Определимое действительное число - Definable real number

Корень квадратный из 2 равен длиной гипотенузы в виде прямоугольного треугольника с ногами длиной 1 и, следовательно , является построимо номер

Неформально определяемое действительное число - это действительное число, которое может быть однозначно определено его описанием. Описание может быть выражено как конструкция или как формула формального языка . Например, положительный квадратный корень из 2,, может быть определен как единственное положительное решение уравнения , и его можно построить с помощью циркуля и линейки. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = 2}$

Различный выбор формального языка или его интерпретация порождают разные представления об определимости. Конкретные разновидности определяемых чисел включают конструктивные числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа . Поскольку формальные языки могут иметь только счетное число формул, каждое понятие определимых чисел имеет самое большее счетное число определимых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора , существует несчетное количество действительных чисел, поэтому почти каждое действительное число не поддается определению.

Конструируемые числа

Один из способов указания действительного числа использует геометрические приемы. Действительное число является конструктивным числом, если существует метод построения отрезка прямой длины с использованием циркуля и линейки, начиная с отрезка фиксированной линии длиной 1. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число можно построить. Положительный квадратный корень из 2 можно построить. Однако кубический корень из 2 невозможно построить; это связано с невозможностью удвоения куба .

Действительные алгебраические числа

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

Действительное число называется действительным алгебраическим числом, если существует многочлен только с целыми коэффициентами, так что он является корнем , то есть . Каждое вещественное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка вещественных чисел. Например, если многочлен имеет 5 действительных корней, третий можно определить как уникальный, такой, что и такой, что есть два различных числа, меньших, чем у которого равно нулю. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p (r) = 0}$ ${\ Displaystyle д (х)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle д (г) = 0}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle q}$

Все рациональные числа алгебраичны, и все конструктивные числа алгебраичны. Есть числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не конструктивными.

Действительные алгебраические числа образуют подполе действительных чисел. Это означает , что 0 и 1 алгебраические числа , и, кроме того, если и алгебраические числа, то есть так , , и, если не равно нулю, . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a + b}$ ${\ displaystyle ab}$ ${\ displaystyle ab}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a / b}$

Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки подполя вещественных чисел, что для каждого положительного целого числа и каждого действительного алгебраического числа все корни th , являющиеся действительными числами, также являются алгебраическими. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$

Существует только счетное количество алгебраических чисел, но существует несчетное количество действительных чисел, поэтому в смысле мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того, что не все действительные числа являются алгебраическими, было впервые опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 года « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».

Неалгебраические числа называются трансцендентными числами . Наиболее известные трансцендентные числа - это $π$ и $e$ .

Вычислимые действительные числа

Действительное число - это вычислимое число, если существует алгоритм, который, учитывая натуральное число , производит десятичное разложение для числа с точностью до десятичных знаков. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Вычислимые числа включают алгебраические числа наряду со многими трансцендентными числами, включая и . Как и алгебраические числа, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно получения корней th для каждого положительного числа . ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Не все действительные числа вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Спекера и алгоритмически случайные действительные числа, такие как числа Ω Чейтина .

Определимость в арифметике

Другое понятие определимости происходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано . В языке арифметики есть символы для 0, 1, операции-преемника, сложения и умножения, предназначенные для интерпретации обычным образом над натуральными числами . Поскольку никакие переменные этого языка не могут превышать действительные числа , для обращения к действительным числам требуется другой вид определимости. Действительное число может быть определено на языке арифметики (или арифметики ), если его дедекиндовое сокращение может быть определено как предикат на этом языке; то есть, если на языке арифметики существует формула первого порядка с тремя свободными переменными, такая что ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ forall m \, \ forall n \, \ forall p \ left (\ varphi (n, m, p) \ iff {\ frac {(-1) ^ {p} \ cdot n} {m + 1) }} <a \ right).}

Здесь m , n и p принимают значения неотрицательных целых чисел.

Язык второго порядка арифметики такого же , как язык первого порядка, за исключением того, что переменные и кванторы разрешено пробегают множества натуральных чисел. Действительное число, определяемое на языке арифметики второго порядка, называется аналитическим .

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, и арифметические числа образуют подполе действительных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное количество аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими и, следовательно, не являются арифметическими.

Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число вычислимо. Например, предел последовательности Спекера - это арифметическое число, которое невозможно вычислить.

Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно разделить на арифметическую иерархию и аналитическую иерархию . В общем, вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его дедекиндовский разрез находится на уровне арифметической иерархии, одном из самых низких уровней. Точно так же действительные числа с арифметическими дедекиндовыми разрезами образуют самый нижний уровень аналитической иерархии. ${\ displaystyle \ Delta _ {1} ^ {0}}$

Определимость в моделях ZFC

Действительное число может быть определено в первом порядке на языке теории множеств, без параметров , если существует формула на языке теории множеств с одной свободной переменной , так что это единственное действительное число, которое имеет место. Это понятие нельзя выразить в виде формулы на языке теории множеств. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle \ varphi (а)}$

Все аналитические числа, и в особенности все вычислимые числа, могут быть определены на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа , определимые в языке теории множеств включают все знакомые действительные числа , такие как 0 , 1 , , и так далее, а также все алгебраические числа. Предполагая, что они образуют набор в модели, действительные числа, определяемые на языке теории множеств в конкретной модели ZFC, образуют поле. ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle e}$

Каждая модель множеств теории множеств ZFC, которая содержит несчетное количество действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не могут быть определены внутри (без параметров). Это следует из того факта, что существует только счетное число формул, и поэтому только счетное число элементов может быть определимо над . Таким образом, если имеется несчетное количество действительных чисел, можно «извне» доказать, что не каждое действительное число определимо над . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$

Этот аргумент становится более проблематичным, если его применить к моделям классов ZFC, таким как вселенная фон Неймана . Утверждение «действительное число может быть определено в рамках модели класса » не может быть выражено в виде формулы ZFC. Точно так же вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен в виде предложения на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа, все наборы действительных чисел, функции на действительных числах и т. Д. Являются определяемыми. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle N}$

Languages

In other projects

Определимое действительное число - Definable real number

СОДЕРЖАНИЕ

Конструируемые числа

Действительные алгебраические числа

Вычислимые действительные числа

Определимость в арифметике

Определимость в моделях ZFC

Смотрите также

использованная литература