Четыре четверки - Four fours

Четыре четверки - это математическая головоломка . Цель четырех четверок - найти простейшее математическое выражение для каждого целого числа от 0 до некоторого максимума, используя только общие математические символы и цифру четыре (другие цифры недопустимы). Большинство версий четырех четверок требуют, чтобы каждое выражение имело ровно четыре четверки, но некоторые варианты требуют, чтобы каждое выражение имело минимальное количество четверок. Эта игра требует навыков и математических рассуждений.

Первое печатное упоминание конкретной проблемы четырех четверок было в « Знании: иллюстрированный журнал науки» в 1881 году. Аналогичная задача, связанная с упорядочением четырех одинаковых цифр, равных определенной сумме, была дана в популярном учебнике Томаса Дилворта 1734 года «Помощник школьного учителя, будучи учеником». Сборник арифметики как практической, так и теоретической .

У. В. Рауз Болл описал это в 6-м издании (1914 г.) своих « Математических развлечений и эссе» . В этой книге он описан как «традиционный отдых».

Правила

Есть много вариаций четырех четверок; их основное различие в том, какие математические символы разрешены. По сути, все варианты допускают как минимум сложение («+»), вычитание («-»), умножение («×»), деление («÷») и круглые скобки , а также конкатенацию (например, разрешено «44»). . Большинство из них также допускают операции факториала («!»), Возведения в степень (например, «44 ⁴ »), десятичной точки («.») И вычисления квадратного корня («√»). Другие операции, разрешенные некоторыми вариациями, включают обратную функцию ("1 / x"), субфакторную ("!" Перед числом:! 4 равно 9), верхнюю черту (бесконечно повторяющуюся цифру), произвольный корень, квадратную функцию (" sqr "), кубическая функция (" куб "), кубический корень , гамма-функция (Γ (), где Γ ( x ) = ( x - 1)!) и процент ("% "). Таким образом

${\ Displaystyle 4 \% = 0,04}$

${\ displaystyle sqr (4) = 16}$

${\ displaystyle cube (4) = 64}$

${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$

${\ displaystyle 4! = 24}$

${\ Displaystyle \ Gamma (4) = 6}$

${\ displaystyle! 4 = 9}$

${\ displaystyle 4 '= {\ frac {1} {4}} = 0,25}$

${\ Displaystyle .4 = 0,4 = {\ гидроразрыва {4} {10}} = {\ гидроразрыва {2} {5}}}$

${\ displaystyle 4.4 = 4 {\ frac {2} {5}}}$

${\ displaystyle. {\ overline {4}} =. 4444 ... = {\ frac {4} {9}}}$

и т.п.

Обычно в этой задаче надчеркивание используется для этого значения:

{\ displaystyle. {\ overline {4}} =. 4444 ... = {\ frac {4} {9}}}

Обычно операторы журнала или функция-преемник не допускаются, поскольку есть способ тривиально создать любое число, используя их. Это работает, замечая 3 вещи:

1) вы можете многократно извлекать квадратные корни без дополнительных четырех

2) квадратный корень можно также записать как показатель степени (^ (1/2))

3) экспоненты имеют обратные логарифмы.

{\ displaystyle \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} _ {n} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

Записав в этой форме повторяющийся квадратный корень, мы можем выделить n, то есть количество квадратных корней !:

{\ Displaystyle 4 ^ {(1/2) ^ {п}}}

мы можем изолировать оба показателя, используя логарифмическую базу 4

{\ displaystyle \ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

мы можем думать об этом логарифмическом основании 4 как о вопросе - «4 в какой степени дает мне 4 в половинной степени в n?»

{\ displaystyle 4 ^ {x} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

так что теперь у нас осталось:

{\ Displaystyle (1/2) ^ {п}}

и теперь мы можем сделать то же самое, чтобы изолировать показатель степени n:

{\ Displaystyle п = \ журнал _ {(1/2)} (1/2) ^ {п}}

Итак, собираем все вместе:

{\ Displaystyle п = \ журнал _ {(1/2)} \ журнал _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {п}}}

Теперь мы можем переписать основание (1/2), используя только 4, и показатель степени (1/2) обратно в квадратный корень:

{\ displaystyle n = \ log _ {{\ sqrt {4}} / 4} \ log _ {4} \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} _ {n} }

Мы использовали четыре четверки, и теперь количество квадратных корней, которые мы добавляем, равно любому числу, которое мы хотим получить!

Пол Бурк приписывает Бену Рудьяку-Гулду другое описание того, как четыре четверки могут быть решены с использованием натуральных логарифмов (ln (n)) для представления любого положительного целого числа n как:

{\ displaystyle n = - {\ sqrt {4}} {\ frac {\ ln \ left [\ left (\ ln \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}}} _ { n} \ right) / \ ln 4 \ right]} {\ ln {4}}}}

Дополнительные варианты (обычно больше не называемые «четыре четверки») заменяют набор цифр («4, 4, 4, 4») другим набором цифр, например, года рождения кого-то. Например, вариант, использующий «1975», потребует, чтобы каждое выражение использовало одну 1, одну 9, одну 7 и одну 5.

Решения

Вот набор из четырех четверок для чисел от 0 до 32 с использованием типичных правил. Здесь перечислены некоторые альтернативные решения, хотя на самом деле существует гораздо больше правильных решений. Синим цветом выделены записи, в которых используются четыре целых числа 4 (а не четыре цифры 4) и основные арифметические операции . Числа без синих записей не имеют решения при этих ограничениях. Кроме того, курсивом выделены решения, в которых повторяются операторы.

 0  =  4 ÷ 4 × 4 − 4  =   44 − 44
 1  =  4 ÷ 4 + 4 − 4  =   44 ÷ 44
 2  =  4 −(4 + 4)÷ 4  =  (44 + 4)÷ 4!
 3  = (4 × 4 − 4)÷ 4  =  (4 + 4 + 4)÷ 4
 4  =  4 + 4 ×(4 − 4) =  −44 + 4!+ 4!
 5  = (4 × 4 + 4)÷ 4  =  (44 − 4!)÷ 4
 6  = (4 + 4)÷ 4 + 4  =   4.4 + 4 ×.4
 7  =  4 + 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4 − 4
 8  =  4 ÷ 4 × 4 + 4  =   4.4 −.4 + 4
 9  =  4 ÷ 4 + 4 + 4  =   44 ÷ 4 −√4
10  = (4 + 4 + 4)−√4  =  (44 − 4)÷ 4
11  = (4!×√4 − 4)÷ 4  =  √4 ×(4!−√4)÷ 4
12  =  4 ×(4 − 4 ÷ 4) =  (44 + 4)÷ 4
13  = (4!×√4 + 4)÷ 4  =  (4 −.4)÷.4 + 4
14  =  4 × 4 − 4 ÷√4  =   4 ×(√4 +√4)−√4
15  =  4 × 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4 + 4
16  =  4 × 4 + 4 − 4  =  (44 − 4)×.4
17  =  4 × 4 + 4 ÷ 4  =  (44 + 4!)÷ 4
18  =  4 × 4 + 4 −√4  =  (44 ÷√4) − 4
19  =  4!−(4 + 4 ÷ 4) =  (4 + 4 −.4)÷.4 
20  =  4 ×(4 ÷ 4 + 4) =  (44 − 4)÷√4
21  =  4!− 4 + 4 ÷ 4  =  (44 −√4)÷√4
22  =  4!÷ 4 + 4 × 4  =   44 ÷(4 −√4)
23  =  4!+ 4 ÷ 4 −√4  =  (44 +√4)÷√4
24  =  4 × 4 + 4 + 4  =  (44 + 4)÷√4
25  =  4!− 4 ÷ 4 +√4  =  (4 + 4 +√4)÷.4
26  =  4!+√4 + 4 - 4
27  =  4!+√4 +(4 ÷ 4)
28  = (4 + 4)× 4 − 4  =   4!+ 4 + 4 - 4
29  =  4!+ 4 +(4 ÷ 4)
30  =  4!+ 4 + 4 -√4
31  =  4!+(4!+ 4)÷ 4
32  =  4 × 4 + 4 × 4

Есть также много других способов найти ответ на все эти вопросы.

Обратите внимание, что числа со значениями меньше единицы обычно не пишутся с нулем в начале. Например, «0,4» обычно записывается как «.4». Это потому, что «0» - это цифра, и в этой головоломке может использоваться только цифра «4».

У данного числа обычно есть несколько возможных решений; приемлемо любое решение, соответствующее правилам. Некоторые варианты предпочитают «наименьшее» количество операций или предпочитают одни операции другим. Другие просто предпочитают «интересные» решения, т. Е. Неожиданный способ достижения цели.

Определенные числа, такие как 113, особенно сложно решить по обычным правилам. Для 113, предлагает Уиллер . Нестандартным решением является , где 4 '- это мультипликатив, обратный 4. (т.е. ) Другое возможное решение: где и представляют 10-й и 127-й мультифакториалы соответственно и должны технически обозначаться таким количеством восклицательных знаков, чтобы придерживаться правил. проблемы. ${\ displaystyle \ Gamma (\ Gamma (4)) - {\ гидроразрыва {4! +4} {4}}}$ ${\ Displaystyle 4 (4! + 4 + 4 ')}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {((4!)! _ {10})! _ {127}} {(4!)! _ {10}}}}$ ${\ displaystyle! _ {10}}$ ${\ displaystyle! _ {127}}$

Использование процента («%») допускает решения для гораздо большей части чисел; например, 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

Число 157 можно решить с помощью гамма-функции , одно из возможных решений - . ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (4)! + 4} {4}} - 4!}$

Алгоритмика задачи

Эта проблема и ее обобщения (например, проблема пяти пятерок и шести шестерок, обе показаны ниже) могут быть решены с помощью простого алгоритма. Основные ингредиенты - это хеш-таблицы, которые отображают рациональные числа в строки. В этих таблицах ключи представляют собой числа, представленные некоторой допустимой комбинацией операторов и выбранной цифрой d , например четыре, а значения представляют собой строки, содержащие фактическую формулу. Для каждого числа n вхождений d существует одна таблица . Например, когда d = 4 , хеш-таблица для двух вхождений d будет содержать пару ключ-значение 8 и 4 + 4 , а одна для трех вхождений, пара ключ-значение 2 и (4 + 4) / 4. (строки выделены жирным шрифтом).

Затем задача сводится к рекурсивному вычислению этих хеш-таблиц для увеличения n , начиная с n = 1 и продолжая, например, до n = 4. Таблицы для n = 1 и n = 2 являются особенными, потому что они содержат примитивные записи, которые не являются комбинацией других, меньших формул, и, следовательно, они должны быть правильно инициализированы, например (для n = 1 )

       T[4]    := "4";
       T[4/10] := ".4";
       T[4/9]  := ".4...";

а также

        T[44] := "44";.

(для n = 2 ). Теперь есть два способа, которыми могут возникать новые записи: либо как комбинация существующих с помощью бинарного оператора, либо с применением операторов факториала или извлечения квадратного корня (которые не используют дополнительные экземпляры d ). Первый случай обрабатывается путем перебора всех пар подвыражений, в которых используется всего n экземпляров d . Например, когда n = 4 , мы будем проверять пары (a, b) с a, содержащим один экземпляр d и b three, а также с a, содержащим два экземпляра d и b два. Затем мы должны ввести a + b, ab, ba, a * b, a / b, b / a) в хеш-таблицу, включая скобки, для n = 4 . Здесь наборы A и B , содержащие a и b , вычисляются рекурсивно, причем n = 1 и n = 2 являются базовым случаем. Мемоизация используется для того, чтобы каждая хеш-таблица вычислялась только один раз.

Второй случай (факториалы и корни) обрабатывается с помощью вспомогательной функции, которая вызывается каждый раз, когда записывается значение v . Эта функция вычисляет вложенные факториалы и корни v до некоторой максимальной глубины, ограничиваясь рациональными числами.

Последний этап алгоритма состоит в переборе ключей таблицы для получения желаемого значения n, а также в извлечении и сортировке тех ключей, которые являются целыми числами. Этот алгоритм был использован для расчета пяти пятерок и шести шестерок, показанных ниже. Более компактная формула (в смысле количества символов в соответствующем значении) выбиралась каждый раз, когда ключ появлялся более одного раза.

Выдержка из решения проблемы пяти пятерок

139 = (((5+(5/5))!/5)-5)
140 = (.5*(5+(5*55)))
141 = ((5)!+((5+(5+.5))/.5))
142 = ((5)!+((55/.5)/5))
143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5)
144 = ((((55/5)-5))!/5)
145 = ((5*(5+(5*5)))-5)
146 = ((5)!+((5/5)+(5*5)))
147 = ((5)!+((.5*55)-.5))
148 = ((5)!+(.5+(.5*55)))
149 = (5+(((5+(5/5)))!+5))

Выдержка из решения задачи шести шестерок

В таблице ниже обозначение .6 ... представляет значение 6/9 или 2/3 ( повторяющееся десятичное число 6).

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6)
242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6))
243 = (6+((6*(.6*66))-.6))
244 = (.6...*(6+(6*(66-6))))
245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6)
246 = (66+(6*((6*6)-6)))
247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6))
248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6)))))
249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6))))
250 = (((6*(6*6))-66)/.6)
251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))

Смотрите также

Крипто (игра)

использованная литература

внешние ссылки

Бурк, Поль. «Проблема четырех четверок» .
Карвер, Рут. «Головоломка четырех четверок» . на MathForum.org
«4444 (Четыре четверки)» . Галерея Eyegate.
four4s на GitHub
«Онлайн-реализация игры« Четыре четверки »» .

Languages

In other projects