Окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника
В геометрии , то вписанная или вписанная окружность из треугольника является самым большим кругом , содержащийся в треугольнике; он касается ( касается ) трех сторон. Центр вписанной является треугольник центр под названием треугольника вписанной .
Вневписанная или вневписанной окружности треугольника представляет собой окружность , лежащая вне треугольника, касательной к одной из его сторон и касательной к продолжений двух других . В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.
Центр вписанной окружности, называемый центром , находится на пересечении трех биссектрис внутреннего угла . Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (например, в вершине ) и внешних биссектрис двух других. Центр этого вневписанное называется эксцентрик относительно вершины , или эксцентриком из . Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему .
Все правильные многоугольники имеют касательные со всех сторон вписанные окружности, но не все многоугольники; те, что есть, являются касательными многоугольниками . См. Также Касательные линии к окружностям .
Окружность и инцентр
Предположим, есть вписанная окружность с радиусом и центром . Позвольте быть длиной , длиной и длиной . Также позвольте , и быть точками касания , где вписанная окружность касается , и .
Incenter
Вписанной является точкой , в которой внутренний угле биссектриса из соревнований.
Расстояние от вершины до инцентратора :
Трилинейные координаты
Эти координаты трилинейных для точки в треугольнике есть отношение всех расстояний до сторон треугольника. Поскольку центр центра находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты центра центра равны
Барицентрические координаты
В барицентрических координатах для точки в треугольнике Дайте весы таким образом, что точка является взвешенным средним позиций треугольника вершин. Барицентрические координаты инцентратора определяются выражением
где , и - длины сторон треугольника, или, что то же самое (с использованием закона синусов ):
где , и - углы при трех вершинах.
Декартовы координаты
В декартовы координаты из вписанной представляют собой взвешенное среднее значение координат вершин с использованием трех длины сторон треугольника по отношению к периметру (то есть, используя барицентрические координаты , приведенные выше, нормированные на сумму к единице) в качестве весов. Веса положительны, так что центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в , и , и стороны напротив этих вершин имеют соответствующие длины , и , затем , вписанной находится
Радиус
Inradius вписанной в треугольник со сторонами длиной , , задается
-
где
См . Формулу Герона .
Расстояния до вершин
Обозначая центр центра как , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению
Дополнительно,
где и - радиус описанной окружности и внутренний радиус треугольника соответственно.
Другие свойства
Совокупность центров треугольников может быть задана структурой группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе стимулятор образует элемент идентичности .
Вписанная окружность и ее свойства радиуса
Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания
Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны; например:
Другие свойства
Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на длины и , и , и и . Тогда вписанная окружность имеет радиус
а площадь треугольника равна
Если абсолютные высоты от длины сторон , и являются , , и , затем inradius одна треть гармонических среднего этих высот; то есть,
Произведение радиуса вписанной и окружность радиуса треугольника со сторонами , и является
Некоторые отношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности:
Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). Их может быть один, два или три для любого данного треугольника.
Обозначая центр вписанной окружности как , имеем
и
Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот.
Квадрат расстояния от центра до центра описанной окружности равен
-
,
и расстояние от вписанной в центр на девять точки окружности является
Центр находится в среднем треугольнике (вершины которого являются серединами сторон).
Отношение к площади треугольника
Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно
, при этом равенство сохраняется только для равносторонних треугольников .
Предположим,
есть вписанная окружность с радиусом и центром . Позвольте быть длиной , длиной и длиной . Теперь вписанная окружность касается в какой-то точке , а значит, и
права. Таким образом, радиус является высота из
. Следовательно,
имеет базовую длину и высоту , а также площадь
. Точно так же
имеет площадь
и
площадь
. Поскольку эти три треугольника распадаются
, мы видим, что площадь
равна:
-
и
где есть площадь и является его -полупериметром .
Для альтернативной формулы рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна, а другая равна . То же верно и для . Большой треугольник состоит из шести таких треугольников общей площадью:
Треугольник Жергонна и точка
Треугольник , с
вписанный круг
Incenter ( ),
контактный треугольник ( ) и
Точка Жергонна ( )
Gergonne треугольник (из ) определяются три из точек соприкосновения вписанных на трех сторонах. Обозначается противоположная точка касания и т. Д.
Этот треугольник Gergonne, , также известная как контактный треугольник или Intouch треугольник из . Его площадь
где , и являются областью, радиус вписанной и -полупериметр исходного треугольника, а , и побочные длины исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника касания .
Три линии , и пересекаются в одной точке называются Gergonne точки , обозначаются как (или треугольник центр X 7 ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в нем.
Точка Жергонна треугольника обладает рядом свойств, в том числе то, что это симедианная точка треугольника Жергонна.
Трехлинейные координаты вершин сенсорного треугольника имеют вид
Трехлинейные координаты точки Жергонна задаются выражением
или, что то же самое, по закону синуса ,
Excircles и excenters
Вневписанная или вневписанной окружности треугольника представляет собой окружность , лежащая вне треугольника, касательной к одной из его сторон и касательной к продолжений двух других . В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.
Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (например, в вершине ) и внешних биссектрис двух других. Центр этого вневписанное называется эксцентрик относительно вершины , или эксцентриком из . Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, отсюда следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему .
Трилинейные координаты эксцентров
В то время как вписанные в имеют трилинейные координаты , эксцентрики имеют trilinears , и .
Exradii
Радиусы вневписанных окружностей называются эксрадиусами .
Экстрадиус вневписанной окружности напротив (так касаясь , с центром в ) равен
-
где
См . Формулу Герона .
Вывод формулы exradii
Нажмите « Показать», чтобы просмотреть содержимое этого раздела.
Пусть вневписанная окружность соприкасается со стороной, продолженной на , и пусть радиус этой вневписанной окружности равен, а ее центр равен .
Тогда
это высота
, значит,
и площадь
. По аналогичному аргументу
имеет площадь
и
имеет площадь
. Таким образом, площадь
треугольника
равна
-
.
Итак, по симметрии, обозначив радиус вписанной окружности,
-
.
По закону косинусов мы имеем
Объединяя это с тождеством , мы имеем
Но и так
что является формулой Герона .
В сочетании с этим мы имеем
Аналогично дает
и
Другие свойства
Из приведенных выше формул видно, что вневписанная окружность всегда больше, чем вписанная, и что наибольшая вневписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вневписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает:
Другие свойства вневписанной окружности
Круглая оболочка вневписанных окружностей внутренне касается каждой из вневписанных окружностей и, таким образом, является окружностью Аполлония . Радиус этой окружности Аполлония находится где радиус вписанной и является -полупериметр треугольника.
Имеют место следующие соотношения между inradius , то описанной окружности , -полупериметр и вневписанная радиусы , , :
Окружность, проходящая через центры трех вневписанных окружностей, имеет радиус .
Если это ортоцентр из , то
Треугольник Нагеля и точка Нагеля
В
нажмите треугольник ( ) и
Точка Нагеля ( )
треугольник ( ). Оранжевые кружки - это
вневписанные окружности треугольника.
Nagel треугольник или extouch треугольник из обозначаются через вершину , и что эти три точек , где вневписанные окружности коснуться ссылками и где находятся противоположное , и т.д. Это также известно как extouch треугольника из . Окружность из extouch называется круг Mandart .
Три линии , и называются разветвители треугольника; каждая из них делит пополам периметр треугольника,
Разделители пересекаются в одной точке - точке Нагеля треугольника (или центре треугольника X 8 ).
Трехлинейные координаты вершин внешнего касания треугольника имеют вид
Трехлинейные координаты точки Нагеля определяются выражением
или, что то же самое, по закону синуса ,
Точка Нагеля является изотомически сопряженной точкой Жергонна.
Связанные конструкции
Девятиточный круг и точка Фейербаха
Окружность из девяти точек касается вписанной и вневписанной окружностей.
В геометрии круг из девяти точек - это круг, который можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять важных точек пересечения, определяемых треугольником. Вот эти девять пунктов :
В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность любого треугольника с девятью точками касается снаружи трех вневписанных окружностей этого треугольника и внутренне касается его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что:
- ... окружность, проходящая через основание высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... ( Фейербах 1822 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFeuerbach1822 ( справка )
Центр треугольника, в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .
Внутренний и эксцентральный треугольники
Точки пересечения внутреннего угла биссектрис с сегментами , , и являются вершинами incentral треугольника . Трехлинейные координаты вершин центрального треугольника задаются выражением
Excentral треугольник опорного треугольника имеет вершины в центрах Вневписанных эталонного треугольника. Его стороны на внешний угол биссектрис опорного треугольника (смотри рисунок в верхней части страницы ). Трилинейные координаты вершин эксцентрального треугольника имеют вид
Уравнения для четырех кругов
Пусть будет переменная точка в координатах трилинейных , и пусть , , . Четыре круга, описанные выше, эквивалентны любому из двух приведенных уравнений:
- Вокруг:
-
- внеокружность:
-
- внеокружность:
-
- внеокружность:
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:
где и - радиус описанной окружности и внутренний радиус, соответственно, и - расстояние между центром описанной окружности и центром.
Для вневписанных кругов уравнение аналогично:
где - радиус одной из вневписанных окружностей, а - расстояние между центром описанной окружности и центром этой вневписанной окружности.
Обобщение на другие полигоны
Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Эти четырехугольники называются касательными . Среди множества их свойств, пожалуй, наиболее важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито .
В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, который имеет вписанную окружность (то есть ту, которая касается каждой стороны), называется касательным многоугольником .
Смотрите также
Ноты
Рекомендации
-
Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 52013504
-
Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN 69012075
-
Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
-
Поцелуй, Шандор (2006). «Ортопедические и интуитивно понятные треугольники». Форум Geometricorum (6): 171–177.
внешние ссылки
Интерактивный