Разветвленное покрытие - Branched covering

В математике , разветвленное накрытие является карта , которая является почти накрытием , за исключением небольшого набора.

В топологии

В топологии карта - это разветвленное покрытие, если оно покрывает всюду, кроме нигде не плотного множества, известного как множество ветвей. Примеры включают отображение клина кругов на один круг, где отображение является гомеоморфизмом на каждом круге.

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии термин разветвленное покрытие используется для описания морфизмов от одного алгебраического многообразия к другому , причем два измерения одинаковы, а типичный слой бытия имеет размерность 0. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f}$

В этом случае, будет открытое множество из (для топологии Зарисского ), которое плотно в , например , что ограничение на (от до , то есть) является неразветвленным . В зависимости от контекста, мы можем принять это как локальный гомеоморфизм для сильной топологии , над комплексными числами или как этальный морфизм в целом (при некоторых немного более сильных гипотезах о плоскостности и отделимости ). В общем , такой морфизм напоминает накрывающее пространство в топологическом смысле. Например, если и оба римановых поверхностей , мы только требуем , чтобы голоморфна и не постоянна, а затем существует конечное множество точек зрения , за пределами которого мы находим честное покрытие ${\ displaystyle W '}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle W '}$${\ Displaystyle V '= f ^ {- 1} (W')}$${\ displaystyle W '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle V '\ to W'}$.

Локус ветвления

Множество исключительных точек на называется локусом ветвления (т. Е. Это дополнение к максимально возможному открытому множеству ). В общей монодромии происходит в соответствии с фундаментальной группой из действующих на листах покрытия (это топологическая картина может быть точными и в случае общего основное поля). ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W '}$${\ displaystyle W '}$

Куммер расширения

Разветвленные покрытия легко строятся как куммеровые расширения , то есть как алгебраическое расширение этого поля функции . Эти гиперэллиптические кривые являются прототипическим примеры.

Неразветвленное покрытие

Таким образом, неразветвленное покрытие - это возникновение пустого локуса ветвления.

Примеры

Эллиптическая кривая

Морфизмы кривых дают множество примеров разветвленных покрытий. Например, пусть C будет эллиптической кривой уравнения

${\ displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2) = 0.}$

Проекция C на ось x представляет собой разветвленное покрытие с локусом ветвления, заданным формулой

${\ Displaystyle х (х-1) (х-2) = 0.}$

Это потому, что для этих трех значений x слой является двойной точкой, тогда как для любого другого значения x слой состоит из двух различных точек (над алгебраически замкнутым полем ). ${\ displaystyle y ^ {2} = 0,}$

Эта проекция индуцирует алгебраическое расширение второй степени функциональных полей : Кроме того, если мы возьмем поля дробей лежащих в основе коммутативных колец, мы получим морфизм

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (х) \ к \ mathbb {C} (x) [y] / (y ^ {2} -x (x-1) (x-2))}$

Следовательно, эта проекция является разветвленным накрытием степени 2. Это можно усреднить, чтобы построить разветвленное покрытие степени 2 соответствующей проективной эллиптической кривой на проективную прямую.

Плоская алгебраическая кривая

Предыдущий пример можно обобщить на любую алгебраическую плоскую кривую следующим образом. Пусть C - плоская кривая, заданная уравнением f ( x , y ) = 0 , где f - разделимый и неприводимый многочлен от двух неопределенных. Если n - степень f в y , то слой состоит из n различных точек, за исключением конечного числа значений x . Таким образом, эта проекция является разветвленным покрытием степени n .

Исключительные значения х являются корнями коэффициента в F , а корни дискриминанта из F относительно у . ${\ Displaystyle у ^ {п}}$

Над корнем r дискриминанта есть хотя бы разветвленная точка, которая является либо критической, либо особой точкой . Если г также является корнем коэффициента в F , то эта разветвленная точка « на бесконечности ». ${\ Displaystyle у ^ {п}}$

Над корень ы коэффициента в F , кривая С имеет бесконечную ветвь, а волокно в сек имеет меньше , чем п точки. Тем не менее, если расширить проекцию на проективные пополнения из С и тому х Оу, и если ей не является корень дискриминанта, проекция становится покрытием над окрестностью с . ${\ Displaystyle у ^ {п}}$

Тот факт, что эта проекция является разветвленным покрытием степени n, также можно увидеть, рассматривая функциональные поля . Фактически эта проекция соответствует расширению поля степени n

${\ displaystyle \ mathbb {C} (x) \ to \ mathbb {C} (x) [y] / f (x, y).}$

Различные ответвления

Мы также можем обобщить разветвленные накрытия линии с разной степенью ветвления. Рассмотрим многочлен вида

${\ Displaystyle е (х, у) = г (х)}$

по мере того как мы выбираем разные точки , слои, задаваемые множеством исчезающих точек , меняются. В любой точке, где кратность одного из линейных членов в факторизации увеличивается на единицу, происходит разветвление. ${\ Displaystyle х = \ альфа}$${\ Displaystyle е (\ альфа, у) -g (\ альфа)}$${\ Displaystyle е (\ альфа, у) -g (\ альфа)}$

Схематические теоретические примеры

Эллиптические кривые

Морфизмы кривых дают множество примеров разветвленных покрытий схем. Например, морфизм аффинной эллиптической кривой в прямую

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ mathbb {C} [x, y]} / {(y ^ {2} -x (x-1) (x-2)} \ right) \ в {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x])}$

представляет собой разветвленную оболочку с локусом ветвления, заданным

${\ displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ mathbb {C} [x]} / {(x (x-1) (x-2))} \ right)}$

Это потому , что в любой точке в волокне является схема ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ mathbb {C} [y]} / {(y ^ {2})} \ right)}$

Кроме того, если мы возьмем поля дробей лежащих в основе коммутативных колец, мы получим гомоморфизм полей

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ к {\ mathbb {C} (x) [y]} / {(y ^ {2} -x (x-1) (x-2))},}$

которое является алгебраическим расширением степени два; следовательно, мы получили разветвленное накрытие эллиптической кривой на аффинную прямую степени 2. Это можно гомогенизировать, чтобы построить морфизм проективной эллиптической кривой в . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Гиперэллиптическая кривая

Гиперэллиптическая кривая представляет собой обобщение выше степени покрова аффинной прямой, рассматривая аффинную схему , определенную над полиномом вида ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle у ^ {2} - \ prod (х-а_ {я})}$где для${\ displaystyle a_ {i} \ neq a_ {j}}$${\ displaystyle i \ neq j}$

Покрытия аффинной прямой высших степеней

Мы можем обобщить предыдущий пример, взяв морфизм

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(f (y) -g (x))}} \ right) \ to {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x])}$

где не имеет повторяющихся корней. Тогда локус ветвления определяется как ${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x]} {(f (x))}} \ right)}$

где волокна задаются формулой

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [y]} {(f (y))}} \ right)}$

Тогда мы получаем индуцированный морфизм полей дробей

${\ displaystyle \ mathbb {C} (x) \ to {\ frac {\ mathbb {C} (x) [y]} {(f (y) -g (x))}}}$

Имеется -модульный изоморфизм цели с ${\ Displaystyle \ mathbb {C} (х)}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} (x) \ oplus \ mathbb {C} (x) \ cdot y \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {C} (x) \ cdot y ^ {{\ text {deg}} (f (y))}}$

Следовательно, покрытие имеет степень . ${\ displaystyle {\ text {deg}} (е)}$

Суперэллиптические кривые

Суперэллиптические кривые являются обобщением гиперэллиптических кривых и специализацией предыдущего семейства примеров, так как они задаются аффинными схемами из многочленов вида ${\ Displaystyle X / \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle у ^ {к} -f (х)}$где и не имеет повторяющихся корней.${\ displaystyle k> 2}$${\ displaystyle f (x)}$

Разветвленные накрытия проективного пространства.

Другой полезный класс примеров - разветвленные накрытия проективного пространства. По однородному многочлену мы можем построить разветвленное покрытие с множеством ветвлений ${\ displaystyle f \ in \ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {f (x)}} \ right)}$

рассматривая морфизм проективных схем

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] [y]} {y ^ {{\ text {deg}} } (f)} - f (x)}} \ right) \ to \ mathbb {P} ^ {n}}$

Опять же, это будет покрытие степени . ${\ displaystyle f}$

Приложения

Разветвленные покрытия имеют группу преобразований симметрии . Поскольку группа симметрии имеет стабилизаторы в точках локуса ветвления, разветвленные накрытия можно использовать для построения примеров орбифолдов или стеков Делиня – Мамфорда . ${\ displaystyle C \ to X}$${\ displaystyle G}$

Смотрите также

• Этальный морфизм
• Орбифолд
• Стек (математика)

Ссылки

• Димка, Александру (1992), Особенности и топология гиперповерхностей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97709-6
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052
• Оссерман, Брайан, Разветвленные покровы римановой сферы (PDF)