Задача Дирихле - Dirichlet problem

В математике , А задача Дирихля является проблемой нахождения функции , которая решает указанное частичное дифференциальное уравнение (PDE) в интерьере данной области , которая принимает заданные значения на границе области.

Проблема Дирихле может быть решена для многих УЧП, хотя первоначально она была поставлена ​​для уравнения Лапласа . В этом случае проблема может быть сформулирована следующим образом:

Для заданной функции F , которая имеет значение всюду на границе области в R ^п , есть уникальная непрерывная функция у дважды непрерывно дифференцируемая в интерьере и непрерывна на границе, таким образом, что у является гармоническим в интерьере и у  =  F на граница?

Это требование называется граничным условием Дирихле . Главный вопрос - доказать наличие решения; единственность можно доказать с помощью принципа максимума .

История

Проблема Дирихле восходит к Джорджу Грину , который изучал проблему в общих областях с общими граничными условиями в своем эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма , опубликованном в 1828 году. Он свел проблему к проблеме построения то, что мы теперь называем функциями Грина , и утверждал, что функция Грина существует для любой области. Его методы не были строгими по сегодняшним стандартам, но идеи оказали большое влияние на последующие разработки. Следующие шаги в изучении проблемы Дирихле были предприняты Карлом Фридрихом Гауссом , Уильямом Томсоном ( лорд Кельвин ) и Питером Густавом Леженом Дирихле , в честь которых была названа проблема, и решение проблемы (по крайней мере, для мяча) с использованием ядро Пуассона было известно Дирихлю (судя по его 1850 документу , представленного в прусскую академию). Лорд Кельвин и Дирихле предложили решение проблемы вариационным методом, основанным на минимизации «энергии Дирихле». По словам Ханса Фройденталя (« Словарь научной биографии» , том 11), Бернхард Риман был первым математиком, который решил эту вариационную задачу на основе метода, который он назвал принципом Дирихле . Существование уникального решения весьма правдоподобно с точки зрения «физического аргумента»: любое распределение заряда на границе по законам электростатики должно определять электрический потенциал как решение. Однако Карл Вейерштрасс нашел изъян в аргументации Римана, и строгое доказательство существования было найдено только в 1900 году Давидом Гильбертом , который использовал свой прямой метод вариационного исчисления . Оказывается, существование решения тонко зависит от гладкости границы и заданных данных.

Общее решение

Для области с достаточно гладкой границей общее решение задачи Дирихле дается формулой ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ partial D}$

${\ Displaystyle и (х) = \ int _ {\ partial D} \ nu (s) {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial n}} \, ds,}$

где - функция Грина для уравнения в частных производных, а ${\ Displaystyle G (х, у)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial n}} = {\ widehat {n}} \ cdot \ nabla _ {s} G (x, s) = \ sum _ {я } n_ {i} {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial s_ {i}}}}$

- производная функции Грина вдоль направленного внутрь вектора единичной нормали . Интегрирование выполняется по границе с мерой . Функция задается единственным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода: ${\ displaystyle {\ widehat {n}}}$ ${\ displaystyle ds}$${\ displaystyle \ nu (s)}$

${\ displaystyle f (x) = - {\ frac {\ nu (x)} {2}} + \ int _ {\ partial D} \ nu (s) {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial n}} \, ds.}$

В приведенном выше интеграле используется функция Грина, которая обращается в нуль на границе:

${\ Displaystyle G (х, s) = 0}$

для и . Такая функция Грина обычно является суммой функции Грина свободного поля и гармонического решения дифференциального уравнения. ${\ displaystyle s \ in \ partial D}$${\ displaystyle x \ in D}$

Существование

Задача Дирихле для гармонических функций всегда имеет решение, и это решение единственно, когда граница достаточно гладкая и непрерывная. Точнее, есть решение, когда ${\ displaystyle f (s)}$

${\ displaystyle \ partial D \ in C ^ {1, \ alpha}}$

для некоторых , где обозначает условие Гёльдера . ${\ Displaystyle \ альфа \ в (0,1)}$${\ displaystyle C ^ {1, \ alpha}}$

Пример: единичный диск в двух измерениях

В некоторых простых случаях проблема Дирихле может быть решена явно. Например, решение задачи Дирихле для единичного круга в R ² задается интегральной формулой Пуассона .

Если - непрерывная функция на границе открытого единичного круга , то решение задачи Дирихле дается формулой ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ partial D}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle и (г)}$

${\ displaystyle u (z) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (e ^ {i \ psi}) {\ frac {1- | z | ^ {2}} {| 1-ze ^ {- i \ psi} | ^ {2}}} \, d \ psi & {\ text {if}} z \ in D , \\ f (z) & {\ text {if}} z \ in \ partial D. \ end {cases}}}$

Решение непрерывно на замкнутом единичном круге и гармонично на${\ displaystyle u}$${\ displaystyle {\ bar {D}}}$${\ displaystyle D.}$

Подынтегральное выражение известно как ядро Пуассона ; это решение следует из функции Грина в двух измерениях:

${\ Displaystyle G (z, x) = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ log | zx | + \ gamma (z, x),}$

где это гармоническое ( ) и выбраны таким образом, что для . ${\ Displaystyle \ гамма (г, х)}$${\ Displaystyle \ Дельта _ {х} \ гамма (г, х) = 0}$${\ Displaystyle G (г, х) = 0}$${\ Displaystyle х \ в \ частичном D}$

Методы решения

Для ограниченных областей проблема Дирихле может быть решена с помощью метода Перрона , который основан на принципе максимума для субгармонических функций . Этот подход описан во многих учебниках. Он не очень подходит для описания гладкости решений, когда граница гладкая. Другой классический подход к гильбертову пространству через пространства Соболева действительно дает такую ​​информацию. Решение задачи Дирихле с использованием пространств Соболева для плоских областей может быть использовано для доказательства гладкой версии теоремы об отображении Римана . Белл (1992) обрисовал в общих чертах другой подход к доказательству теоремы о гладком отображении Римана, основанный на воспроизводящих ядрах Сегё и Бергмана, и, в свою очередь, использовал его для решения проблемы Дирихле. Классические методы теории потенциала позволяют решать проблему Дирихле непосредственно в терминах интегральных операторов , для которых применима стандартная теория компактных и фредгольмовых операторов . Те же методы одинаково работают и для задачи Неймана .

Обобщения

Задачи Дирихле типичны для эллиптических уравнений в частных производных , теории потенциала и, в частности, уравнения Лапласа . Другие примеры включают бигармоническое уравнение и связанные с ним уравнения теории упругости .

Они являются одним из нескольких типов классов задач PDE , определенных информации , представленной на границе, в том числе задач Неймана и задачи Коши .

Пример: уравнение конечной струны, прикрепленной к одной движущейся стенке.

Рассмотрим задачу Дирихле для волнового уравнения, описывающего струну, прикрепленную между стенками, один конец которой постоянно прикреплен, а другой движется с постоянной скоростью, то есть уравнение Даламбера в треугольной области декартового произведения пространства и времени:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} u (x, t) - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2} }} u (x, t) = 0,}$

${\ displaystyle u (0, t) = 0,}$

${\ Displaystyle и (\ лямбда т, т) = 0.}$

Как легко проверить подстановкой, решение, удовлетворяющее первому условию, есть

${\ displaystyle u (x, t) = f (tx) -f (x + t).}$

Дополнительно мы хотим

${\ Displaystyle е (т- \ лямбда т) -f (\ лямбда т + т) = 0.}$

Подстановка

${\ Displaystyle \ тау = (\ лямбда +1) т,}$

получаем условие самоподобия

${\ Displaystyle е (\ гамма \ тау) = е (\ тау),}$

куда

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1- \ lambda} {\ lambda +1}}.}$

Это выполняется, например, составной функцией

${\ Displaystyle \ грех [\ журнал (е ^ {2 \ pi} х)] = \ грех [\ журнал (х)]}$

с участием

${\ displaystyle \ lambda = e ^ {2 \ pi} = 1 ^ {- i},}$

таким образом в целом

${\ Displaystyle е (\ тау) = г [\ журнал (\ гамма \ тау)],}$

где - периодическая функция с периодом : ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ журнал (\ гамма)}$

${\ Displaystyle г [\ тау + \ журнал (\ гамма)] = г (\ тау),}$

и мы получаем общее решение

${\ displaystyle u (x, t) = g [\ log (tx)] - g [\ log (x + t)].}$

Примечания

использованная литература

• А. Янушаускас (2001) [1994], "Задача Дирихле" , Энциклопедия математики , EMS Press
• С. Г. Кранц, Проблема Дирихле . §7.3.3 в Справочнике по комплексным переменным . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, стр. 93, 1999. ISBN  0-8176-4011-8 .
• С. Акслер , П. Горкин , К. Восс, Задача Дирихле на квадратичных поверхностях , Математика вычислений 73 (2004), 637–651.
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4.
• Жерар, Патрик; Лейхтнам, Эрик : Эргодические свойства собственных функций для задачи Дирихле. Duke Math. J. 71 (1993), нет. 2, 559–607.
• Джон, Фриц (1982), Уравнения в частных производных , Прикладные математические науки, 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных, с дополнениями Ларса Гёрдинга и А. Н. Милграма , Лекции по прикладной математике, 3A , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0049-3.
• Агмон, Шмуэль (2010), Лекции по эллиптическим краевым задачам , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4910-7
• Стейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press.
• Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной , Аспирантура по математике , 40 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3962-4.
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения с частными производными I. Основная теория , Прикладные математические науки, 115 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1.
• Циммер, Роберт Дж. (1990), Основные результаты функционального анализа , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4.
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2.
• Chazarain, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными производными , Исследования по математике и ее приложениям, 14 , Elsevier, ISBN 0444864520.
• Белл, Стивен Р. (1992), преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X.
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 0387908943.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Interscience, ISBN 0471050598.
• Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Interscience.
• Schiffer, M .; Хоули, Н.С. (1962), "Связи и конформное отображение", Acta Math. , 107 : 175-274, DOI : 10.1007 / bf02545790

внешние ссылки

• "Задача Дирихле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема Дирихле" . MathWorld .