Касательные к окружностям - Tangent lines to circles

В евклидовой геометрии плоскости , касательной к окружности является линией , которая затрагивает круг ровно в одной точке, никогда не входя внутрь круга. Касательные к окружностям составляют предмет нескольких теорем и играют важную роль во многих геометрических построениях и доказательствах . Так как касательная к окружности при точке Р находится перпендикулярно к радиусу к этой точке, теоремы , включающие касательные линии часто включают радиальные линии и ортогональные окружности.

Касательные к одному кругу

Касательная линия т к окружности С , пересекает окружность в одной точке Т . Для сравнения, секущие линии пересекают круг в двух точках, тогда как другая линия может вообще не пересекать круг. Это свойство касательных линий сохраняется при многих геометрических преобразованиях , таких как масштабирование , поворот , смещения , инверсии и картографические проекции . Говоря техническим языком, эти преобразования не изменяют структуру инцидентности касательной линии и окружности, даже если линия и окружность могут быть деформированы.

Радиус окружности перпендикулярен касательной, проходящей через ее конечную точку на окружности окружности. И наоборот, перпендикуляр к радиусу, проходящий через ту же конечную точку, является касательной. Полученная геометрическая фигура окружности и касательной имеет симметрию отражения относительно оси радиуса.

По теореме о степени точки произведение длин PM · PN для любого луча PMN равно квадрату PT, длины отрезка касательной прямой (красный).

Никакая касательная линия не может быть проведена через точку внутри круга, так как любая такая линия должна быть секущей линией. Однако две касательные линии могут быть проведены к окружности из точки P за пределами окружности. Геометрическая фигура окружности и обеих касательных линий также имеет симметрию отражения относительно радиальной оси, соединяющей P с центральной точкой O окружности. Таким образом, длины отрезков от P до двух точек касания равны. К секущему-касательной теореме , квадрат этой длиной касательной равна мощность в точке Р в круге C . Эта сила равно произведение расстояний от P до любых двух точек пересечения окружности с секущей линией , проходящей через P .

Угол θ между хордой и касательной составляет половину дуги, принадлежащей хорде.

Касательная линия t и точка касания T связаны друг с другом сопряженными отношениями, которые были обобщены в идею полюсных точек и полярных линий . Такое же взаимное отношение существует между точкой P вне окружности и секущей линией, соединяющей две ее точки касания.

Если точка P находится вне окружности с центром O, и если касательные линии от P касаются окружности в точках T и S, то ∠TPS и ∠TOS являются дополнительными (в сумме 180 °).

Если хорда TM проведена из точки касания T внешней точки P и ∠PTM ≤ 90 °, то ∠PTM = (1/2) ∠TOM.

Уравнение касательной с координатой

Предположим, что уравнение окружности имеет центр в . Тогда касательная к окружности в точке равна ${\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$

{\ displaystyle (x-x_ {1}) (x_ {1} -a) + (y-y_ {1}) (y_ {1} -b) = 0}

Это можно доказать, взяв неявную производную круга.

Конструкции компаса и линейки

Относительно просто построить прямую t, касательную к окружности в точке T на окружности окружности:

Линия a проводится от центра O , центра круга, через радиальную точку T ;
Линия t - это перпендикуляр к a .

Построение касательной к заданной окружности (черной) из заданной внешней точки (P).

Теорема Фалеса может быть использована для построения касательных к точке P, внешней по отношению к окружности C :

Круг обращаются с центром на средней точке OP сегмента линии, имеющим диаметр OP, где O снова является центр окружности С .
Точки пересечения T ₁ и T ₂ окружности C и новой окружности являются точками касания прямых, проходящих через P , согласно следующему аргументу.

Отрезки OT ₁ и OT ₂ являются радиусами окружности C ; поскольку оба вписаны в полукруг, они перпендикулярны отрезкам PT ₁ и PT ₂ соответственно. Но только касательная линия перпендикулярна радиальной линии. Следовательно, эти две строки из Р и проходящие через T ₁ и T ₂ являются касательной к окружности С .

Другой метод построения касательных к точке P, внешней по отношению к окружности, с использованием только линейки :

Проведите любые три разные линии через заданную точку P, которые дважды пересекают круг.
Позвольте быть шесть точек пересечения, причем одна и та же буква соответствует той же прямой, а индекс 1 соответствует точке ближе к P. ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, B_ {1}, B_ {2}, C_ {1}, C_ {2}}$
Пусть D будет точкой, где пересекаются прямые и , ${\ displaystyle A_ {1} B_ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {2} B_ {1}}$
Аналогично E для линий и . ${\ displaystyle B_ {1} C_ {2}}$ ${\ displaystyle B_ {2} C_ {1}}$
Проведите линию через D и E.
Эта линия пересекает круг в двух точках, F и G.
Касательные - это прямые PF и PG.

С аналитической геометрией

Позвольте быть точкой круга с уравнением . Касательная в имеет уравнение , потому что лежит на обеих кривых и является нормальным вектором прямой. Касательная пересекает ось x в точке с . ${\ Displaystyle P = (а, Ь)}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle ax + by = r ^ {2}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ vec {OP}} = (a, b) ^ {T}}$ ${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, 0)}$ ${\ displaystyle ax_ {0} = r ^ {2}}$

Касательные через точку

И наоборот, если начать с точки , то две проходящие через нее касательные пересекаются с окружностью в двух точках с ${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, 0)}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ Displaystyle P_ {1/2} = (а, b _ {\ pm})}$

{\ displaystyle a = {\ frac {r ^ {2}} {x_ {0}}}, \ qquad b _ {\ pm} = \ pm {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}} = \ pm {\ frac {r} {x_ {0}}} {\ sqrt {x_ {0} ^ {2} -r ^ {2}}} \ quad}

. Написано в векторной форме:

{\ displaystyle {\ binom {a} {b _ {\ pm}}} = {\ frac {r ^ {2}} {x_ {0}}} {\ binom {1} {0}} \ pm {\ frac {r} {x_ {0}}} {\ sqrt {x_ {0} ^ {2} -r ^ {2}}} {\ binom {0} {1}} \.}

Если точка лежит не на оси x: в векторной форме заменяется расстоянием, а единичные базовые векторы ортогональными единичными векторами . Затем касательные, проходящие через точку, касаются окружности в точках ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle \ d_ {0} = {\ sqrt {x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2}}} \}$ ${\ displaystyle \ {\ vec {e}} _ {1} = {\ frac {1} {d_ {0}}} {\ binom {x_ {0}} {y_ {0}}}, \ {\ vec {e}} _ {2} = {\ frac {1} {d_ {0}}} {\ binom {-y_ {0}} {x_ {0}}} \}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$

{\ Displaystyle {\ binom {x_ {1/2}} {y_ {1/2}}} = {\ frac {r ^ {2}} {d_ {0} ^ {2}}} {\ binom {x_ {0}} {y_ {0}}} \ pm {\ frac {r} {d_ {0} ^ {2}}} {\ sqrt {d_ {0} ^ {2} -r ^ {2}}} {\ binom {-y_ {0}} {x_ {0}}} \.}

Ибо никаких касательных не существует. Поскольку точка лежит на окружности, и есть только одна касательная к уравнению . В случае есть 2 касательных с уравнениями . ${\ displaystyle d_ {0} <r}$
${\ displaystyle d_ {0} = r}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0} x + y_ {0} y = r ^ {2}}$
${\ displaystyle d_ {0}> r}$ ${\ displaystyle \ x_ {1} x + y_ {1} y = r ^ {2}, \ x_ {2} x + y_ {2} y = r ^ {2}}$

Связь с инверсией окружности : Уравнение описывает инверсию точки в окружности . ${\ displaystyle ax_ {0} = r ^ {2}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, 0)}$

Отношение к полюсу и полюсу : полюс точки имеет уравнение . ${\ displaystyle (x_ {0}, 0)}$ ${\ displaystyle xx_ {0} = r ^ {2}}$

Тангенциальные многоугольники

Тангенциальное многоугольника является многоугольником каждой из сторон которого является касательной к определенному кругу, называется его вписанной . Каждый треугольник является касательным многоугольником, как и любой правильный многоугольник с любым числом сторон; кроме того, для каждого числа сторон многоугольника существует бесконечное число несовпадающих касательных многоугольников.

Теорема о касательном четырехугольнике и вписанные окружности

Тангенциальное четырехугольник ABCD представляет собой замкнутую фигуру из четырех прямых сторон , которые являются касательной к данной окружности С . Эквивалентно, окружность С будет вписан в четырехугольнике ABCD. По теореме Пито суммы противоположных сторон любого такого четырехугольника равны, т. Е.

{\ displaystyle {\ overline {AB}} + {\ overline {CD}} = {\ overline {BC}} + {\ overline {DA}}.}

Тангенциальный четырехугольник

Этот вывод следует из равенства касательных отрезков от четырех вершин четырехугольника. Обозначим точки касания как P (на отрезке AB), Q (на отрезке BC), R (на отрезке CD) и S (на отрезке DA). Симметричные касательные сегменты вокруг каждой точки ABCD равны, например, BP = BQ = b , CQ = CR = c , DR = DS = d и AS = AP = a . Но каждая сторона четырехугольника состоит из двух таких касательных отрезков.

{\ displaystyle {\ overline {AB}} + {\ overline {CD}} = (a + b) + (c + d) = {\ overline {BC}} + {\ overline {DA}} = (b + в) + (г + а)}

доказательство теоремы.

Верно и обратное: в каждый четырехугольник можно вписать круг, в котором длины противоположных сторон в сумме равны одному и тому же значению.

Эта и обратная теорема могут использоваться по-разному. Например, они сразу показывают, что ни один прямоугольник не может иметь вписанного круга, если он не является квадратом , и что каждый ромб имеет вписанный круг, тогда как общий параллелограмм - нет.

Касательные к двум окружностям

Внешний (вверху) и внутренний (внизу) гомотетический центр S двух окружностей.

Для двух кругов обычно есть четыре различных прямых, которые касаются обоих ( битангенс ) - если два круга находятся вне друг друга - но в вырожденных случаях может быть любое число от нуля до четырех прямых касательных; они рассматриваются ниже. Для двух из них, внешних касательных, круги попадают на одну сторону от прямой; для двух других, внутренних касательных, круги попадают на противоположные стороны линии. Внешние касательные линии пересекаются во внешнем гомотетическом центре , тогда как внутренние касательные пересекаются во внутреннем гомотетическом центре. И внешний, и внутренний гомотетические центры лежат на линии центров (линия, соединяющая центры двух кругов), ближе к центру меньшего круга: внутренний центр находится в сегменте между двумя кругами, а внешний центр находится не между точками, а снаружи, сбоку от центра меньшего круга. Если две окружности имеют равный радиус, остается четыре касательных по обе стороны, но внешние касательные параллельны, и в аффинной плоскости нет внешнего центра ; в проективной плоскости внешний гомотетический центр лежит в бесконечно удаленной точке, соответствующей наклону этих прямых.

Наружная касательная

Нахождение внешней касательной. Внешние касательные двух окружностей.

Красная линия, соединяющая точки и, является внешней касательной между двумя окружностями. Заданные точки , точки , можно легко вычислить с помощью угла : ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}$ ${\ displaystyle (x_ {4}, y_ {4})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}$ ${\ displaystyle (x_ {4}, y_ {4})}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} x_ {3} & = x_ {1} \ pm r \ sin \ alpha \\ y_ {3} & = y_ {1} \ pm r \ cos \ alpha \\ x_ {4 } & = x_ {2} \ pm R \ sin \ alpha \\ y_ {4} & = y_ {2} \ pm R \ cos \ alpha \\\ конец {выровнено}}}

Здесь R и r обозначают радиусы двух окружностей, а угол можно вычислить с помощью базовой тригонометрии. У вас есть с и . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ альфа = \ гамма - \ бета}$ ${\ displaystyle \ gamma = - \ arctan \ left ({\ tfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ beta = \ pm \ arcsin \ left ({\ tfrac {Rr} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}} \ right)}$

Внутренняя касательная

Внутренняя касательная. Внешние касательные проходят через внутренний гомотетический центр.

Внутренняя касательная - это касательная, которая пересекает отрезок, соединяющий центры двух окружностей. Обратите внимание, что внутренняя касательная не будет определена для случаев, когда две окружности перекрываются.

Строительство

Битуасательные линии могут быть построены либо путем построения гомотетических центров, как описано в этой статье, а затем построения касательных линий через гомотетический центр, который касается одной окружности, одним из методов, описанных выше. Получившаяся линия также будет касательной к другой окружности. В качестве альтернативы касательные линии и точки касания могут быть построены более непосредственно, как описано ниже. Обратите внимание, что в вырожденных случаях эти конструкции разрушаются; для упрощения изложения это не обсуждается в этом разделе, но форма конструкции может работать в предельных случаях (например, две окружности, касающиеся одной точки).

Синтетическая геометрия

Пусть O ₁ и O ₂ - центры двух окружностей, C ₁ и C _2, и пусть r ₁ и r ₂ - их радиусы , причем r ₁ > r ₂ ; другими словами, круг C ₁ определяется как больший из двух кругов. Для построения внешних и внутренних касательных можно использовать два разных метода.

Внешние касательные

Построение внешней касательной

Новый круг C ₃ радиуса r ₁ - r ₂ рисуется с центром на O ₁ . Используя описанный выше метод, из O ₂ проводятся две линии , которые касаются этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, потому что ситуация соответствует сжатию обеих окружностей C ₁ и C ₂ на постоянную величину r ₂ , что приводит к сжатию C ₂ до точки. Две радиальные линии могут быть проведены от центра O ₁ через точки касания на C ₃ ; они пересекают C ₁ в желаемых точках касания. Желаемые внешние касательные линии - это линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в тех точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Внутренние касательные

Построение внутренней касательной

Новый круг C ₃ радиуса r ₁ + r ₂ рисуется с центром на O ₁ . Используя описанный выше метод, из O ₂ проводятся две линии , которые касаются этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, потому что ситуация соответствует сжатию C ₂ до точки при расширении C ₁ на постоянную величину r ₂ . Две радиальные линии могут быть проведены от центра O ₁ через точки касания на C ₃ ; они пересекают C ₁ в желаемых точках касания. Желаемые внутренние касательные линии - это линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в тех точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Аналитическая геометрия

Пусть круги имеют центры c ₁ = ( x ₁ , y ₁ ) и c ₂ = ( x ₂ , y ₂ ) с радиусами r ₁ и r ₂ соответственно. Если выразить линию уравнением с нормализацией a ² + b ² = 1, то для побитово-касательной прямой выполняется: ${\ displaystyle ax + by + c = 0,}$

ax ₁ + на ₁ + c = r ₁ и

ах ₂ + на ₂ + с = г ₂ .

Решение путем вычитания первого из второго дает ${\ Displaystyle (а, б, в)}$

а Δ x + b Δ y = Δ r

где Δ x = x ₂ - x ₁ , Δ y = y ₂ - y ₁ и Δ r = r ₂ - r ₁ .

Если это расстояние от c ₁ до c _2, мы можем нормировать на X = Δ x / d , Y = Δ y / d и R = Δ r / d, чтобы упростить уравнения, получая уравнения aX + bY = R и a ² + b ² = 1, решите их, чтобы получить два решения ( k = ± 1) для двух внешних касательных: ${\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2}}}}$

а = RX - kY √ (1 - R ² )

б = RY + kX √ (1 - R ² )

с = г ₁ - ( ах ₁ + по ₁ )

Геометрически это соответствует вычислению угла, образованного касательными линиями и линией центров, а затем использованию этого для поворота уравнения для линии центров, чтобы получить уравнение для касательной линии. Угол вычисляется путем вычисления тригонометрических функций прямоугольного треугольника, вершинами которого являются (внешний) гомотетический центр, центр окружности и точка касания; гипотенуза лежит на касательной, радиус противоположен углу, а соседняя сторона лежит на линии центров.

( Х , Y ) является единичным вектором , указывающим от C ₁ до C ₂ , а R является , где угол между линией центров и касательной линией. тогда (в зависимости от знака , эквивалентного направления вращения), и приведенные выше уравнения представляют собой вращение ( X , Y ) с использованием матрицы вращения: ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ грех \ тета}$ ${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {1-R ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ pm \ theta,}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} R & \ mp {\ sqrt {1-R ^ {2}}} \\\ pm {\ sqrt {1-R ^ {2}}} & R \ end {pmatrix}}}

k = 1 - касательная справа от окружностей, смотрящих от c ₁ к c ₂ .

k = −1 - касательная справа от окружностей, смотрящих из c ₂ в c ₁ .

Выше предполагается, что каждый круг имеет положительный радиус. Если r ₁ положительно, а r ₂ отрицательно, то c ₁ будет лежать слева от каждой линии, а c ₂ - справа, и две касательные линии будут пересекаться. Таким образом получаются все четыре решения. Знаки переключения обоих радиусов переключают k = 1 и k = −1.

Векторы

Нахождение внешней касательной. Касательные окружности.

В общем случае точки касания t ₁ и t ₂ для четырех прямых, касающихся двух окружностей с центрами v ₁ и v ₂ и радиусами r ₁ и r ₂ , задаются путем решения совместных уравнений:

{\ displaystyle {\ begin {align} (t_ {2} -v_ {2}) \ cdot (t_ {2} -t_ {1}) & = 0 \\ (t_ {1} -v_ {1}) \ cdot (t_ {2} -t_ {1}) & = 0 \\ (t_ {1} -v_ {1}) \ cdot (t_ {1} -v_ {1}) & = r_ {1} ^ {2 } \\ (t_ {2} -v_ {2}) \ cdot (t_ {2} -v_ {2}) & = r_ {2} ^ {2} \\\ конец {выровнено}}}

Эти уравнения выражают, что касательная линия, которая параллельна, перпендикулярна радиусам, и что точки касания лежат на их соответствующих окружностях. ${\ displaystyle t_ {2} -t_ {1},}$

Это четыре квадратных уравнения с двумя двумерными векторными переменными, которые в общем положении будут иметь четыре пары решений.

Вырожденные случаи

Два различных круга могут иметь от нуля до четырех прямых касательных, в зависимости от конфигурации; их можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусам. Если посчитать с кратностью (считать общую касательную дважды), получится ноль, две или четыре линии с прямым касанием. Линии касания к биту также можно обобщить на окружности с отрицательным или нулевым радиусом. В вырожденных случаи и кратность можно понимать в терминах пределов других конфигураций - например, предел из двух кругов , которые почти соприкасаются, и двигающимся так , чтобы они соприкасались, или круг с малым радиусом сужаются к окружности нулевого радиуса .

Если круги находятся вне друг друга ( ), что является общим положением , имеется четыре битовых касательных. ${\ displaystyle d> r_ {1} + r_ {2}}$
Если они касаются внешне в одной точке ( ) - имеют одну точку внешнего касания - тогда у них есть два внешних битовых касания и один внутренний битангенс, а именно общая касательная линия. Эта общая касательная линия имеет кратность два, поскольку она разделяет окружности (одна слева, другая справа) для любой ориентации (направления). ${\ displaystyle d = r_ {1} + r_ {2}}$
Если окружности пересекаются в двух точках ( ), то у них нет внутренних битовых и двух внешних битовых касательных (они не могут быть разделены, потому что они пересекаются, следовательно, нет внутренних битовых касательных). ${\ displaystyle | r_ {1} -r_ {2} | <d <r_ {1} + r_ {2}}$
Если окружности соприкасаются внутри в одной точке ( ) - имеют одну точку внутреннего касания - тогда у них нет внутренних битовых касательных и одной внешней касательной, а именно общей касательной, которая имеет кратность два, как указано выше. ${\ displaystyle d = | r_ {1} -r_ {2} |}$
Если один круг полностью внутри другого ( ), то у них нет битовых касательных, поскольку касательная линия к внешнему кругу не пересекает внутренний круг, или, наоборот, касательная линия к внутреннему кругу является секущей линией к внешнему кругу. ${\ displaystyle d <| r_ {1} -r_ {2} |}$

Наконец, если две окружности идентичны, любая касательная к окружности является общей касательной и, следовательно, (внешним) битангенсом, так что есть битангенсы окружности.

Кроме того, понятие прямых касательных может быть расширено до кругов с отрицательным радиусом (то же геометрическое место точек, но считается «наизнанку»), и в этом случае, если радиусы имеют противоположный знак (один круг имеет отрицательный радиус, а другой - положительный). радиус) внешний и внутренний гомотетические центры, а также внешние и внутренние битовые касательные меняются местами, в то время как, если радиусы имеют одинаковый знак (оба положительных радиуса или оба отрицательных радиуса), «внешний» и «внутренний» имеют одинаковое обычное значение (переключение одного знака переключает их, поэтому переключение обоих переключает их обратно). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (- r) ^ {2},}$

Линии касания к биту также могут быть определены, когда одна или обе окружности имеют нулевой радиус. В этом случае окружность с нулевым радиусом является двойной точкой, и, следовательно, любая прямая, проходящая через нее, пересекает точку с кратностью два, следовательно, является «касательной». Если один круг имеет нулевой радиус, то прямая касательная - это просто линия, касающаяся круга и проходящая через точку, и считается с кратностью два. Если оба круга имеют нулевой радиус, то линия, касающаяся бита, является линией, которую они определяют, и считается с кратностью четыре.

Обратите внимание, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний гомотетические центры обычно все еще существуют (внешний центр находится на бесконечности, если радиусы равны), за исключением случаев, когда круги совпадают, и в этом случае внешний центр не определен, или если оба круга имеют нулевой радиус, и в этом случае внутренний центр не определен.

Приложения

Проблема с ремнем

Внутренняя и внешняя касательные линии полезны при решении проблемы ремня , которая заключается в вычислении длины ремня или веревки, необходимой для плотного прилегания к двум шкивам. Если ремень считается математической линией пренебрежимо малой толщины, и если предполагается, что оба шкива лежат в одной и той же плоскости, проблема сводится к суммированию длин соответствующих сегментов касательной линии с длинами дуг окружности, ограниченных пояс. Если ремень наматывается на колеса так, чтобы они пересекались, уместны сегменты внутренней касательной линии. И наоборот, если ремень намотан снаружи на шкивы, уместны сегменты внешней касательной; этот случай иногда называют проблемой шкива .

Касательные к трем окружностям: теорема Монжа

Для трех кругов, обозначенных C ₁ , C ₂ и C ₃ , есть три пары кругов ( C ₁C ₂ , C ₂C ₃ и C ₁C ₃ ). Поскольку каждая пара кругов имеет два центра гомотетики, всего получается шесть центров гомотетики . Гаспар Монж показал в начале 19 века, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, каждая из которых имеет три коллинеарных точки.

Проблема Аполлония

Анимация, показывающая обратное преобразование задачи Аполлония. Синий и красный круги расширяются до касания и перевернуты в сером круге, образуя две прямые линии. Желтые решения можно найти, перемещая круг между ними, пока он не коснется преобразованного зеленого круга изнутри или снаружи.

Многие частные случаи проблемы Аполлония включают поиск окружности, касающейся одной или нескольких прямых. Самый простой из них - построить окружности, касающиеся трех заданных прямых ( проблема LLL ). Чтобы решить эту проблему, центр любого такого круга должен лежать на биссектрисе любой пары прямых; на каждое пересечение двух прямых приходится две линии, разделенные биссектрисами. Пересечения этих биссектрис углов дают центры окружностей решений. Всего таких кругов четыре: вписанный круг треугольника, образованный пересечением трех линий, и три выписанных круга.

Общая проблема Аполлония может быть преобразована в более простую задачу об окружности, касающейся одной окружности и двух параллельных прямых (которая сама по себе является частным случаем частного случая LLC ). Для этого достаточно масштабировать две из трех окружностей, пока они не коснутся, т.е. не станут касательными. Инверсии в их касательной точке относительно окружности соответствующих радиусов трансформируют два соприкасающихся данные окружностей на две параллельные линии, а третий круг дан в другой круг. Таким образом, решения могут быть найдены путем скольжения круга постоянного радиуса между двумя параллельными линиями до тех пор, пока он не соприкоснется с преобразованным третьим кругом. Повторное обращение дает соответствующие решения исходной проблемы.

Обобщения

Понятие касательной линии и точки касания может быть обобщено на полюсную точку Q и соответствующую ей полярную линию q . Точки P и Q являются обратными друг другу относительно окружности.

Понятие касательной к одной или нескольким окружностям можно обобщить несколькими способами. Во-первых, сопряженная связь между точками касания и касательными линиями может быть обобщена на полюсные точки и полярные линии , в которых полюсные точки могут находиться где угодно, а не только на окружности круга. Во-вторых, объединение двух окружностей является частным ( приводимым ) случаем плоской кривой четвертой степени , а внешняя и внутренняя касательные линии являются битовыми касательными к этой кривой четвертой степени. Кривая общей квартики имеет 28 касательных к битам.

Третье обобщение рассматривает касательные окружности, а не касательные линии; касательную линию можно рассматривать как касательную окружность бесконечного радиуса. В частности, внешние касательные к двум окружностям являются предельными случаями семейства окружностей, которые касаются изнутри или снаружи к обеим окружностям, в то время как внутренние касательные линии являются предельными случаями семейства окружностей, которые касаются изнутри одной и касаются снаружи. к другому из двух кругов.

В Мёбиусе или инверсивной геометрии линии рассматриваются как окружности, проходящие через точку «на бесконечности», и для любой линии и любого круга существует преобразование Мёбиуса, которое отображает одну в другую. В геометрии Мёбиуса касание между прямой и окружностью становится частным случаем касания между двумя окружностями. Эта эквивалентность получила дальнейшее распространение в геометрии сферы Ли .

Радиус и касательная перпендикулярны в точке окружности и гиперболо-ортогональны в точке единичной гиперболы . Параметрическое представлением единичной гиперболы через радиус - вектор является производной от р ( ) точки в направлении касательной линии на р ( ), и является радиус и касательной гиперболические ортогональными в , так как являются отражениями друг друга в асимптота y = x единичной гиперболы. При интерпретации как разделенные комплексные числа (где jj = +1) эти два числа удовлетворяют ${\ displaystyle p (a) \ = \ (\ cosh a, \ sinh a).}$ ${\ displaystyle {\ frac {dp} {da}} \ = \ (\ sinh a, \ cosh a).}$ ${\ displaystyle p (a) \ {\ text {and}} \ {\ frac {dp} {da}}}$ ${\ displaystyle jp (a) \ = \ {\ frac {dp} {da}}.}$

Languages

In other projects