Вычитание - Subtraction
Арифметические операции | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычитание - это арифметическая операция , представляющая операцию удаления объектов из коллекции. Вычитание обозначается знаком минус , - . Так , например, в соседнем изображении, есть 5 - 2 персиков-5 означает персики с 2 отняты, в результате чего в общей сложности 3 персиков. Следовательно, разница 5 и 2 равна 3; то есть 5-2 = 3 . Вычитание, в основном связанное с натуральными числами в арифметике , также может представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных типов объектов, включая отрицательные числа , дроби , иррациональные числа , векторы , десятичные дроби, функции и матрицы.
Вычитание следует нескольким важным схемам. Он является антикоммутативным , что означает, что изменение порядка меняет знак ответа. Он также не ассоциативен , что означает, что при вычитании более двух чисел порядок, в котором выполняется вычитание, имеет значение. Поскольку 0 - это аддитивная идентичность , его вычитание не меняет числа. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам относительно связанных операций, таких как сложение и умножение . Все эти правила можно доказать , начиная с вычитания целых чисел и обобщая до действительных чисел и далее. Общие бинарные операции , следующие этим шаблонам, изучаются в абстрактной алгебре .
Вычитание натуральных чисел - одна из простейших числовых задач. Маленьким детям доступно вычитание очень маленьких чисел. В начальной школе , например, студенты учат вычитать числа в десятичной системе, начиная с однозначными цифрами и постепенно решать более сложные проблемы.
В продвинутой алгебре и компьютерной алгебре выражение, включающее вычитание, такое как A - B , обычно рассматривается как сокращенное обозначение для сложения A + (- B ) . Таким образом, - Б содержит два члена, а именно : A и - B . Это позволяет упростить использование ассоциативности и коммутативности .
Обозначения и терминология
Вычитание обычно записывается со знаком минус «-» между членами; то есть в инфиксной записи . Результат обозначается знаком равенства . Например,
- (произносится как «два минус один равно одному»)
- (произносится как «четыре минус два равно два»)
- (произносится как «шесть минус три равно трем»)
- (произносится как «четыре минус шесть равняется двум минусам»)
Также существуют ситуации, когда вычитание «понимается», даже если символ не появляется:
- Столбец из двух чисел, нижнее число которого выделено красным, обычно указывает на то, что меньшее число в столбце должно быть вычтено, а разница, указанная ниже, под линией. Это наиболее распространено в бухгалтерском учете.
Формально вычитаемое число называется вычитаемым , а число, из которого оно вычитается, является уменьшаемым . Результат - разница .
Вся эта терминология происходит от латыни . « Вычитание » является английским слово происходит от латинского глагола subtrahere , который , в свою очередь , представляет собой соединение из подразделов «из - под» и trahere « чтобы вытащить». Таким образом, вычитать - значит рисовать снизу или убирать . Использование герундивного суффикса -nd приводит к «вычитаем», «вещь, которую нужно вычесть». Точно так же от minuere «уменьшать или уменьшать» получается «minuend», что означает «вещь, которая должна уменьшаться».
Целых и действительных чисел
Целые числа
Представьте себе отрезок линии из длины Ь с левым концом меченого и правый конец меченого гр . Начиная с точки a , нужно сделать b шагов вправо, чтобы добраться до точки c . Это движение вправо математически моделируется сложением :
- а + Ь = с .
От c нужно b шагов влево, чтобы вернуться к a . Это движение влево моделируется вычитанием:
- с - Ь = а .
Теперь сегмент линии, помеченный числами 1 , 2 и 3 . Из позиции 3 не нужно делать никаких шагов влево, чтобы оставаться в позиции 3, поэтому 3-0 = 3 . Чтобы попасть в позицию 1, нужно сделать 2 шага влево, поэтому 3–2 = 1 . Этот рисунок неадекватен для описания того, что произойдет после перехода на 3 шага влево от позиции 3. Чтобы представить такую операцию, линию необходимо удлинить.
Чтобы вычесть произвольные натуральные числа , нужно начать со строки, содержащей каждое натуральное число (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). От 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3–3 = 0 . Но 3–4 по-прежнему недействительны, так как снова выходит за пределы линии. Натуральные числа не подходят для вычитания.
Решение состоит в том, чтобы рассмотреть целочисленную строку (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, чтобы добраться до −1, нужно сделать 4 шага влево от 3:
- 3-4 = -1 .
Натуральные числа
Вычитание натуральных чисел не закрывается : разность не является натуральным числом, если минус не больше или не равен вычитаемому. Например, 26 нельзя вычесть из 11, чтобы получить натуральное число. В таком случае используется один из двух подходов:
- Сделайте вывод, что 26 нельзя вычесть из 11; вычитание становится частичной функцией .
- Дайте ответ в виде целого числа, представляющего отрицательное число , поэтому результат вычитания 26 из 11 будет -15.
Действительные числа
Поле действительных чисел может быть определенно с указанием только две бинарных операций, сложения и умножения, вместе с одинарными операциями , дающих аддитивные и мультипликативные инверсиями. Затем вычитание действительного числа (вычитаемое) из другого (уменьшаемого) может быть определено как сложение уменьшаемого числа и аддитивная инверсия вычитаемого. Например, 3 - π = 3 + (- π ) . В качестве альтернативы, вместо того, чтобы требовать этих унарных операций, бинарные операции вычитания и деления могут быть взяты как базовые.
Характеристики
Антикоммутативность
Вычитание является антикоммутативным , что означает, что, если кто-то перевернет члены разности слева направо, результат будет отрицательным по сравнению с исходным результатом. Символически, если a и b - любые два числа, то
- а - б = - ( б - а) .
Неассоциативность
Вычитание неассоциативно , что возникает, когда кто-то пытается определить повторное вычитание. В общем, выражение
- " а - б - в "
можно определить как ( a - b ) - c или a - ( b - c ), но эти две возможности приводят к разным ответам. Чтобы решить эту проблему, необходимо установить порядок действий , при котором разные порядки дают разные результаты.
Предшественник
В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a - 1) является наибольшим целым числом меньше a , также известным как предшественник a .
Меры измерения
При вычитании двух чисел с такими единицами измерения, как килограммы или фунты , они должны иметь одну и ту же единицу. В большинстве случаев разница будет в той же единице, что и исходные числа.
Проценты
Изменения в процентах могут быть представлены по крайней мере в двух формах, процентное изменение и процентный пункт изменения. Изменение в процентах представляет собой относительное изменение между двумя величинами в процентах, а изменение в процентных пунктах - это просто число, полученное путем вычитания двух процентов.
В качестве примера предположим, что 30% виджетов, изготовленных на заводе, неисправны. Через полгода неисправны 20% виджетов. Процентное изменение20% - 30%/30% = -1/3= -33+1/3%, а изменение в процентных пунктах составляет -10 процентных пунктов.
В вычислениях
Метод комплементов является методом , используемым для вычитания одного числа из другого источника, используя только сложение положительных чисел. Этот метод обычно использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах .
Двоичная цифра |
Ones' дополнение |
---|---|
0 | 1 |
1 | 0 |
Чтобы вычесть двоичное число y (вычитаемое) из другого числа x (уменьшаемое), дополнение единиц y добавляется к x, а единица прибавляется к сумме. Затем первая цифра "1" результата отбрасывается.
Метод дополнений особенно полезен в двоичной системе счисления (основание 2), поскольку дополнение единиц очень легко получить инвертированием каждого бита (изменением «0» на «1» и наоборот). И добавление 1 для получения двух дополнений может быть выполнено путем имитации переноса в младший бит. Например:
01100100 (x, equals decimal 100) - 00010110 (y, equals decimal 22)
становится суммой:
01100100 (x) + 11101001 (ones' complement of y) + 1 (to get the two's complement) —————————— 101001110
Если отбросить начальную единицу, получим ответ: 01001110 (равно 78 в десятичной системе).
Обучение вычитанию в школах
Методы, используемые для обучения вычитанию в начальной школе, различаются от страны к стране, и внутри страны разные методы применяются в разное время. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционная математика , в конце 1-го года (или в течение 2-го года) студентов обучают определенному процессу для использования с многозначными целыми числами, и он расширяется либо на четвертом, либо на четвертом курсе. пятый класс, чтобы включить десятичные представления дробных чисел.
В Америке
Почти во всех американских школах в настоящее время преподается метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм разложения) и система маркировки, называемая костылями. Хотя метод заимствования был известен и ранее публиковался в учебниках, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, в котором утверждалось, что костыли полезны для учащихся, использующих этот метод. Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.
В Европе
Некоторые европейские школы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка для улучшения памяти), которые различаются в зависимости от страны.
Сравнение двух основных методов
Оба эти метода разделяют вычитание как процесс вычитания одной цифры по разряду. Начиная с наименее значащей цифры, вычитание вычитаемого:
- s j s j −1 ... s 1
от минимума
- м к м к −1 ... м 1 ,
где каждый s i и m i является цифрой, выполняется запись m 1 - s 1 , m 2 - s 2 и так далее, пока s i не превышает m i . В противном случае m i увеличивается на 10, а другая цифра изменяется, чтобы скорректировать это увеличение. Американский метод исправляет, пытаясь уменьшить уменьшаемую цифру m i +1 на единицу (или продолжая заимствование влево до тех пор, пока не будет отличная от нуля цифра, из которой можно заимствовать). Европейский метод исправляет, увеличивая вычитаемую цифру s i +1 на единицу.
Пример: 704-512.
Уменьшаемое - 704, вычитаемое - 512. Уменьшаемые цифры: m 3 = 7 , m 2 = 0 и m 1 = 4 . Вычитаемые цифры: s 3 = 5 , s 2 = 1 и s 1 = 2 . Начиная с места, 4 не меньше 2, поэтому разница 2 записывается на место результата. В разряде десятков 0 меньше 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разница с 1, то есть 9, записывается в разряде десятков. Американский метод исправляет увеличение десяти, уменьшая цифру в разряде сотен уменьшаемого числа на единицу. То есть 7 вычеркивается и заменяется на 6. Затем вычитание продолжается в разряде сотен, где 6 не меньше 5, поэтому разница записывается в разряде сотен результата. Готово, результат 192.
Австрийский метод не уменьшает 7 до 6. Он увеличивает вычитаемую сотню на единицу. Рядом с этой цифрой или под ней делается небольшая отметка (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, спрашивая, какое число при увеличении на 1, и 5 прибавляется к нему, дает 7. Ответ - 1, и записывается в разряде сотен результата.
Есть дополнительная тонкость в том, что в американском методе ученик всегда использует мысленную таблицу вычитания. Австрийский метод часто побуждает ученика мысленно использовать таблицу сложения в обратном порядке. В приведенном выше примере, вместо того, чтобы прибавлять 1 к 5, получать 6 и вычитать это из 7, ученика просят подумать, какое число при увеличении на 1 и добавлении 5 дает 7.
Вычитание вручную
Австрийский метод
Пример:
Вычитание слева направо
Пример:
Американский метод
В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры над ней, начиная справа налево. Если верхнее число слишком мало, чтобы вычесть из него нижнее число, мы добавляем к нему 10; эта 10 "заимствована" из верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию по мере необходимости, пока не будет вычтена каждая цифра. Пример:
Торговля в первую очередь
Вариант американского метода, при котором все заимствования производятся до вычитания.
Пример:
Частичные отличия
Метод частичных разностей отличается от других методов вертикального вычитания, потому что не происходит заимствования или переноса. Вместо них ставятся знаки плюс или минус в зависимости от того, меньше или больше уменьшаемое, чем вычитаемое. Сумма частичных разностей и есть общая разница.
Пример:
Невертикальные методы
Подсчет
Вместо того, чтобы находить разность цифр за цифрой, можно подсчитать числа между вычитаемым и уменьшаемым.
Пример: 1234 - 567 = можно найти, выполнив следующие действия:
- 567 + 3 = 570
- 570 + 30 = 600
- 600 + 400 = 1000
- 1000 + 234 = 1234
Сложите значение каждого шага, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .
Прерывание вычитания
Другой метод, который полезен для ментальной арифметики, - это разделение вычитания на небольшие шаги.
Пример: 1234 - 567 = можно решить следующим образом:
- Тысяча двести тридцать-четыре - 500 = 734
- 734 - 60 = 674
- 674 - 7 = 667
То же изменение
Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание одного и того же числа из уменьшаемого и вычитаемого не меняет ответ. Просто добавляем сумму, необходимую для получения нулей при вычитании.
Пример:
«1234 - 567 =» можно решить следующим образом:
- 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667
Смотрите также
Примечания
использованная литература
Библиография
- Браунелл, Вашингтон (1939). Обучение как реорганизация: экспериментальное исследование по арифметике для третьего класса, Duke University Press.
- Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива, Сьюзан Росс, Мэри Пратт-Коттер, преподаватель математики , Vol. 8, No. 1 (оригинальная публикация) и Vol. 10, № 1 (перепечатка) PDF
внешние ссылки
- «Вычитание» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Рабочие листы для печати: рабочие листы вычитания , однозначное вычитание , двухзначное вычитание , четырехзначное вычитание и другие рабочие листы вычитания
- Игра на вычитание на пороге
- Вычитание на японских счетах, выбранных из Abacus: Mystery of the Bead