Лемма Гаусса (многочлены) - Gauss's lemma (polynomials)

В алгебре , лемма Гаусса , названный в честь Карла Фридриха Гаусса , является утверждение о полиномами над целыми числами , или, в более общем плане , по области уникальной факторизации (то есть кольцо , которое имеет уникальную факторизационную свойство , аналогичную основной теоремы арифметики ). Лемма Гаусса лежит в основе всей теории факторизации и наибольших общих делителей таких многочленов .

Лемма Гаусса утверждает, что произведение двух примитивных многочленов является примитивным (многочлен с целыми коэффициентами является примитивным, если он имеет 1 в качестве наибольшего общего делителя его коэффициентов).

Следствие леммы Гаусса, иногда называемое также леммой Гаусса , является то , что примитивный многочлен неприводит над целыми числами тогда и только тогда , когда оно является неприводимым над рациональными числами . В более общем смысле, примитивный многочлен имеет одинаковую полную факторизацию по целым и рациональным числам. В случае коэффициентов в уникальной области факторизации R , «рациональные числа» следует заменить на « поле фракций из R ». Это означает, что если R является либо полем , либо кольцом целых чисел, либо уникальной областью факторизации, то каждое кольцо полиномов (в одном или нескольких неопределенных) над R является уникальной областью факторизации. Другое следствие состоит в том, что факторизация и вычисление наибольшего общего делителя многочленов с целыми числами или рациональными коэффициентами могут быть сведены к аналогичным вычислениям над целыми числами и примитивными многочленами. Это систематически используется (явно или неявно) во всех реализованных алгоритмах (см. Наибольший общий делитель полинома и Факторизация полиномов ).

Лемма Гаусса и все ее следствия, не связанные с существованием полной факторизации, остаются верными для любой области НОД ( области целостности, в которой существуют наибольшие общие делители). В частности, кольцо многочленов над областью НОД также является областью НОД. Если назвать примитивным многочлен такой, что коэффициенты порождают единичный идеал , лемма Гаусса верна для любого коммутативного кольца . Однако при использовании этого определения примитива необходимо соблюдать некоторую осторожность , поскольку в уникальной области факторизации, которая не является основной идеальной областью , есть многочлены, которые являются примитивными в указанном выше смысле и не примитивными в этом новом смысле.

Лемма о целых числах

Если - многочлен с целыми коэффициентами, то он называется примитивным, если наибольший общий делитель всех коэффициентов равен 1; другими словами, никакое простое число не делит все коэффициенты. ${\ Displaystyle F (X) = a_ {0} + a_ {1} X + \ точки + a_ {n} X ^ {n}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$

Доказательство: очевидно, что произведение f ( x ) g ( x ) двух примитивных многочленов имеет целые коэффициенты. Следовательно, если оно не является примитивным, должно быть простое число p, являющееся общим делителем всех его коэффициентов. Но p не может делить все коэффициенты ни f ( x ), ни g ( x ) (иначе они не были бы примитивными). Пусть a _r  x ^r будет первым членом f ( x ), не делимым на p, и пусть b _s  x ^s будет первым членом g ( x ), не делимым на p . Теперь рассмотрим член x ^{r + s} в произведении, коэффициент которого равен 

${\ displaystyle a_ {r} b_ {s} + a_ {r + 1} b_ {s-1} + a_ {r + 2} b_ {s-2} + \ cdots + a_ {r-1} b_ {s +1} + a_ {r-2} b_ {s + 2} + \ cdots.}$

Первый член не делится на p (поскольку p простое число), но все остальные делятся, поэтому вся сумма не может делиться на p . По предположению все коэффициенты в произведении делятся на p , что приводит к противоречию. Следовательно, коэффициенты произведения не могут иметь общего делителя и поэтому являются примитивными.${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство для более общего случая приводится ниже. Обратите внимание , что неприводимый элемент из Z (простое число) , по - прежнему неприводимым , когда рассматривается как постоянный полином в Z [ X ]; это объясняет необходимость использования «непостоянства» в заявлении.

Утверждения для уникальных доменов факторизации

Лемма Гаусса верна в более общем случае для произвольных уникальных областей факторизации . Здесь содержание c ( P ) многочлена P может быть определено как наибольший общий делитель коэффициентов P (как и gcd, содержание фактически является набором ассоциированных элементов ). Полином Р с коэффициентами в УФО затем называется примитивными , если только элементы R , которые делят все коэффициенты Р сразу являются обратимыми элементами из R ; т.е. gcd коэффициентов равен единице.

Утверждение примитивности: если R - UFD, то множество примитивных многочленов в R [ X ] замкнуто относительно умножения. В более общем смысле, содержание произведения многочленов является продуктом их индивидуального содержания. ${\ displaystyle fg}$${\ Displaystyle с (е) с (г)}$

Утверждение о неприводимости: пусть R - единственная область факторизации, а F - ее поле дробей . Непостоянный многочлен по неприводим по тогда и только тогда, когда он одновременно неприводим по и примитивен по . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle R [x]}$

(Доказательства см. Ниже # Общая версия .)

Пусть - единственная факторизационная область с полем дробей . Если является полиномом над, то для некоторого in , имеет коэффициенты в , и поэтому, вычеркивая НОД коэффициентов, мы можем написать для некоторого примитивного полинома . Как можно проверить, этот многочлен уникален с точностью до умножения на единицу и называется примитивной частью (или примитивным представителем ) и обозначается . Процедура совместима с продуктом: . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f \ in F [x]}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle df = qf '}$${\ displaystyle f '\ in R [x]}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {pp} (f)}$${\ displaystyle \ operatorname {pp} (fg) = \ operatorname {pp} (f) \ operatorname {pp} (g)}$

Конструкцию можно использовать для отображения оператора:

• Кольцо многочленов над UFD - это UFD.

Действительно, по индукции достаточно показать UFD, когда UFD. Позвольте быть ненулевым многочленом. Теперь это уникальная область факторизации (поскольку она является областью главных идеалов) и, таким образом, как полином от , может быть факторизована как: ${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \ in R [x]}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f = g_ {1} g_ {2} \ dots g_ {r}}$

где - неприводимые многочлены от . Теперь мы пишем для НОД коэффициентов (и является примитивной частью), а затем: ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle f = cf '}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f '}$

${\ displaystyle f = cf '= c \ operatorname {pp} (g_ {1}) \ operatorname {pp} (g_ {2}) \ cdots \ operatorname {pp} (g_ {r}).}$

Теперь, является продукт простых элементов из (так как это УФО) и простого элемента является простым элементом , а является областью целостности. Следовательно, допускает факторизацию на простые множители (или единственную факторизацию на неприводимые). Затем обратите внимание, что это уникальная факторизация на неприводимые элементы , поскольку (1) каждый из них неприводим с помощью утверждения о неприводимости и (2) он уникален, поскольку факторизация также может рассматриваться как факторизация, а факторизация здесь уникальна. Поскольку и однозначно определяются элементами с точностью до единицы, указанная выше факторизация является уникальной факторизацией на неприводимые элементы.${\ displaystyle c}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [x]}$${\ Displaystyle р [х] / (р) \ конг р / (р) [х]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f '= \ operatorname {pp} (g_ {1}) \ cdots \ operatorname {pp} (g_ {r})}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle \ operatorname {pp} (g_ {i})}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Условие, что « R - уникальная область факторизации» не является лишним, поскольку оно подразумевает, что каждый неприводимый элемент этого кольца также является простым элементом , что, в свою очередь, означает, что каждый ненулевой элемент R имеет не более одной факторизации в произведение неприводимых элементов и единицы до упорядоченного и ассоциированного отношения. В кольце, где факторизация не уникальна, скажем, pa = qb с p и q неприводимыми элементами, которые не делят ни один из множителей на другой стороне, произведение ( p + qX ) ( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q ² X ² = q ( b + ( p + a ) X + qX ² ) показывает несостоятельность утверждения о примитивности. В качестве конкретного примера можно взять R = Z [ i √5] , p = 1 + i √5 , a = 1 - i √5 , q = 2 , b = 3 . В этом примере многочлен 3 + 2 X + 2 X ² (полученный делением правой части на q = 2 ) представляет собой пример отказа утверждения о неприводимости (он неприводим над R , но приводим над своим полем дробей Q [ i √5] ). Другой известный пример - многочлен X ² - X - 1 , корнями которого являются золотое сечение φ = (1 + √5) / 2 и его сопряженное (1 - √5) / 2, показывающее, что он приводим над полем Q [√5] , хотя оно неприводимо над не-UFD Z [√5], которое имеет Q [√5] как поле дробей. В последнем примере кольцо можно превратить в UFD, взяв его целое замыкание Z [φ] в Q [√5] (кольцо целых чисел Дирихле), над которым X ² - X - 1 становится приводимым, но в первом пример R уже целиком замкнут.

Общая версия

Позвольте быть коммутативным кольцом. Если - многочлен от , то мы пишем для идеала от, порожденного всеми коэффициентами ; это называется содержанием . Обратите внимание, что для каждого в . Следующее предложение констатирует более существенное свойство. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle \ OperatorName {продолжение} (е)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (af) = a \ operatorname {cont} (f)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle R}$

Многочлен называется примитивным, если он является единичным идеалом . Когда (или, в более общем смысле, когда это область Безу ), это согласуется с обычным определением примитивного многочлена. (Но если это только UFD, это определение несовместимо с определением примитивности в #Statements для уникальных доменов факторизации .) ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ OperatorName {продолжение} (е)}$${\ displaystyle (1)}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Доказательство: Это легко , используя тот факт , что подразумевает${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = (1)}$${\ displaystyle I = (1).}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство: ( ) Сначала отметим, что НОД коэффициентов равен 1, так как в противном случае мы можем вынести некоторый элемент из коэффициентов для записи , что противоречит неприводимости . Далее, предположим , что для некоторых непостоянных полиномов в . Затем для некоторых многочлен имеет коэффициенты в, и поэтому, вычитая НОД коэффициентов, мы пишем . Сделайте то же самое, и мы можем написать для некоторых . Теперь позвольте немного . Тогда . Отсюда, используя предложение, получаем: ${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c \ in R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = cf '}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = gh}$${\ displaystyle g, h}$${\ Displaystyle F [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ displaystyle d \ in R}$${\ displaystyle dg}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle dg = qg '}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f = cg'h '}$${\ displaystyle c \ in F}$${\ displaystyle c = a / b}$${\ displaystyle a, b \ in R}$${\ displaystyle bf = ag'h '}$

${\ displaystyle (b) \ supset \ operatorname {gcd} (\ operatorname {cont} (bf)) = (a)}$.

То есть делит . Таким образом, факторизация составляет противоречие с неприводимостью . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c \ in R}$${\ displaystyle f = cg'h '}$${\ displaystyle f}$

( ) Если неприводимо над , то либо неприводимо над, либо содержит в качестве множителя постоянный многочлен, вторая возможность исключена предположением.${\ displaystyle \ Leftarrow}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство предложения: Ясно, что . Если - простой идеал, содержащий , то по модулю . Поскольку является кольцом многочленов над областью целостности и, следовательно, является областью целостности, отсюда следует либо, либо по модулю . Следовательно, либо или содержится в . Поскольку это пересечение всех простых идеалов, содержащих и выбор был произвольным, . ${\ displaystyle \ operatorname {cont} (fg) \ subset \ operatorname {cont} (f) \ operatorname {cont} (g)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (fg)}$${\ Displaystyle FG \ EQUIV 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle е \ экв 0}$${\ Displaystyle г \ экв 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {продолжение} (е)}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (g)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ operatorname {cont} (fg)}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (fg)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (f) \ operatorname {cont} (g) \ subset {\ sqrt {\ operatorname {cont} (fg)}}}$

Теперь докажем часть «более того». Вынося за скобки НОД из коэффициентов, мы можем написать и где НОД коэффициентов равны 1. Ясно, что достаточно доказать утверждение, когда заменены на ; таким образом, мы предполагаем, что оба НОД коэффициентов равны 1. Остальная часть доказательства проста и прозрачна, если это уникальная область факторизации; таким образом, мы приводим здесь доказательство для этого случая (и см. доказательство для случая НОД). Если , то доказывать нечего. Итак, предположим иначе; тогда есть неединичный элемент, делящий коэффициенты . Факторизуя этот элемент в произведении простых элементов, мы можем принять этот элемент как простой элемент . Теперь у нас есть: ${\ displaystyle f = af '}$${\ displaystyle g = bg '}$${\ displaystyle f ', g'}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle f ', g'}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ gcd (\ operatorname {cont} (fg)) = (1)}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle (\ pi) = {\ sqrt {(\ pi)}} \ supset {\ sqrt {\ operatorname {cont} (fg)}} \ supset \ operatorname {cont} (f) \ operatorname {cont} ( г)}$.

Таким образом, либо содержит, либо ; что противоречит НОД коэффициентов , оба равны 1.${\ Displaystyle (\ пи)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {продолжение} (е)}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (g)}$${\ displaystyle f, g}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

• Примечание . В области НОД (например, в области уникальной факторизации) НОД всех коэффициентов многочлена , уникальных с точностью до единичных элементов, также называется содержанием .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Приложения

Из леммы Гаусса следует, что для каждой уникальной области факторизации кольцо полиномов также является уникальной областью факторизации (см. # Заявления для уникальных областей факторизации ). Лемма Гаусса также может быть использована для доказательства критерия неприводимости Эйзенштейна . Наконец, его можно использовать, чтобы показать, что циклотомические многочлены (унитарные единицы с целыми коэффициентами) неприводимы. ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}]}$

Из леммы Гаусса следует следующее утверждение.

• Если это унитарный многочлен от одной переменной с коэффициентами в однозначным разложением на множители (или в более общем домене GCD), то есть корень , который находится в области фракций из в .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Если , то он говорит, что рациональный корень монического многочлена над целыми числами является целым числом (см. Теорему о рациональном корне ). Чтобы увидеть утверждение, позвольте быть корнем от in и предположить, что они взаимно просты . В можно написать с для некоторых . Затем ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle a / b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle f = (xa / b) g}$${\ displaystyle cg \ in R [x]}$${\ displaystyle c \ in R}$

${\ displaystyle cbf = (bx-a) cg}$

это факторизация в . Но является примитивным (в смысле UFD) и, таким образом, делит коэффициенты по лемме Гаусса, и поэтому ${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle bx-a}$${\ displaystyle cb}$${\ displaystyle cg}$

${\ displaystyle f = (bx-a) h}$

с в . Поскольку это monic, это возможно только когда это единица. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b}$

Аналогичный аргумент показывает:

• Пусть - область НОД с полем дробей и . Если для некоторого примитивного в смысле УФО полинома и , то .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f \ in R [x]}$${\ displaystyle f = gh}$${\ displaystyle g \ in R [x]}$${\ displaystyle h \ in F [x]}$${\ displaystyle h \ in R [x]}$

Утверждение о неприводимости также означает, что минимальный многочлен по рациональным числам целого алгебраического числа имеет целые коэффициенты.

Примечания и ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960 , ISBN  978-0-387-94269-8