Конструируемый номер - Constructible number

В геометрии и алгебры , А действительное число является конструктивны тогда и только тогда, учитывая отрезок единичной длины, линия отрезок длины может быть построена с циркулем и линейкой в конечное число шагов. Эквивалентно, можно построить тогда и только тогда, когда существует выражение в замкнутой форме для использования только целых чисел 0 и 1 и операций для сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle | r |}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Геометрическое определение конструируемых чисел мотивирует соответствующее определение конструируемых точек , которые снова можно описать либо геометрически, либо алгебраически. Точка может быть построена, если она может быть построена как одна из точек компаса и построения прямой кромки (конечная точка линейного сегмента или точка пересечения двух линий или окружностей), начиная с заданного сегмента единичной длины. В качестве альтернативы и эквивалентно, принимая две конечные точки данного сегмента как точки (0, 0) и (1, 0) декартовой системы координат , точка является конструктивной тогда и только тогда, когда ее декартовы координаты являются конструктивными числами. Построимое число и точка также называют циркуль и линейка номер и циркуля и линейкой точки , чтобы отличить их от цифр и точек , которые могут быть построены с использованием других процессов.

Набор конструктивных чисел образует поле : применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого набора дает другое конструктивное число. Это поле является расширением поля рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел . Это евклидовой замыкание из рациональных чисел , наименьшее расширение поля рациональных чисел , который включает в квадратные корни всех его положительных чисел.

Доказательство эквивалентности между алгебраическим и геометрическим определениями конструктивных чисел имеет эффект преобразования геометрических вопросов о конструкциях компаса и линейки в алгебру , включая несколько известных задач древнегреческой математики. Алгебраическая формулировка этих вопросов привела к доказательствам невозможности их решения после того, как геометрическая формулировка тех же проблем ранее не выдерживала вековых атак.

Геометрические определения

Геометрически построенные точки

Пусть и - две заданные различные точки на евклидовой плоскости , и определим как набор точек, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, начиная с и . Тогда точки называются конструктивными точками . и по определению являются элементами . Чтобы более точно описать остальные элементы , сделайте следующие два определения: ${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

• сегмент линии, концы которого находятся внутри , называется построенным сегментом , и${\ displaystyle S}$
• окружность, центр которой находится внутри, и которая проходит через точку (или чей радиус - это расстояние между некоторой парой различных точек ), называется построенной окружностью .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Тогда точки , кроме и : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$

• пересечение двух непараллельных построены сегментов, или линий через построенные сегменты,
• точки пересечения построенного круга и построенного сегмента, или линии, проходящей через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка является конструктивной точкой. Одна конструкция для этого состоит в том, чтобы построить две окружности с радиусом и прямую, проходящую через две точки пересечения этих двух окружностей. Тогда середина отрезка - это точка, в которой этот отрезок пересекает построенная линия. ${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle OA}$

Геометрически конструктивные числа

Начальная информация для геометрической формулировки может использоваться для определения декартовой системы координат, в которой точка связана с началом координат, имеющим координаты, и в которой точка связана с координатами . Теперь точки можно использовать для связи геометрии и алгебры, определяя конструктивное число как координату конструктивной точки. ${\ displaystyle O}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle S}$

Эквивалентные определения состоят в том, что конструируемое число - это координата конструируемой точки или длина конструируемого отрезка линии. В одном направлении этой эквивалентности, если у конструктивной точки есть координаты , то точка может быть построена как ее перпендикулярная проекция на ось, и отрезок от начала координат до этой точки имеет длину . В обратном направлении, если это длина строящегося линейного сегмента, то пересечение оси -оси с кругом с центром в точке с радиусом дает точку . Из этой эквивалентности следует, что каждая точка, декартовы координаты которой являются геометрически конструктивными числами, сама является геометрически конструктивной точкой. Поскольку, когда и являются геометрически конструктивными числами, точка может быть построена как пересечение прямых, проходящих через и , перпендикулярных осям координат. ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (х, 0)}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle (х, 0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (х, 0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle (х, 0)}$${\ displaystyle (0, y)}$

Алгебраические определения

Алгебраически конструктивные числа

Алгебраически конструируемые действительные числа - это подмножество действительных чисел, которые можно описать формулами, объединяющими целые числа с использованием операций сложения, вычитания, умножения, обратного умножения и квадратных корней из положительных чисел. Еще проще, за счет увеличения длины этих формул, целые числа в этих формулах могут быть ограничены только 0 и 1. Например, квадратный корень из 2 можно построить, потому что он может быть описан формулами или . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {1 + 1}}}$

Аналогично, алгебраически конструируемые комплексные числа представляют собой подмножество комплексных чисел, которые имеют формулы одного и того же типа, с использованием более общей версии квадратного корня, который не ограничивается положительными числами, но вместо этого может принимать произвольные комплексные числа в качестве аргумента и дает главный квадратный корень из аргумента. В качестве альтернативы одна и та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами. Например, комплексное число имеет формулы или , а его действительная и мнимая части являются конструктивными числами 0 и 1 соответственно. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {0-1}}}$

Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. В одном направлении, если это комплексное число, действительная и мнимая части которого являются конструктивными действительными числами, то замена и их формулами в более крупной формуле дает формулу для комплексного числа. С другой стороны, любая формула для алгебраически построенного комплексного числа может быть преобразована в формулы для его действительной и мнимой частей путем рекурсивного расширения каждой операции в формуле на операции над действительной и мнимой частями ее аргументов с использованием разложений ${\ displaystyle q = x + iy}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x + y {\ sqrt {-1}}}$${\ displaystyle q}$

• ${\ Displaystyle (a + ib) \ pm (c + id) = (a + c) \ pm я (b + d)}$
• ${\ Displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + я (ad + bc)}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1} {a + ib}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i {\ frac {-b} {a ^ {2 } + b ^ {2}}}}$
• ${\ displaystyle {\ sqrt {a + ib}} = {\ frac {(a + r) {\ sqrt {r}}} {s}} + i {\ frac {b {\ sqrt {r}}} { s}}}$, где и .${\ displaystyle r = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} {} _ {\!}}}}$${\ displaystyle s = {\ sqrt {(a + r) ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Алгебраически конструктивные точки

Алгебраически конструктивные точки могут быть определены как точки, две вещественные декартовы координаты которых являются алгебраически конструктивными действительными числами. В качестве альтернативы, они могут быть определены как точки на комплексной плоскости, заданные алгебраически конструктивными комплексными числами. По эквивалентности между двумя определениями алгебраически конструируемых комплексных чисел эти два определения алгебраически конструируемых точек также эквивалентны.

Эквивалентность алгебраических и геометрических определений

Если и являются ненулевыми длины геометрический построенными сегментов , то элементарный циркуль и линейка конструкция могут быть использована для получения сконструированных сегментов длины , , и . Последние два могут быть выполнены с помощью конструкции, основанной на теореме о перехвате . Чуть менее элементарное построение с использованием этих инструментов основано на теореме о среднем геометрическом и позволяет построить отрезок длины из построенного отрезка длины . Отсюда следует, что каждое алгебраически построенное число можно построить геометрически, используя эти методы для преобразования формулы для числа в конструкцию для числа. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a + b}$${\ displaystyle | ab |}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle a / b}$${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$${\ displaystyle a}$

В другом направлении набор геометрических объектов может быть задан алгебраически определяемыми действительными числами: координаты для точек, наклон и пересечение линий для линий, а также центр и радиус для окружностей. Можно (но утомительно) разработать формулы на основе этих значений, используя только арифметические операции и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен на одном этапе построения циркуля и линейки. Из этих формул следует, что каждое геометрически конструктивное число алгебраически конструктивно. ${\ displaystyle y}$

Алгебраические свойства

Определение алгебраически конструируемых чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную величину любого из этих чисел, те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре . Таким образом, конструируемые числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле , упорядоченное поле, содержащее квадратный корень из каждого из его положительных элементов. Изучение свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям на число, которое может быть построено, что может быть использовано, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не могут быть построены.

Вместо всего поля конструктивных чисел удобно рассматривать подполе, порожденное любым заданным конструктивным числом , и использовать алгебраическую конструкцию для разложения этого поля. Если это построимо действительное число, то значения , происходящие в формуле построения его можно использовать для получения конечной последовательности действительных чисел таким образом, что, для каждого , является продолжением по степени 2. Используя несколько иную терминологию, реальное число конструктивно тогда и только тогда, когда он лежит в поле на вершине конечной башни вещественных квадратичных расширений , ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, a_ {n} = \ gamma}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ alpha _ {1}, \ dots, a_ {i})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ альфа _ {1}, \ точки, а_ {я-1})}$

начиная с рациональной областью , где находится в и для всех , . Из этого разложения следует, что степень расширения поля равна , где подсчитывается количество шагов квадратичного расширения. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle K_ {n}}$${\ displaystyle 0 <j \ leq n}$${\ displaystyle [K_ {j}: K_ {j-1}] = 2}$ ${\ Displaystyle [\ mathbb {Q} (\ gamma): \ mathbb {Q}]}$${\ displaystyle 2 ^ {r}}$${\ displaystyle r}$

Аналогично вещественному случаю комплексное число построено тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. Точнее, конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей ${\ displaystyle \ gamma}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} = F_ {0} \ substeq F_ {1} \ substeq \ dots \ substeq F_ {n},}$$

где находится в , и для всех , . Разница между этой характеристикой и характеристикой реальных конструктивных чисел состоит только в том, что поля в этой башне не ограничиваются действительностью. Следовательно, если комплексное число можно построить, то это степень двойки. Однако этого необходимого условия недостаточно: существуют расширения полей, степень которых равна степени двойки, которые нельзя разложить на последовательность квадратичных расширений. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle 0 <j \ leq n}$${\ displaystyle [F_ {j}: F_ {j-1}] = 2}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle [\ mathbb {Q} (\ gamma): \ mathbb {Q}]}$

Поля, которые могут быть сгенерированы таким образом из башен квадратичных расширений поля , называются

повторными квадратичными расширениями поля . Поля действительных и комплексных конструктивных чисел являются объединениями всех действительных или комплексных повторных квадратичных расширений . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Тригонометрические числа

Основная статья: Тригонометрическое число

Тригонометрические числа - это косинусы или синусы углов, рационально кратных . Эти числа всегда алгебраические, но их нельзя построить. Косинус или синус угла можно построить только для определенных специальных чисел : ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi / n}$${\ displaystyle n}$

• В полномочиях два
• В Ферма простые числа , простые числа, которые один плюс мощность двух
• Произведение степеней двух и различных простых чисел Ферма.

Таким образом, например, можно построить, потому что 15 является произведением двух простых чисел Ферма, 3 и 5. ${\ Displaystyle \ соз (\ пи / 15)}$

Список тригонометрических чисел, выраженных квадратными корнями, см. В тригонометрических константах, выраженных в действительных радикалах .

Невозможные конструкции

Куб и его двойник

Угол и его трисечение

Круг и квадрат с равными площадями

В древние греки думали , что определенные проблемы угольника и циркуль строительство они не могли решить , были просто упрямый, не неразрешимой. Однако невозможность построения некоторых чисел доказывает, что эти построения логически невозможно выполнить. (Однако сами проблемы можно решить, используя методы, которые выходят за рамки ограничений, связанных с работой только с линейкой и циркулем, и греки знали, как их решать таким образом.)

В частности, алгебраическая формулировка конструктивных чисел приводит к доказательству невозможности решения следующих задач построения:

Удвоение куба

Задача удвоения единичного квадрата решается построением еще одного квадрата на диагонали первого, с длиной стороны и площадью . Аналогично, задача удвоения куба требует построения длины стороны куба с объемом . Он не является конструктивным, поскольку

минимальный многочлен такой длины имеет степень 3 . Как кубический многочлен, единственный действительный корень которого является иррациональным, этот многочлен должен быть неприводимым, потому что если бы он имел квадратный действительный корень, то квадратично сопряженный корень дал бы второй действительный корень.${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Трисекция угла

В этой задаче нужно построить угол под заданным углом . Алгебраически углы могут быть представлены их

тригонометрическими функциями , такими как их синусы или косинусы , которые дают декартовы координаты конечной точки отрезка прямой, образующего данный угол с начальным отрезком. Таким образом, угол является конструктивным, когда является конструктивным числом, и задача деления угла на три части может быть сформулирована как задача построения . Например, угол равностороннего треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки с . Однако его трисечение не может быть построено, так как имеет минимальный многочлен степени 3 над . Поскольку этот конкретный пример задачи о трисекции не может быть решен с помощью циркуля и линейки, общая проблема также не может быть решена.${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta / 3}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle х = \ соз \ тета}$${\ Displaystyle \ соз ({\ tfrac {1} {3}} \ arccos x)}$${\ displaystyle \ theta = \ pi / 3 = 60 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle х = \ соз \ theta = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ theta / 3 = \ pi / 9 = 20 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ соз \ пи / 9}$${\ displaystyle 8x ^ {3} -6x-1}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Квадрат круга

Квадрат с площадью , равной площади

единичного круга , будет иметь длину стороны , трансцендентное число . Следовательно, этот квадрат и его длина стороны не могут быть построены, потому что он не является алгебраическим .${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Правильные многоугольники

Если построить правильный -угольник с центром в начале координат, то углы между сегментами от центра до следующих друг за другом вершин равны . Многоугольник можно построить только тогда, когда косинус этого угла является тригонометрическим числом. Так, например, 15-угольник можно построить, но правильный

семиугольник нельзя построить, потому что 7 простое число, но не простое число Ферма. Для более прямого доказательства невозможности построения представьте вершины правильного семиугольника как комплексные корни многочлена . Удаление множителя , деление на и замена дает более простой полином , неприводимую кубику с тремя действительными корнями, каждый из которых в два раза больше действительной части вершины комплексного числа. Его корни нельзя построить, поэтому семиугольник тоже нельзя построить.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 \ pi / n}$${\ displaystyle x ^ {7} -1}$${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x ^ {3}}$${\ Displaystyle у = х + 1 / х}$${\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} -2y-1}$

Проблема Альхазена

Если даны две точки и круговое зеркало, где на круге одна из данных точек видит отраженное изображение другой? Геометрически линии от каждой заданной точки до точки отражения пересекаются с окружностью под равными углами и хордами одинаковой длины. Однако построить точку отражения с помощью циркуля и линейки невозможно. В частности, для единичного круга с двумя точками , и внутри него, решение имеет координаты , образующие корни неприводимой степени-четыре многочлена . Хотя его степень является степенью двойки,

поле расщепления этого многочлена имеет степень, делящуюся на три, поэтому оно не происходит от повторного квадратичного расширения, а проблема Альхазена не имеет решения с помощью циркуля и линейки.${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {6}}, {\ tfrac {1} {6}})}$${\ displaystyle (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$${\ displaystyle x ^ {4} -2x ^ {3} + 4x ^ {2} + 2x-1}$

История

Рождение концепции конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных конструкций циркуля и линейки: дублирования куба, деления угла на три части и квадрата круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических конструкциях часто приписывают Платону из-за отрывка из Плутарха . Согласно Плутарху, Платон дал дублирование проблемы кубы (Делосский) к Евдоксу и Архиту и Менехмам , который решил проблему с помощью механических средств, получив выговор от Платона для не решает проблему с помощью чистой геометрии . Тем не менее, это приписывание оспаривается, в связи, в частности, о существовании другой версии истории (приписываемой Эратосфена по Евтокий ) , который говорит , что все три были найдены решения , но они были слишком абстрактны , чтобы иметь практическое значение. Прокл , цитируя Евдема Родосского , приписал Энопиду (около 450 г. до н.э.) две линейки и конструкции с компасом, что привело некоторых авторов к гипотезе о том, что именно Энопид был инициатором ограничения. Ограничение циркуля и линейки существенно для невозможности решения классических конструкторских задач. Например, трисекцию угла можно выполнить разными способами, некоторые из которых были известны древним грекам. Quadratrix из Гиппий из Элиды , то коники из Менехм, или отмеченные стрэйтэдж ( neusis строительство) Архимеда все были использованы, так как имеет более современный подход с помощью складывания бумаги .

Хотя это не одна из трех классических задач построения, проблема построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля часто рассматривается вместе с ними. Греки знали, как построить правильные n -угольники с n = 2 ^h , 3, 5 (для любого целого h ≥ 2 ) или произведение любых двух или трех из этих чисел, но другие правильные n -угольники ускользнули от них. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс , тогда восемнадцатилетний студент, объявил в газете, что он построил правильный 17-угольник с линейкой и циркулем. Трактовка Гаусса была скорее алгебраической, чем геометрической; на самом деле он не построил многоугольник, а скорее показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Аргумент был обобщен в его книге 1801 Disquisitiones Arithmeticae давая достаточное условие для построения регулярной п - угольника. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также было необходимым, и несколько авторов, в частности Феликс Кляйн , приписали ему и эту часть доказательства. Проблема Альгацена также не один из трех классических проблем, но несмотря на то , названный в честь Ибн аль-Хайтам (Альхазен), в средневековом исламском математиком , он уже появляются годов в Птолемея «s работы по оптике со второго века.

Пьер Ванцель  ( 1837 ) алгебраически доказал, что проблемы удвоения куба и деления угла на три части невозможно решить, если использовать только циркуль и линейку. В той же статье он также решил проблему определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить тогда и только тогда, когда количество его сторон является произведением степени двойки и любого числа различных простых чисел Ферма (т. Е. также необходимы достаточные условия, данные Гауссом). Попытка доказательства невозможности возведения круга в квадрат была дана Джеймсом Грегори в работе Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинное возведение круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой была предпринята попытка решить задачу, используя алгебраические свойства π . Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал его невозможность, расширив работу Чарльза Эрмита и доказав, что π является трансцендентным числом . Проблема Альхазена не была доказана невозможностью решить с помощью циркуля и линейки до работы Элькина (1965) .

Изучение конструктивных чисел как таковых было начато Рене Декартом в La Géométrie , приложении к его книге « Рассуждения о методе», опубликованной в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками прямых, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода путем решения древняя задача построения линейки и компаса, поставленная Паппом .

Смотрите также

• Вычислимое число
• Определимое действительное число

Примечания

использованная литература

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0, Руководство по ремонту  2108489
• Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), "Глава III: Геометрические конструкции, алгебра числовых полей", Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 117–164, ISBN. 0-19-510519-2
• Элкин, Джек М. (март 1965 г.), «Обманчиво простая задача», Учитель математики , 58 (3): 194–199, JSTOR  27968003
• Фрали, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2, MR  0225619
• Херштейн, И. Н. (1986), Абстрактная алгебра , Macmillan, ISBN 0-02-353820-1, Руководство по ремонту  1011035
• Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Линейка и круг: классические проблемы в геометрических конструкциях , Дувр, ISBN 0-486-42515-0, MR  1963960
• Кей, Энтони (2021 г.), Системы счисления: путь к строгой математике , Тейлор и Фрэнсис, ISBN 978-0-367-18065-2
• Кляйн, Феликс (1897), « Известные проблемы элементарной геометрии» , перевод Бемана, Вустера Вудраффа; Смит, Дэвид Юджин, Ginn & Co
• Фридман, Майкл (2018), История складывания в математике: математизация полей , Birkhäuser, DOI : 10.1007 / 978-3-319-72487-4 , ISBN 978-3-319-72486-7, Руководство по ремонту  3793627
• Knorr, Wilbur Richard (1986), Древняя традиция геометрических задач , Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-67532-9, MR  0884893
• Лоуренс, Джон В .; Зорзитто, Франк А. (2021), Абстрактная алгебра: всестороннее введение , Кембриджские учебники по математике, Cambridge University Press, ISBN 978-1-108-86551-7
• Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0629-3 , ISBN 0-387-98276-0, MR  1483895
• Мойз, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-04793-4, MR  0344984
• Нейман, Питер М. (1998), "Размышления о отражении в сферическом зеркале", American Mathematical Monthly , 105 (6): 523-528, DOI : 10,2307 / 2589403 , MR  1626185
• Роман, Стивен (1995), теория поля , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94408-1, MR  1329733
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
• Стюарт, Ян (1989), Теория Галуа (2-е изд.), Чепмен и Холл, ISBN 978-0-412-34550-0, MR  1036521
• Wantzel, PL (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366–372

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конструируемое число» , MathWorld
• Конструируемые числа в разорванном узле