑποτείνω HUPO-teinō " протягивать снизу, подтягивать ", от τείνω teinō " растягивать, вытягивать ". Именное причастие, ποτείνουσα , использовалось для гипотенузы треугольника в 4 веке до нашей эры (засвидетельствовано у Платона , Тимей 54d). Греческий термин был заимствован из поздней латыни как hypotēnūsa . Правописание in -e , как гипотенуза , имеет французское происхождение ( Estienne de La Roche 1520).

Расчет гипотенузы

Длину гипотенузы можно вычислить, используя функцию квадратного корня, вытекающую из теоремы Пифагора . Используя общее обозначение, что длина двух катетов треугольника (стороны, перпендикулярные друг другу) равны a и b, а длина гипотенузы равна c , мы имеем

Теорема Пифагора и, следовательно, эта длина также может быть получена из закона косинусов , наблюдая, что угол напротив гипотенузы равен 90 °, и отмечая, что его косинус равен 0:

Многие компьютерные языки поддерживают гипотезу стандартной функции ISO C ( x , y ), которая возвращает указанное выше значение. Функция разработана таким образом, чтобы не допускать сбоев в тех случаях, когда при прямом вычислении может произойти переполнение или потеря значимости, и она может быть немного более точной, а иногда и значительно медленнее.

Некоторые научные калькуляторы предоставляют функцию преобразования прямоугольных координат в полярные . Это дает одновременно длину гипотенузы и угол, который гипотенуза образует с базовой линией ( c 1 выше) при заданных x и y . Возвращаемый угол обычно задается как atan2 ( y , x ).

Характеристики

На рисунке a - гипотенуза, а b и c - катеты. Орфографическая проекция b равна m , а c - n .

Ортографические проекции :

  • Длина гипотенузы равна сумме длин ортографических выступов обоих катетов.
  • Квадрат длины катета равен произведению длин его ортогональной проекции на гипотенузу на длину этого катета .
b² = a · м
c² = a · n
  • Кроме того, длина катета b является пропорциональным средним между длинами его выступа m и гипотенузы a .
а / б = б / м
а / с = с / п

Тригонометрические отношения

С помощью тригонометрических соотношений можно получить значение двух острых углов и прямоугольного треугольника.

Учитывая длину гипотенузы и катета , соотношение составляет:

Еуклидова veta.svg

Тригонометрическая обратная функция:

в котором угол, противоположный катету .

Смежно угол катетов составляет = 90 ° -

Можно также получить значение угла по уравнению:

в котором находится другой катет.

Смотрите также

Примечания

использованная литература