Конечная мера - Finite measure

В теории меры , разделе математики , конечная мера или полностью конечная мера - это особая мера, которая всегда принимает конечные значения. К конечным мерам относятся вероятностные . С конечными мерами часто проще работать, чем с более общими мерами, и они демонстрируют множество различных свойств в зависимости от наборов, на которых они определены.

Определение

Мера на измеримое пространство называется конечной мерой тогда и только тогда она удовлетворяет ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

{\ Displaystyle \ му (Х) <\ infty.}

По монотонности мер отсюда следует

{\ displaystyle \ mu (A) <\ infty {\ text {для всех}} A \ in {\ mathcal {A}}.}

Если - конечная мера, пространство с мерой называется пространством с конечной мерой или пространством с вполне конечной мерой . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Свойства

Общий случай

Для любого измеримого пространства, конечные меры образуют выпуклый конус в банаховом пространстве от знакопеременных мер с полной вариацией нормой. Важными подмножествами конечных мер являются суб-вероятностные меры, которые образуют выпуклое подмножество , и вероятностные меры, которые представляют собой пересечение единичной сферы в нормированном пространстве мер со знаком и конечных мер.

Топологические пространства

Если является хаусдорфовым пространством и содержит борелевскую -алгебру, то каждая конечная мера также является локально конечной борелевской мерой . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Метрические пространства

Если - метрическое пространство и снова является борелевской -алгеброй, то можно определить слабую сходимость мер . Соответствующая топология называется слабой топологией и является исходной топологией всех ограниченных непрерывных функций на . Слабая топология соответствует слабой * топологии в функциональном анализе. Если также сепарабельно , слабая сходимость метризуется метрикой Леви – Прохорова . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Польские просторы

Если - польское пространство и является борелевской -алгеброй, то каждая конечная мера является регулярной мерой и, следовательно, мерой Радона . Если польский, то множество всех конечных мер со слабой топологией тоже польское. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle X}$

Ссылки

^ ^a ^b Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 252 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 248 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 112. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[eommeasurespace-1] Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства" , Энциклопедия математики , EMS Press

[Klenke252-2] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 252 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Klenke248-3] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 248 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg112-4] Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 112. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

Languages

In other projects