Теорема Бернсайда - Burnside's theorem

Уильям Бернсайд.

В математике , теорема Бернсайд в теории групп утверждают , что если G является конечной группой из того , где р и д являются простыми числами , а и б являются неотрицательными целыми числами , то G является разрешимой . Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся по крайней мере на три различных простых числа. ${\ displaystyle p ^ {a} q ^ {b}}$

История

Теорема была доказана Уильямом Бернсайдом  ( 1904 г. ) с использованием теории представлений конечных групп . Несколько частных случаев этого ранее было доказано Бернсайдом, Джорданом и Фробениусом. Джон Томпсон указал, что доказательство, избегающее использования теории представлений, может быть извлечено из его работы по теореме о N-группах, и это было сделано явно Голдшмидтом (1970) для групп нечетного порядка и Бендером (1972) для групп четного порядка. Мацуяма (1973) упростил доказательства.

Доказательство

Это доказательство от противоречия . Пусть p ^a q ^b - наименьшее произведение двух степеней простого числа, такое, что существует неразрешимая группа G , порядок которой равен этому числу.

• G - простая группа с тривиальным центром и a не равно нулю.

Если бы у G была нетривиальная собственная нормальная подгруппа H , то (из-за минимальности G ) H и G / H были бы разрешимы, то есть G тоже, что противоречило бы нашему предположению. Итак, G прост.

Если бы a было равно нулю, G была бы конечной q-группой , следовательно, нильпотентной и, следовательно, разрешимой.

Точно так же G не может быть абелевой, иначе она была бы разрешима. Поскольку G проста, ее центр должен быть тривиальным.

• Существует элемент g группы G, который имеет q ^d сопряженных для некоторого d > 0.

К первой постановке теоремы Силова , G имеет подгруппу S порядка р ^а . Поскольку S - нетривиальная p -группа, ее центр Z ( S ) нетривиален. Зафиксируйте нетривиальный элемент . Число сопряженных с g равно индексу ее стабилизирующей подгруппы G _g , которая делит индекс q ^b группы S (поскольку S является подгруппой G _g ). Следовательно, это число имеет вид q ^d . Кроме того, целое число d строго положительно, так как г нетривиален и , следовательно , не центральная в G . ${\ Displaystyle г \ в Z (S)}$

• Существует нетривиальное неприводимое представление ρ с характером χ, такое, что его размерность n не делится на q, а комплексное число χ ( g ) не равно нулю.

Пусть ( χ _i ) _{1 ≤  i  ≤  h} - семейство неприводимых характеров группы G над (здесь χ ₁ обозначает тривиальный характер). Поскольку g не принадлежит к тому же классу сопряженности, что и 1, отношение ортогональности для столбцов таблицы символов группы дает: ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle 0 = \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (1) \ chi _ {i} (g) = 1 + \ sum _ {i = 2} ^ {h} \ chi _ {i} (1) \ chi _ {i} (g).}$

Теперь χ _i ( g ) - целые алгебраические числа , потому что они являются суммами корней из единицы . Если все нетривиальные неприводимые характеры, которые не обращаются в нуль в g, принимают значение, кратное q в 1, мы выводим, что

${\ displaystyle - {\ frac {1} {q}} = \ sum _ {i \ geq 2, ~ \ chi _ {i} (g) \ neq 0} {\ frac {\ chi _ {i} (1 )} {q}} \ chi _ {i} (g)}$

является целым алгебраическим числом (поскольку представляет собой сумму кратных целых алгебраических чисел), что абсурдно. Это доказывает утверждение.

• Комплексное число q ^d χ ( g ) / n является целым алгебраическим числом.

Множество целочисленных функций классов на G , Z ( [ G ]), является коммутативным кольцом , конечно порожденным над . Таким образом, все его элементы являются целыми , в частности отображение u, которое принимает значение 1 в классе сопряженности g и 0 в другом месте. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Отображение, которое отправляет функцию класса f в ${\ Displaystyle A: Z (\ mathbb {Z} [G]) \ rightarrow \ OperatorName {End} (\ mathbb {C} ^ {n})}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {s \ in G} f (s) \ rho (s)}$

является гомоморфизмом колец. Поскольку ρ ( s ) ⁻¹ A ( u ) ρ ( s ) =  A ( u ) для всех s , из леммы Шура следует, что A ( u ) является гомотетией λI _n . Его след nλ равен

${\ Displaystyle \ sum _ {s \ in G} е (ы) \ чи (ы) = q ^ {d} \ чи (г).}$

Поскольку гомотетия λI _n является гомоморфным образом целого элемента, это доказывает, что комплексное число λ =  q ^d χ ( g ) / n является целым алгебраическим числом.

• Комплексное число χ ( g ) / n - целое алгебраическое число.

Поскольку q взаимно просто с n , по тождеству Безу существуют два целых числа x и y такие, что:

${\ displaystyle xq ^ {d} + yn = 1 \ quad {\ text {следовательно}} \ quad {\ frac {\ chi (g)} {n}} = x {\ frac {q ^ {d} \ chi (g)} {n}} + y \ chi (g).}$

Поскольку линейная комбинация с целыми коэффициентами алгебраических целых чисел снова является алгебраическим целым числом, это доказывает утверждение.

• Образ g в представлении ρ является гомотетией.

Пусть ζ - комплексное число χ ( g ) / n . Это целое алгебраическое число, поэтому его норма N ( ζ ) (т. Е. Произведение его сопряженных , то есть корней его минимального многочлена над ) является ненулевым целым числом. Теперь ζ - это среднее значение корней из единицы (собственных значений ρ ( g )), следовательно, и его сопряженных, поэтому все они имеют абсолютное значение, меньшее или равное 1. Поскольку абсолютное значение их произведения N ( ζ ) больше или равно 1, их абсолютное значение должно быть 1, в частности ζ , что означает, что все собственные значения ρ ( g ) равны, поэтому ρ ( g ) является гомотетией. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

• Заключение

Пусть N - ядро ρ . Гомотетия ρ ( г ) занимает центральное место в Im ( р ) (который канонически изоморфна G / N ), тогда как г не является центральным в G . Следовательно, нормальная подгруппа N простой группы G нетривиальна, следовательно, она равна G , что противоречит тому факту, что ρ - нетривиальное представление.

Это противоречие доказывает теорему.

использованная литература

• Бендер, Хельмут (1972), "Теоретико-групповое доказательство p ^a q ^b -теоремы Бернсайда", Math. З. , 126 : 327-338, DOI : 10.1007 / bf01110337 , МР  0322048
• Бернсайд, W. (1904), "О группах порядка p ^α q ^β " (PDF) , Proc. Лондонская математика. Soc. (S2-1 (1)): 388-392, DOI : 10.1112 / PLMS / s2-1.1.388
• Гольдшмидт, Дэвид М. (1970), "Теоретико-групповое доказательство теоремы p ^a q ^b для нечетных простых чисел", Math. З. , 113 : 373-375, DOI : 10.1007 / bf01110506 , MR  0276338
• Джеймс, Гордон; и Либек, Мартин (2001). Представления и характеры групп (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00392-X . См. Главу 31.
• Мацуяма, Хироши (1973), "Разрешимость групп порядка 2 ^a q ^b .", Osaka J. Math. , 10 : 375–378, MR  0323890