Теория рациональной гомотопии - Rational homotopy theory

В математике и , в частности , в топологии , рациональная гомотопическая теория является упрощенной версией теории гомотопий для топологических пространств , в которых все кручения в гомотопических группах игнорируются. Его основали Деннис Салливан  ( 1977 ) и Дэниел Квиллен  ( 1969 ). Это упрощение теории гомотопий значительно упрощает вычисления.

Рациональные гомотопические типы односвязных пространств могут быть отождествлены с некоторыми алгебраическими объектами (классами изоморфизма), называемыми минимальными моделями Салливана, которые являются коммутативными дифференциальными градуированными алгебрами над рациональными числами, удовлетворяющими определенным условиям.

Геометрическим приложением была теорема Салливана и Мишлен Виге-Пуарье (1976): каждое односвязное замкнутое риманово многообразие X , рациональное кольцо когомологий которого не порождается одним элементом, имеет бесконечно много геометрически различных замкнутых геодезических . Доказательство используется рациональная теория гомотопии , чтобы показать , что числа Бетти этого свободного пространства петель в X неограниченны. Теорема следует из результата Детлефа Громолля и Вольфганга Майера 1969 года .

Рациональные пространства

Непрерывное отображение из односвязных топологических пространств называется рациональной гомотопической эквивалентностью , если он индуцирует изоморфизм на гомотопических группах тензорны с рациональными числами . Эквивалентно: f является рациональной гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда она индуцирует изоморфизм на особых группах гомологий с рациональными коэффициентами. Рациональная гомотопическая категория (односвязных пространств) определяется быть локализация в категории односвязных пространств относительно рациональных гомотопических эквивалентностей. Цель теории рациональной гомотопии - понять эту категорию. То есть, если объявить все рациональные гомотопические эквивалентности изоморфизмами, сколько информации останется? ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Одним из основных является результатом , что рациональная гомотопическая категория эквивалентна к полной подкатегории в гомотопической категории топологических пространств, подкатегория рациональных пространств. По определению, рациональное пространство - это односвязный CW-комплекс, все гомотопические группы которого являются векторными пространствами над рациональными числами. Для любого односвязного комплекса CW существует рациональное пространство , единственное с точностью до гомотопической эквивалентности , с отображением, которое индуцирует изоморфизм на гомотопических группах, тензорезированных рациональными числами. Пространство называется рационализацией из . Это частный случай конструкции Салливана локализации пространства в заданном наборе простых чисел . ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X _ {\ mathbb {Q}}}$${\ displaystyle X \ to X _ {\ mathbb {Q}}}$${\ Displaystyle X _ {\ mathbb {Q}}}$${\ displaystyle X}$

Можно получить эквивалентные определения с использованием гомологии, а не гомотопических групп. А именно, односвязный комплекс CW является рациональным пространством тогда и только тогда, когда его группы гомологий являются рациональными векторными пространствами для всех . Рационализация односвязного комплекса CW - это единственное рациональное пространство (с точностью до гомотопической эквивалентности) с отображением, которое индуцирует изоморфизм на рациональных гомологиях. Таким образом, есть ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Н_ {я} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle i> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ to X _ {\ mathbb {Q}}}$${\ displaystyle X \ to X _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (X _ {\ mathbb {Q}}) \ cong \ pi _ {i} (X) \ otimes {\ mathbb {Q}}}$

и

${\ displaystyle H_ {i} (X _ {\ mathbb {Q}}, {\ mathbb {Z}}) \ cong H_ {i} (X, {\ mathbb {Z}}) \ otimes {\ mathbb {Q} } \ cong H_ {i} (X, {\ mathbb {Q}})}$

для всех . ${\ displaystyle i> 0}$

Эти результаты для односвязных пространств с небольшими изменениями распространяются на нильпотентные пространства (пространства, фундаментальная группа которых нильпотентна и действует нильпотентно на высших гомотопических группах).

Вычисление гомотопических групп сфер - центральная открытая проблема в теории гомотопий. Однако рациональные гомотопические группы сфер были вычислены Жан-Пьером Серром в 1951 году:

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {2a-1}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Q} & {\ text {if}} i = 2a- 1 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

и

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {2a}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Q} & {\ text {if}} i = 2a {\ text {или}} i = 4a-1 \\ 0 & {\ text {в противном случае.}} \ end {case}}}$

Это предполагает возможность описания всей рациональной гомотопической категории практически вычислимым способом. Теория рациональной гомотопии во многом достигла этой цели.

В теории гомотопий сферы и пространства Эйленберга – Маклейна - это два очень разных типа базовых пространств, из которых могут быть построены все пространства. В теории рациональной гомотопии эти два типа пространств становятся намного ближе. В частности, вычисление Серра подразумевает, что это пространство Эйленберга – Маклейна . Более общо, пусть X любого пространства, рациональное кольцо когомологий является свободной градуированной коммутативной алгеброй (а тензорное произведение из кольца многочленов на генераторах четной степени и внешней алгебру на образующих нечетной степени). Тогда рационализация является произведением пространств Эйленберга – Маклейна. Гипотеза о кольце когомологий применима к любой компактной группе Ли (или, в более общем смысле, к любому пространству петель ). Например, для унитарной группы SU ( п ) , ${\ Displaystyle S _ {\ mathbb {Q}} ^ {2a-1}}$${\ Displaystyle К (\ mathbb {Q}, 2a-1)}$${\ Displaystyle X _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n) _ {\ mathbb {Q}} \ simeq S _ {\ mathbb {Q}} ^ {3} \ times S _ {\ mathbb {Q}} ^ {5} \ times \ cdots \ times S _ {\ mathbb {Q}} ^ {2n-1}.}$

Кольцо когомологий и гомотопическая алгебра Ли

Есть два основных инварианта пространства X в категории рациональных гомотопий: кольцо рациональных когомологий и гомотопическая алгебра Ли . Рациональные когомологии являются градуированной коммутативной алгеброй над , а гомотопические группы образуют градуированную алгебру Ли через произведение Уайтхеда . (Точнее, писать для пространства петель X , мы , что это градуированная алгебра Ли над . В силу изоморфизма , это просто сводится к сдвигу градуировку на 1.) Например, теорема Серра выше говорит , что это свободная градуированная алгебра Ли на одной образующей степени . ${\ Displaystyle Н ^ {*} (Х, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ pi _ {*} (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ Omega X}$${\ Displaystyle \ pi _ {*} (\ Omega X) \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ пи _ {я} (Х) \ конг \ пи _ {я-1} (\ Омега Х)}$${\ displaystyle \ pi _ {*} (\ Omega S ^ {n}) \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle n-1}$

Другой способ думать о гомотопической алгебре Ли состоит в том, что гомологии пространства петель X - это универсальная обертывающая алгебра гомотопической алгебры Ли:

${\ displaystyle H _ {*} (\ Omega X, {\ mathbb {Q}}) \ cong U (\ pi _ {*} (\ Omega X) \ otimes \ mathbb {Q}).}$

Наоборот, можно восстановить рациональную гомотопическую алгебру Ли из гомологии пространства петель как подпространства примитивных элементов в алгебре Хопфа . ${\ displaystyle H _ {*} (\ Omega S ^ {n}) \ otimes \ mathbb {Q}}$

Центральный результат теории состоит в том, что рациональная гомотопическая категория может быть описана чисто алгебраическим способом; фактически, двумя разными алгебраическими способами. Во-первых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории связных дифференциальных градуированных алгебр Ли . (Ассоциированная градуированная алгебра Ли - это гомотопическая алгебра Ли.) Во-вторых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории односвязных дифференциальных градуированных кокоммутативных коалгебр . (Ассоциированная коалгебра - это рациональные гомологии X как коалгебры; двойственное векторное пространство - это кольцо рациональных когомологий.) Эти эквивалентности были одними из первых приложений теории категорий моделей Квиллена . ${\ Displaystyle \ ker (d) / \ OperatorName {im} (d)}$

В частности, из второго описания следует, что для любой градуированной коммутативной -алгебры A вида ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle A = \ mathbb {Q} \ oplus A ^ {2} \ oplus A ^ {3} \ oplus \ cdots,}$

с каждым векторным пространством конечной размерности, есть просто связное пространство X , чья рациональное кольцо когомологий изоморфно А . (Напротив, существует много не совсем понятых ограничений на интегральные или mod p кольца когомологий топологических пространств для простых чисел p .) В том же духе Салливан показал, что любая градуированная коммутативная -алгебра , удовлетворяющая двойственности Пуанкаре - кольцо когомологий некоторого односвязного гладкого замкнутого многообразия, кроме размерности 4 a ; в этом случае также необходимо предположить, что спаривание пересечений на имеет форму над . ${\ Displaystyle А ^ {я}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle A ^ {1} = 0}$${\ displaystyle A ^ {2a}}$${\ displaystyle \ sum \ pm x_ {i} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Можно спросить, как пройти между двумя алгебраическими описаниями рациональной гомотопической категории. Короче говоря, алгебра Ли определяет градуированно-коммутативную алгебру когомологиями алгебры Ли , а расширенная коммутативная алгебра определяет градуированную алгебру Ли посредством редуцированных когомологий Андре – Квиллена . В более общем плане существуют варианты этих конструкций для дифференциальных градуированных алгебр. Эта двойственность между коммутативными алгебрами и алгебрами Ли является разновидностью двойственности Кошуля .

Алгебры Салливана

Для пространств, рациональные гомологии которых в каждой степени имеют конечную размерность, Салливан классифицировал все рациональные гомотопические типы в терминах более простых алгебраических объектов, алгебр Салливана. По определению, алгебра Салливана - это коммутативная дифференциальная градуированная алгебра над рациональными числами , основная алгебра которой является свободной коммутативной градуированной алгеброй на градуированном векторном пространстве. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ bigwedge (V)}$

${\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {n> 0} V ^ {n},}$

удовлетворяющее следующему «условию нильпотентности» своего дифференциала d : пространство V является объединением возрастающей серии градуированных подпространств , где on и содержится в . В контексте дифференциальных градуированных алгебр A термин «коммутативная» используется для обозначения градуированной коммутативной; то есть, ${\ Displaystyle V (0) \ substeq V (1) \ substeq \ cdots}$${\ displaystyle d = 0}$${\ Displaystyle V (0)}$${\ Displaystyle д (В (к))}$${\ Displaystyle \ bigwedge (V (k-1))}$

${\ displaystyle ab = (- 1) ^ {ij} ba}$

для а в и б в . ${\ Displaystyle А ^ {я}}$${\ displaystyle A ^ {j}}$

Алгебра Салливана называется минимальной, если образ d содержится в , где - прямая сумма подпространств положительной степени в . ${\ Displaystyle \ bigwedge ^ {+} (V) ^ {2}}$${\ Displaystyle \ bigwedge ^ {+} (V)}$${\ Displaystyle \ bigwedge (V)}$

Модель Салливана для коммутативной дифференциальной градуированной алгебры A - это алгебра Салливана с гомоморфизмом, который индуцирует изоморфизм на когомологиях. Если , то A имеет минимальную модель Салливана, единственную с точностью до изоморфизма. (Предупреждение: минимальная алгебра Салливана с той же алгеброй когомологий, что и A, не обязательно должна быть минимальной моделью Салливана для A : также необходимо, чтобы изоморфизм когомологий индуцировался гомоморфизмом дифференциальных градуированных алгебр. Есть примеры неизоморфных минимальные модели Салливана с изоморфными алгебрами когомологий.) ${\ Displaystyle \ bigwedge (V)}$${\ Displaystyle \ bigwedge (V) \ к A}$${\ Displaystyle А ^ {0} = \ mathbb {Q}}$

Минимальная модель Салливана топологического пространства

Для любого топологического пространства X Салливан определил коммутативную дифференциальную градуированную алгебру , названную алгеброй полиномиальных дифференциальных форм на X с рациональными коэффициентами. Элемент этой алгебры состоит (примерно) из полиномиальной формы на каждом сингулярном симплексе X , согласованной с отображениями граней и вырождения. Эта алгебра обычно очень большая (неисчислимая размерность), но ее можно заменить алгеброй гораздо меньшего размера. Точнее, любая дифференциальная градуированная алгебра с тем же Салливана минимальной модели , как называется модель для пространства X . Когда Х односвязен, такая модель определяет рациональный гомотопический тип X . ${\ displaystyle A_ {PL} (X)}$${\ displaystyle A_ {PL} (X)}$

Для любого односвязного CW комплекса X со всеми рациональными гомологическими группами конечной размерности, существует минимальная модель Sullivan для , которая обладает тем свойством , что и все имеет конечную размерность. Это называется Sullivan минимальная модель из X ; он единственен с точностью до изоморфизма. Это дает эквивалентность между рациональными гомотопическими типами таких пространств и таких алгебр со свойствами: ${\ displaystyle \ bigwedge V}$${\ displaystyle A_ {PL} (X)}$${\ displaystyle V ^ {1} = 0}$${\ displaystyle V ^ {k}}$

• Рациональные когомологии пространства - это когомологии его минимальной модели Салливана.
• Пространства неразложимые в V являются двойственные рациональных гомотопических групп пространства X .
• Произведение Уайтхеда на рациональной гомотопии является двойственным к «квадратичной части» дифференциала d .
• Два пространства имеют один и тот же рациональный гомотопический тип тогда и только тогда, когда их минимальные алгебры Салливана изоморфны.
• Существует односвязное пространство X, соответствующее каждой возможной алгебре Салливана с конечной размерностью и всем .${\ displaystyle V ^ {1} = 0}$${\ displaystyle V ^ {k}}$

Когда X - гладкое многообразие, дифференциальная алгебра гладких дифференциальных форм на X (комплекс де Рама ) является почти моделью для X ; точнее, это тензорное произведение модели X на вещественные числа и, следовательно, определяет реальный гомотопический тип . Можно пойти дальше и определить р -completed гомотопического типа из X для простого числа р . «Арифметический квадрат» Салливана сводит многие проблемы теории гомотопий к комбинации рациональной и p -полной теории гомотопий для всех простых чисел p .

Построение минимальных моделей Салливана для односвязных пространств распространяется на нильпотентные пространства. Для более общих фундаментальных групп все становится сложнее; например, рациональные гомотопические группы конечного CW-комплекса (такого как клин ) могут быть бесконечномерными векторными пространствами. ${\ Displaystyle S ^ {1} \ vee S ^ {2}}$

Формальные пространства

Коммутативная дифференциальная градуированная алгебра A , опять же с , называется формальной, если A имеет модель с исчезающим дифференциалом. Это эквивалентно требованию, чтобы алгебра когомологий A (рассматриваемая как дифференциальная алгебра с тривиальным дифференциалом) была моделью для A (хотя она не обязательно должна быть минимальной моделью). Таким образом, рациональный гомотопический тип формального пространства полностью определяется его кольцом когомологий. ${\ Displaystyle А ^ {0} = \ mathbb {Q}}$

Примеры формальных пространств включают сферы, H-пространства , симметрические пространства и компактные кэлеровы многообразия . Формальность сохраняется по произведениям и суммам клина . Для многообразий формальность сохраняется связными суммами .

С другой стороны, замкнутые нильмногообразия почти никогда не бывают формальными: если M - формальное нильмногообразие, то M должен быть тором некоторой размерности. Простейшим примером неформального нильмногообразия является многообразие Гейзенберга , фактор группы Гейзенберга вещественных верхнетреугольных матриц 3 × 3 с единицами на диагонали по подгруппе матриц с целыми коэффициентами. Замкнутые симплектические многообразия не обязательно должны быть формальными: простейший пример - многообразие Кодаиры – Терстона (произведение многообразия Гейзенберга на окружность). Существуют также примеры неформальных односвязных симплектических замкнутых многообразий.

Неформальность часто можно обнаружить в продукции Massey . В самом деле, если дифференциальная градуированная алгебра A формальна, то все произведения Месси (высшего порядка) должны обращаться в нуль. Обратное неверно: формальность означает, грубо говоря, «равномерное» исчезновение всех продуктов Мэсси. Дополнение к кольцам Борромео является неформальным пространством: оно поддерживает нетривиальное тройное произведение Месси.

Примеры

• Если X - сфера нечетной размерности , ее минимальная модель Салливана имеет один образующий a степени с и базис из элементов 1, a .${\ displaystyle 2n + 1> 1}$${\ displaystyle 2n + 1}$${\ displaystyle da = 0}$
• Если Х представляет собой сферу четной размерности , его минимальная модель Салливана имеет две образующие и б степеней и , с , и основой элементов , , , где стрелка указывает на действие д .${\ displaystyle 2n> 0}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 4n + 1}$${\ displaystyle db = a ^ {2}}$${\ displaystyle da = 0}$${\ displaystyle 1, a, b \ to a ^ {2}}$${\ displaystyle ab \ к ^ {3}}$${\ displaystyle a ^ {2} b \ to a ^ {4}, \ ldots}$
• Если X - комплексное проективное пространство с , его минимальная модель Салливана имеет два образующих u и x степеней 2 и , с и . Он имеет базис из элементов , , .${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle 2n + 1}$${\ displaystyle du = 0}$${\ Displaystyle dx = и ^ {п + 1}}$${\ Displaystyle 1, и, и ^ {2}, \ ldots, и ^ {п}}$${\ Displaystyle х \ к и ^ {п + 1}}$${\ displaystyle xu \ to u ^ {n + 2}, \ ldots}$
• Предположим , что V имеет 4 элементы , Ь , х , у степеней 2, 3, 3 и 4 с дифференциалами , , , . Тогда эта алгебра является минимальной алгеброй Салливана, которая не является формальной. Алгебра когомологий имеет нетривиальные компоненты только в размерности 2, 3, 6, порожденные соответственно a , b и . Любой гомоморфизм из V в его алгебру когомологий отобразил бы y в 0 и x в кратное b ; поэтому он будет отображаться в 0. Значит, V не может быть моделью для своей алгебры когомологий. Соответствующие топологические пространства - это два пространства с изоморфными кольцами рациональных когомологий, но разными рациональными гомотопическими типами. Обратите внимание, что есть в продукте Massey .${\ displaystyle da = 0}$${\ displaystyle db = 0}$${\ displaystyle dx = a ^ {2}}$${\ displaystyle dy = ab}$${\ displaystyle xb-ay}$${\ displaystyle xb-ay}$${\ displaystyle xb-ay}$${\ Displaystyle \ langle [а], [а], [b] \ rangle}$

Эллиптические и гиперболические пространства

Теория рациональной гомотопии выявила неожиданную дихотомию среди конечных комплексов CW: либо рациональные гомотопические группы равны нулю в достаточно высоких степенях, либо они растут экспоненциально . А именно, пусть X - односвязное пространство, такое, что является конечномерным -векторным пространством (например, конечный комплекс CW обладает этим свойством). Определим X как рационально эллиптическое, если оно также является конечномерным -векторным пространством, и как иначе рационально гиперболическое . Затем Феликс и Гальперин показали: если X рационально гиперболично, то существуют действительное число и целое число N такие, что ${\ displaystyle H _ {*} (X, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ pi _ {*} (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle C> 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} \ dim _ {\ mathbb {Q}} \ pi _ {i} (X) \ otimes {\ mathbb {Q}} \ geq C ^ {n} }$

для всех . ${\ Displaystyle п \ geq N}$

Например, сферы, комплексные проективные пространства и однородные пространства для компактных групп Ли являются эллиптическими. С другой стороны, «большинство» конечных комплексов гиперболичны. Например:

• Кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства удовлетворяет двойственности Пуанкаре.
• Если X - эллиптическое пространство, верхняя ненулевая группа рациональных когомологий которого находится в степени n , то каждое число Бетти является не более чем биномиальным коэффициентом (с равенством для n -мерного тора). ${\ displaystyle b_ {i} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ binom {п} {я}}}$
• Эйлерова характеристика эллиптического пространства X является неотрицательной. Если эйлерова характеристика положительна, то все нечетные числа Бетти равны нулю, а кольцо рациональных когомологий X является полным кольцом пересечений . ${\ displaystyle b_ {2i + 1} (X)}$

На кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства существует множество других ограничений.

Гипотеза Ботта предсказывает, что всякое односвязное замкнутое риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной должно быть рационально эллиптическим. О гипотезе известно очень мало, хотя она верна для всех известных примеров таких многообразий.

Гипотеза Гальперина утверждает, что рациональная спектральная последовательность Серра расслоенной последовательности односвязных пространств с рационально эллиптическим слоем ненулевой эйлеровой характеристики исчезает на второй странице.

Односвязный конечный комплекс X является рационально эллиптическим тогда и только тогда, когда рациональные гомологии пространства петель растут не более чем полиномиально. В более общем смысле, X называется интегрально эллиптическим, если гомологии mod p для любого простого числа p растут не более чем полиномиально . Все известные римановы многообразия с неотрицательной секционной кривизной фактически являются целочисленными эллиптическими. ${\ displaystyle \ Omega X}$${\ displaystyle \ Omega X}$

Смотрите также

• Теорема Манделла - аналог теории рациональных гомотопий в p-адических постановках
• Теория хроматической гомотопии

Ноты

Ссылки

• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (1993), "Эллиптические пространства II", L'Enseignement Mathematique , DOI : 10,5169 / уплотнения-60412 , MR  1225255
• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2001), Теория рациональной гомотопии , Нью-Йорк: Springer Nature , DOI : 10.1007 / 978-1-4613-0105-9 , ISBN 0-387-95068-0, Руководство по ремонту  1802847
• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2015), Rational Гомотопический Теория II , Сингапур: World Scientific , DOI : 10,1142 / 9473 , ISBN 978-981-4651-42-4, Руководство по ремонту  3379890
• Феликс, Ив; Опря, Джон; Танре, Даниэль (2008), Алгебраические модели в геометрии , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-920651-3, Руководство по ремонту  2403898
• Гриффитс, Филип А .; Морган, Джон В. (1981), Рациональная теория гомотопий и дифференциальные формы , Бостон: Биркхойзер, ISBN 3-7643-3041-4, Руководство по ремонту  0641551
• Гесс, Kathryn (1999), "История рациональной гомотопической теории", в Джеймсе, Ioan М. (ред.), История топологии , Амстердам.: Северная Голландия, С. 757-796, DOI : 10.1016 / B978-044482375 -5 / 50028-6 , ISBN 0-444-82375-1, MR  1721122
• Хесс, Кэтрин (2007), «Рациональная теория гомотопий: краткое введение» (PDF) , Взаимодействие между теорией гомотопий и алгеброй , Contemporary Mathematics, 436 , American Mathematical Society , pp. 175–202, arXiv : math / 0604626 , doi : 10.1090 / conm / 436/08409 , ISBN 9780821838143, Руководство MR  2355774
• Мэй, Дж. Питер ; Понто, Кэтлин (2012), Более краткая алгебраическая топология. Категории локализации, завершения и модели (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8, MR  2884233
• Павлов, Александр В. (2002), "Оценки чисел Бетти рационально эллиптических пространств", Сибирский математический журнал , 43 (6): 1080–1085, doi : 10.1023 / A: 1021173418920 , MR  1946233
• Квиллен, Дэниел (1969), "Теория рационального Гомотопический", Анналы математики , 90 (2): 205-295, DOI : 10,2307 / 1970725 , JSTOR  1970725 , МР  0258031
• Салливан, Деннис (1977), «Бесконечно малые вычисления в топологии» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007 / bf02684341 , hdl : 10338.dmlcz / 128041 , MR  0646078
• Салливан, Деннис (2001) [1994], "Рациональная теория гомотопий" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Салливан, Деннис; Vigué-Poirrier, Мишлин (1976), "Теория гомологии замкнутой геодезической задачи", Журнал дифференциальной геометрии , 11 (4): 633-644, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214433729 , МР  0455028