Координаты действие-угол - Action-angle coordinates

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви
Основы
Составы
Основные темы
Вращение
Ученые
Категории
v т е

В классической механике , действие-угол координата представляет собой набор канонических координат , используемых в решении многих интегрируемых систем . Метод углов действия полезен для получения частот колебательного или вращательного движения без решения уравнений движения . Координаты действие-угол в основном используются, когда уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы. (Следовательно, гамильтониан не зависит явно от времени, т. Е. Энергия сохраняется .) Переменные действие-угол определяют инвариантный тор , называемый так потому, что поддержание постоянного действия определяет поверхность тора , а переменные угла параметризуют координаты на торе.

В квантования Бора-Зоммерфельда условия, используемые для разработки квантовой механики до появления волновой механики , утверждают , что действие должно быть целым кратным постоянной Планка ; аналогичным образом , Эйнштейн озарение «s в EBK квантование было высказано и трудность квантовании без интегрируемых систем в терминах инвариантных торов действия угловых координат.

Действие угловые координаты могут быть также использованы в теории возмущений в гамильтоновой механике , особенно при определении адиабатических инвариантов . Одним из первых результатов теории хаоса для нелинейных возмущений динамических систем с малым числом степеней свободы является теорема КАМ , которая утверждает, что инвариантные торы устойчивы по отношению к малым возмущениям.

Использование переменных действие-угол было центральным для решения цепочки Тоды и для определения пар Лакса или, в более общем смысле, идеи изоспектральной эволюции системы.

Вывод

Углы действия являются результатом канонического преобразования типа 2, в котором производящая функция является характеристической функцией Гамильтона (а не главной функцией Гамильтона ). Поскольку исходный гамильтониан не зависит явно от времени, новый гамильтониан - это просто старый гамильтониан, выраженный в терминах новых канонических координат , которые мы обозначаем как ( углы действия , которые являются обобщенными координатами ) и их новые обобщенные импульсы . Здесь нам не нужно решать саму производящую функцию ; вместо этого мы будем использовать его просто как средство для связи новых и старых канонических координат . ${\ Displaystyle W (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle К (\ mathbf {w}, \ mathbf {J})}$${\ Displaystyle Н (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle W}$

Вместо прямого определения углов действия , мы определяем их обобщенные импульсы, которые напоминают классическое действие для каждой исходной обобщенной координаты.${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

${\ Displaystyle J_ {k} \ Equiv \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k}}$

где путь интегрирования неявно задается функцией постоянной энергии . Поскольку фактическое движение не участвует в этом интегрировании, эти обобщенные импульсы являются константами движения, что означает, что преобразованный гамильтониан не зависит от сопряженных обобщенных координат${\ displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$${\ displaystyle J_ {k}}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} J_ {k} = 0 = {\ frac {\ partial K} {\ partial w_ {k}}}}$

где задаются типичным уравнением для канонического преобразования типа 2 ${\ displaystyle w_ {k}}$

${\ displaystyle w_ {k} \ Equiv {\ frac {\ partial W} {\ partial J_ {k}}}}$

Следовательно, новый гамильтониан зависит только от новых обобщенных импульсов . ${\ Displaystyle К = К (\ mathbf {J})}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

Динамика углов действия дается уравнениями Гамильтона

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} w_ {k} = {\ frac {\ partial K} {\ partial J_ {k}}} \ Equiv \ nu _ { k} (\ mathbf {J})}$

Правая часть - это константа движения (так как все буквы есть). Следовательно, решение дается формулой ${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}$

где - постоянная интегрирования. В частности, если исходная обобщенная координата подвергается колебаниям или повороту периода , соответствующий угол действия изменяется на . ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle w_ {k}}$${\ displaystyle \ Delta w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) T}$

Это частоты колебаний / вращения для исходных обобщенных координат . Чтобы показать это, мы интегрируем чистое изменение угла действия ровно по одному полному изменению (т. Е. Колебания или вращение) его обобщенных координат.${\ Displaystyle \ ню _ {к} (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

${\ displaystyle \ Delta w_ {k} \ Equiv \ oint {\ frac {\ partial w_ {k}} {\ partial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = \ oint {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial J_ {k} \, \ partial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint {\ frac {\ partial W} {\ partial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} J_ {k}} {\ mathrm {d } J_ {k}}} = 1}$

Приравнивая два выражения к равенству, получаем искомое уравнение ${\ displaystyle \ Delta w_ {k}}$

${\ Displaystyle \ ню _ {к} (\ mathbf {J}) = {\ гидроразрыва {1} {T}}}$

Углы действия представляют собой независимый набор обобщенных координат . Таким образом, в общем случае каждая исходная обобщенная координата может быть выражена в виде ряда Фурье по всем углам действия ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle q_ {k}}$

${\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {s_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ { s_ {N} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {1} w_ { 1}} e ^ {i2 \ pi s_ {2} w_ {2}} \ cdots e ^ {i2 \ pi s_ {N} w_ {N}}}$

где - коэффициент ряда Фурье. Однако в большинстве практических случаев исходная обобщенная координата может быть выражена в виде ряда Фурье только с ее собственными углами действия. ${\ Displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}$${\ displaystyle q_ {k}}$${\ displaystyle w_ {k}}$

${\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {k} w_ {k }}}$

Резюме основного протокола

Общая процедура состоит из трех этапов:

1. Вычислить новые обобщенные импульсы ${\ displaystyle J_ {k}}$
2. Выразите исходный гамильтониан полностью через эти переменные.
3. Возьмите производные гамильтониана по этим импульсам, чтобы получить частоты ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$

Вырождение

В некоторых случаях частоты двух разных обобщенных координат идентичны, т. Е. Для . В таких случаях движение называется вырожденным . ${\ displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}$${\ Displaystyle к \ neq l}$

Вырожденное движение сигнализирует о наличии дополнительных общих сохраняющихся величин; например, частоты задачи Кеплера вырождены, что соответствует сохранению вектора Лапласа – Рунге – Ленца .

Вырожденное движение также сигнализирует о том, что уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы более чем в одной системе координат; например, проблема Кеплера полностью разделима как в сферических координатах, так и в параболических координатах .

Смотрите также

• Интегрируемая система
• Тавтологическая одноформа
• Суперинтегрируемая гамильтонова система
• Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера.

Рекомендации

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, (1976) Механика , 3-е. изд., Pergamon Press. ISBN   0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN   0-08-029141-4 ( мягкая обложка ).
• Х. Гольдштейн, (1980) Классическая механика , 2-е. изд., Эддисон-Уэсли. ISBN   0-201-02918-9
• Г. Сарданашвили , (2015) Справочник по интегрируемым гамильтоновым системам , УРСС. ISBN   978-5-396-00687-4
• Превиато, Эмма (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN   978-1-58488-053-0