Вписанная и вневписанная окружности треугольника - Incircle and excircles of a triangle

А    треугольник с    incircle , Incenter ( ),    Вневписанная, центры вневписанных окружностей ( , , ),    биссектрисы внутреннего угла и    биссектрисы внешнего угла. В    зеленый треугольник - эксцентральный треугольник.

В геометрии , то вписанная или вписанная окружность из треугольника является самым большим кругом , содержащийся в треугольнике; он касается ( касается ) трех сторон. Центр вписанной является треугольник центр под названием треугольника вписанной .

Вневписанная или вневписанной окружности треугольника представляет собой окружность , лежащая вне треугольника, касательной к одной из его сторон и касательной к продолжений двух других . В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.

Центр вписанной окружности, называемый центром , находится на пересечении трех биссектрис внутреннего угла . Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (например, в вершине ) и внешних биссектрис двух других. Центр этого вневписанное называется эксцентрик относительно вершины , или эксцентриком из . Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему .

Все правильные многоугольники имеют касательные со всех сторон вписанные окружности, но не все многоугольники; те, что есть, являются касательными многоугольниками . См. Также Касательные линии к окружностям .

Окружность и инцентр

Предположим, есть вписанная окружность с радиусом и центром . Позвольте быть длиной , длиной и длиной . Также позвольте , и быть точками касания , где вписанная окружность касается , и .

Incenter

Вписанной является точкой , в которой внутренний угле биссектриса из соревнований.

Расстояние от вершины до инцентратора :

Трилинейные координаты

Эти координаты трилинейных для точки в треугольнике есть отношение всех расстояний до сторон треугольника. Поскольку центр центра находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты центра центра равны

Барицентрические координаты

В барицентрических координатах для точки в треугольнике Дайте весы таким образом, что точка является взвешенным средним позиций треугольника вершин. Барицентрические координаты инцентратора определяются выражением

где , и - длины сторон треугольника, или, что то же самое (с использованием закона синусов ):

где , и - углы при трех вершинах.

Декартовы координаты

В декартовы координаты из вписанной представляют собой взвешенное среднее значение координат вершин с использованием трех длины сторон треугольника по отношению к периметру (то есть, используя барицентрические координаты , приведенные выше, нормированные на сумму к единице) в качестве весов. Веса положительны, так что центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в , и , и стороны напротив этих вершин имеют соответствующие длины , и , затем , вписанной находится

Радиус

Inradius вписанной в треугольник со сторонами длиной , , задается

где

См . Формулу Герона .

Расстояния до вершин

Обозначая центр центра как , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению

Дополнительно,

где и - радиус описанной окружности и внутренний радиус треугольника соответственно.

Другие свойства

Совокупность центров треугольников может быть задана структурой группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе стимулятор образует элемент идентичности .

Вписанная окружность и ее свойства радиуса

Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания

Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны; например:

Другие свойства

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на длины и , и , и и . Тогда вписанная окружность имеет радиус

а площадь треугольника равна

Если абсолютные высоты от длины сторон , и являются , , и , затем inradius одна треть гармонических среднего этих высот; то есть,

Произведение радиуса вписанной и окружность радиуса треугольника со сторонами , и является

Некоторые отношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности:

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). Их может быть один, два или три для любого данного треугольника.

Обозначая центр вписанной окружности как , имеем

и

Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот.

Квадрат расстояния от центра до центра описанной окружности равен

,

и расстояние от вписанной в центр на девять точки окружности является

Центр находится в среднем треугольнике (вершины которого являются серединами сторон).

Отношение к площади треугольника

Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , при этом равенство сохраняется только для равносторонних треугольников .

Предположим, есть вписанная окружность с радиусом и центром . Позвольте быть длиной , длиной и длиной . Теперь вписанная окружность касается в какой-то точке , а значит, и права. Таким образом, радиус является высота из . Следовательно, имеет базовую длину и высоту , а также площадь . Точно так же имеет площадь и площадь . Поскольку эти три треугольника распадаются , мы видим, что площадь равна:

     и     

где есть площадь и является его -полупериметром .

Для альтернативной формулы рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна, а другая равна . То же верно и для . Большой треугольник состоит из шести таких треугольников общей площадью:

Треугольник Жергонна и точка

Треугольник , с    вписанный круг    Incenter ( ),    контактный треугольник ( ) и    Точка Жергонна ( )

Gergonne треугольник (из ) определяются три из точек соприкосновения вписанных на трех сторонах. Обозначается противоположная точка касания и т. Д.

Этот треугольник Gergonne, , также известная как контактный треугольник или Intouch треугольник из . Его площадь

где , и являются областью, радиус вписанной и -полупериметр исходного треугольника, а , и побочные длины исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника касания .

Три линии , и пересекаются в одной точке называются Gergonne точки , обозначаются как (или треугольник центр X 7 ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в ​​нем.

Точка Жергонна треугольника обладает рядом свойств, в том числе то, что это симедианная точка треугольника Жергонна.

Трехлинейные координаты вершин сенсорного треугольника имеют вид

Трехлинейные координаты точки Жергонна задаются выражением

или, что то же самое, по закону синуса ,

Excircles и excenters

А    треугольник с    incircle , Incenter ),    Вневписанная, центры вневписанных окружностей ( , , ),    биссектрисы внутреннего угла и    биссектрисы внешнего угла. В    зеленый треугольник - эксцентральный треугольник.

Вневписанная или вневписанной окружности треугольника представляет собой окружность , лежащая вне треугольника, касательной к одной из его сторон и касательной к продолжений двух других . В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.

Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (например, в вершине ) и внешних биссектрис двух других. Центр этого вневписанное называется эксцентрик относительно вершины , или эксцентриком из . Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, отсюда следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему .

Трилинейные координаты эксцентров

В то время как вписанные в имеют трилинейные координаты , эксцентрики имеют trilinears , и .

Exradii

Радиусы вневписанных окружностей называются эксрадиусами .

Экстрадиус вневписанной окружности напротив (так касаясь , с центром в ) равен

где

См . Формулу Герона .

Вывод формулы exradii

Нажмите « Показать», чтобы просмотреть содержимое этого раздела.

Пусть вневписанная окружность соприкасается со стороной, продолженной на , и пусть радиус этой вневписанной окружности равен, а ее центр равен .

Тогда это высота , значит, и площадь . По аналогичному аргументу имеет площадь и имеет площадь . Таким образом, площадь треугольника равна

.

Итак, по симметрии, обозначив радиус вписанной окружности,

.

По закону косинусов мы имеем

Объединяя это с тождеством , мы имеем

Но и так

что является формулой Герона .

В сочетании с этим мы имеем

Аналогично дает

и

Другие свойства

Из приведенных выше формул видно, что вневписанная окружность всегда больше, чем вписанная, и что наибольшая вневписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вневписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает:

Другие свойства вневписанной окружности

Круглая оболочка вневписанных окружностей внутренне касается каждой из вневписанных окружностей и, таким образом, является окружностью Аполлония . Радиус этой окружности Аполлония находится где радиус вписанной и является -полупериметр треугольника.

Имеют место следующие соотношения между inradius , то описанной окружности , -полупериметр и вневписанная радиусы , , :

Окружность, проходящая через центры трех вневписанных окружностей, имеет радиус .

Если это ортоцентр из , то

Треугольник Нагеля и точка Нагеля

В    нажмите треугольник ( ) и    Точка Нагеля ( )    треугольник ( ). Оранжевые кружки - это вневписанные окружности треугольника.

Nagel треугольник или extouch треугольник из обозначаются через вершину , и что эти три точек , где вневписанные окружности коснуться ссылками и где находятся противоположное , и т.д. Это также известно как extouch треугольника из . Окружность из extouch называется круг Mandart .

Три линии , и называются разветвители треугольника; каждая из них делит пополам периметр треугольника,

Разделители пересекаются в одной точке - точке Нагеля треугольника (или центре треугольника X 8 ).

Трехлинейные координаты вершин внешнего касания треугольника имеют вид

Трехлинейные координаты точки Нагеля определяются выражением

или, что то же самое, по закону синуса ,

Точка Нагеля является изотомически сопряженной точкой Жергонна.

Связанные конструкции

Девятиточный круг и точка Фейербаха

Окружность из девяти точек касается вписанной и вневписанной окружностей.

В геометрии круг из девяти точек - это круг, который можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять важных точек пересечения, определяемых треугольником. Вот эти девять пунктов :

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность любого треугольника с девятью точками касается снаружи трех вневписанных окружностей этого треугольника и внутренне касается его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основание высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... ( Фейербах 1822 )

Центр треугольника, в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .

Внутренний и эксцентральный треугольники

Точки пересечения внутреннего угла биссектрис с сегментами , , и являются вершинами incentral треугольника . Трехлинейные координаты вершин центрального треугольника задаются выражением

Excentral треугольник опорного треугольника имеет вершины в центрах Вневписанных эталонного треугольника. Его стороны на внешний угол биссектрис опорного треугольника (смотри рисунок в верхней части страницы ). Трилинейные координаты вершин эксцентрального треугольника имеют вид

Уравнения для четырех кругов

Пусть будет переменная точка в координатах трилинейных , и пусть , , . Четыре круга, описанные выше, эквивалентны любому из двух приведенных уравнений:

  • Вокруг:
  • - внеокружность:
  • - внеокружность:
  • - внеокружность:

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:

где и - радиус описанной окружности и внутренний радиус, соответственно, и - расстояние между центром описанной окружности и центром.

Для вневписанных кругов уравнение аналогично:

где - радиус одной из вневписанных окружностей, а - расстояние между центром описанной окружности и центром этой вневписанной окружности.

Обобщение на другие полигоны

Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Эти четырехугольники называются касательными . Среди множества их свойств, пожалуй, наиболее важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито .

В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, который имеет вписанную окружность (то есть ту, которая касается каждой стороны), называется касательным многоугольником .

Смотрите также

Ноты

Рекомендации

  • Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN   52013504
  • Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN   69012075
  • Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
  • Поцелуй, Шандор (2006). «Ортопедические и интуитивно понятные треугольники». Форум Geometricorum (6): 171–177.

внешние ссылки

Интерактивный