Идеальное поле - Perfect field

В алгебре , поле к является совершенным , если какой - либо один из следующих эквивалентных условий:

• Каждый неприводимый многочлен над k имеет разные корни.
• Каждый неприводимый многочлен над к является разъемным .
• Каждое конечное расширение из к является разъемным .
• Каждое алгебраическое расширение из к отделимо.
• Либо k имеет характеристику 0, либо, когда k имеет характеристику p > 0 , каждый элемент k является p- й степенью .
• Либо к имеет характерный 0, или, когда к имеет характеристику р > 0 , то эндоморфизм Фробениуса х ↦ х ^р является автоморфизм из K .
• Сепарабельное замыкание из к является алгебраически замкнутым .
• Всякая редуцированная коммутативная k -алгебра A является сепарабельной алгеброй ; то есть, будет уменьшена для любого расширения поля F / к . (см. ниже)${\ displaystyle A \ otimes _ {k} F}$

В противном случае k называется несовершенным .

В частности, все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.

Совершенные поля важны, потому что теория Галуа над этими полями становится более простой, поскольку общее предположение Галуа о сепарабельности расширений полей автоматически выполняется над этими полями (см. Третье условие выше).

Еще одно важное свойство совершенных полей состоит в том, что они допускают векторы Витта .

В более общем виде кольца характеристики р ( р простое ) называется совершенным , если эндоморфизм Фробениуса является автоморфизм . (При ограничении областями целостности это эквивалентно приведенному выше условию «каждый элемент k является p- й степенью».)

Примеры

Примеры идеальных полей:

• каждое поле нулевой характеристики, а значит, и каждое конечное расширение, и ;${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$
• каждое конечное поле ;${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$
• каждое алгебраически замкнутое поле ;
• объединение набора совершенных полей, полностью упорядоченных по расширению;
• поля алгебраические над совершенным полем.

Большинство полей, которые встречаются на практике, безупречны. Несовершенный случай возникает в основном в алгебраической геометрии при характеристике p > 0 . Каждое несовершенное поле обязательно трансцендентно над своим простым подполем (минимальным подполем), потому что последнее совершенно. Пример несовершенного поля - это поле , поскольку Фробениус посылает и, следовательно, не является сюръективным. Он встраивается в идеальное поле ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {q} (х)}$${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {p}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q} (x, x ^ {1 / p}, x ^ {1 / p ^ {2}}, \ ldots)}$

назвал его совершенством . Несовершенные поля вызывают технические трудности, потому что неприводимые многочлены могут стать приводимыми в алгебраическом замыкании основного поля. Например, рассмотрим для несовершенного поля характеристики и в не является р -й мощности в F . Тогда в его алгебраическом замыкании имеет место равенство ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {p} + ay ^ {p} \ in k [x, y]}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle к ^ {\ OperatorName {alg}} [х, у]}$

${\ Displaystyle е (х, у) = (х + по) ^ {р},}$

где b ^p = a и такое b существует в этом алгебраическом замыкании. Геометрически это означает, что не определяет аффинную плоскую кривую в . ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle к [х, у]}$

Расширение поля на идеальном поле

Любое конечно порожденное расширение поля K над совершенным полем k сепарабельно порождено, т. Е. Допускает разделяющую базу трансцендентности , то есть такую ​​базу трансцендентности Γ, что K сепарабельно алгебраична над k (Γ).

Идеальное закрытие и совершенство

Одно из эквивалентных условий утверждает, что в характеристике p поле, к которому присоединены все корни p ^r -й степени ( r ≥ 1 ), совершенно; это называется совершенным замыкание в к и обозначается обычно . ${\ Displaystyle к ^ {p ^ {- \ infty}}}$

Идеальное закрытие можно использовать в тесте на разделимость. Точнее, коммутативная k -алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она приведена. ${\ displaystyle A \ otimes _ {k} k ^ {p ^ {- \ infty}}}$

С точкой зрения универсальных свойств , то совершенное замыкание кольцевой А характеристиками р является идеальным кольцо _р характеристики р вместе с кольцевым гомоморфизмом у  : → _р такой , что для любого другого идеального кольца B характеристики р с гомоморфизмом v  : A → B существует единственный гомоморфизм f  : A _p → B такой, что v пропускается через u (т.е. v = fu ). Идеальное завершение существует всегда; доказательство включает «присоединение корней p-й степени из элементов A », как и в случае полей.

Совершенство кольцевого А характеристики р является сопряженным понятие (хотя этот термин иногда используется для идеального закрытия). Другими словами, совершенство R ( A ) кольца A является совершенным кольцом характеристики p вместе с отображением θ  : R ( A ) → A таким, что для любого совершенного кольца B характеристики p, снабженного отображением φ  : B → A существует единственное отображение f  : B → R ( A ) такое, что φ пропускается через θ (т.е. φ = θf ). Совершенство A можно построить следующим образом. Рассмотрим проективную систему

${\ Displaystyle \ cdots \ rightarrow A \ rightarrow A \ rightarrow A \ rightarrow \ cdots}$

где переходные отображения - эндоморфизм Фробениуса. Обратный предел этой системы является R ( ) и состоит из последовательностей ( х ₀ , х ₁ , ...) элементов таким образом, что для всех я . Отображение θ  : R ( A ) → A переводит ( x _i ) в x ₀ . ${\ Displaystyle х_ {я + 1} ^ {р} = х_ {я}}$

Смотрите также

• кольцо
• Идеальное кольцо
• Квазиконечное поле

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки

• "Совершенное поле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]