Прямоугольник - Rectangle
Прямоугольник | |
---|---|
Тип | четырехугольник , трапеция , параллелограмм , ортотоп |
Ребра и вершины | 4 |
Символ Шлефли | {} × {} |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | Двугранный (D 2 ), [2], (* 22), порядок 4 |
Двойной многоугольник | ромб |
Характеристики | выпуклый , изогональный , циклический Противоположные углы и стороны равны |
В евклидовой геометрии плоскости , прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равносторонний четырехугольник, поскольку равноугольный означает, что все его углы равны (360 ° / 4 = 90 °); или параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины - это квадрат . Термин продолговатый иногда используется для обозначения неквадратного прямоугольника. Прямоугольник с вершинами ABCD обозначим как ABCD .
Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию « rectus» (как прилагательное, правильный, правильный) и angulus ( угол ).
Пересекла прямоугольник является скрещенным (самопересекающийся) четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями (следовательно , только две стороны параллельны). Это частный случай антипараллелограмма , и его углы не прямые и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами равной длины и равными углами, которые не являются прямыми углами.
Прямоугольники участвуют во многих задачах мозаики , таких как мозаика плоскости по прямоугольникам или мозаика прямоугольника по многоугольникам .
Характеристики
Выпуклый четырехугольник является прямоугольником , если и только если это какой - либо один из следующих действий :
- параллелограмм по меньшей мере одним прямого угла
- параллелограмм с диагоналями одинаковой длины
- параллелограмм ABCD , где треугольники ABD и DCA являются конгруэнтны
- равносторонний четырехугольник
- четырехугольник с четырьмя прямыми углами
- четырехугольник, в котором две диагонали равны по длине и делят друг друга пополам
- выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d , площадь которого равна .
- выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d , площадь которого равна
Классификация
Традиционная иерархия
Прямоугольник является частным случаем параллелограмма , в котором каждая пара смежных сторон находится перпендикулярно .
Параллелограмм - это особый случай трапеции (известной как трапеция в Северной Америке), в которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .
Трапеция - это выпуклый четырехугольник, у которого есть по крайней мере одна пара параллельных противоположных сторон.
Выпуклый четырехугольник - это
- Просто : граница не пересекает саму себя.
- В форме звезды : весь интерьер виден с одной точки, не пересекая края.
Альтернативная иерархия
Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник с осями симметрии, проходящими через каждую пару противоположных сторон. Это определение включает как прямоугольные прямоугольники, так и скрещенные прямоугольники. Каждая из них имеет ось симметрии, параллельную и равноудаленной от пары противоположных сторон, а другая - серединный перпендикуляр этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии для обеих сторон. что он делит пополам.
Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к большему классу четырехугольников, по крайней мере, с одной осью симметрии через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники состоят из равнобедренных трапеций и скрещенных равнобедренных трапеций (скрещенные четырехугольники с таким же расположением вершин, что и равнобедренные трапеции).
Характеристики
Симметрия
Прямоугольник циклический : все углы лежат на одной окружности .
Он равноугольный : все углы его углов равны (каждый по 90 градусов ).
Он изогонален или вершинно-транзитивен : все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии .
Она состоит из двух линий из reflectional симметрии и вращательной симметрии 2 - го порядка (на 180 °).
Двойственность прямоугольник-ромб
Двойного многоугольника прямоугольника представляет собой ромб , как показано в таблице ниже.
Прямоугольник | Ромб |
---|---|
Все углы равны. | Все стороны равны. |
Альтернативные стороны равны. | Альтернативные углы равны. |
Его центр равноудален от его вершин , следовательно, он имеет описанную окружность . | Его центр равноудален от его сторон , следовательно, он имеет вписанную окружность . |
Две оси симметрии делят пополам противоположные стороны . | Две оси симметрии делят пополам противоположные углы . |
Диагонали равны по длине . | Диагонали пересекаются под равными углами . |
- Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, представляет собой ромб и наоборот.
Разное
Прямоугольник прямолинейен : его стороны пересекаются под прямым углом.
Прямоугольник в плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы, состоящими, например, из трех для положения (включая два для перемещения и одну для вращения ), одну для формы ( соотношение сторон ) и одну для общего размера (площади). .
Два прямоугольника, ни один из которых не поместится внутри другого, считаются несравнимыми .
Формулы
Если прямоугольник имеет длину и ширину
- у него есть площадь ,
- имеет периметр ,
- каждая диагональ имеет длину ,
- и когда прямоугольник является квадратом .
Теоремы
Изопериметрическая теорема прямоугольников утверждает , что среди всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет самую большую площадь .
Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.
Параллелограмм с равными диагоналями представляет собой прямоугольник.
Японская теорема для циклических четырехугольников состояний , что incentres четыре треугольников определяются вершинами циклического четырехугольник взятых три в то время форме прямоугольника.
Теорема британского флага утверждает, что с вершинами, обозначенными A , B , C и D , для любой точки P на одной плоскости прямоугольника:
Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что гомотетическая копия R тела r описана вокруг C и положительное отношение гомотетии не превосходит 2 и .
Скрещенные прямоугольники
Пересек четырехугольник (самопересекающийся) состоит из двух противоположных сторон , не являющихся самопересекающегося четырехугольник вместе с двумя диагоналями. Точно так же скрещенный прямоугольник - это скрещенный четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями. У него такое же расположение вершин, как и у прямоугольника. Он выглядит как два идентичных треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.
Пересек четырехугольник иногда сравнивают с галстуком или бабочкой , которую иногда называют «угловые восемь». Трехмерная прямоугольная проволока рама , которая скручивается может принимать форму галстука - бабочки.
Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность многоугольников ± 1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации намотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Пересек прямоугольник можно считать равноугольным , если правые и левые повороты разрешены. Как и у любого скрещенного четырехугольника , сумма его внутренних углов составляет 720 °, что позволяет внутренним углам выступать снаружи и превышать 180 °.
Прямоугольник и скрещенный прямоугольник - это четырехугольники со следующими общими свойствами:
- Противоположные стороны равны по длине.
- Две диагонали равны по длине.
- Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательной симметрии 2-го порядка (до 180 °).
Другие прямоугольники
В сферической геометрии , A сферической прямоугольник представляет собой фигуру , чьи четыре ребра большой окружности дуги , которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой твердотельной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия - это простейшая форма эллиптической геометрии.
В эллиптической геометрии , эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине.
В гиперболической геометрии , A гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.
Мозаики
Прямоугольник используется во многих периодических моделях тесселяции , например, в кирпичной кладке :
Сложенная облигация |
Бегущая связь |
Плетение корзины |
Плетение корзины |
Узор в елочку |
Квадратные, идеальные и другие мозаичные прямоугольники
Прямоугольник, выложенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «треугольным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Прямоугольник, выложенный плиткой, идеален, если плитки одинаковы и имеют конечное количество, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки одинакового размера, плитка неидеальна . В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными . Базу данных всех известных идеальных прямоугольников, идеальных квадратов и связанных форм можно найти на сайте squaring.net . Наименьшее количество квадратов, необходимое для идеального замощения прямоугольника, - 9, а наименьшее количество, необходимое для идеального возделывания квадрата, - 21, найденное в 1978 году с помощью компьютерного поиска.
Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно выложить конечным числом неравных квадратов. То же верно и в случае, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники .
Наибольшее внимание привлекли мозаики прямоугольников другими плитками, которые представляют собой конгруэнтные непрямоугольные полимино , допускающие любые вращения и отражения. Есть также мозаики конгруэнтными полиаболами .
Юникод
U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE
Смотрите также
- Кубоид
- Золотой прямоугольник
- Гиперпрямоугольник
- Суперэллипс (включает прямоугольник со скругленными углами)
использованная литература
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольник» . MathWorld .
- Определение и свойства прямоугольника с интерактивной анимацией.
- Площадь прямоугольника с интерактивной анимацией.