Канонические координаты - Canonical coordinates

В математике и классической механики , канонические координаты представляют собой наборы координат на фазовом пространстве , которые могут быть использованы для описания физической системы в любой данный момент времени. Канонические координаты используются в гамильтоновой формулировке из классической механики . Близкое понятие также появляется в квантовой механике ; подробности см. в теореме Стоуна – фон Неймана и канонических коммутационных соотношениях .

Как гамильтонова механика обобщается симплектической геометрией и каноническими преобразования обобщаются контактными преобразованиями , поэтому определение 19 - го века канонических координат в классической механике может быть обобщенно на более абстрактный 20 определение века координат на кокасательном расслоении в виде коллектора (математическое понятие фазового пространства).

Определение в классической механике

В классической механике , канонические координаты являются координатами и в фазовом пространстве , которые используются в гамильтонова формализма. Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным скобкам Пуассона : ${\ Displaystyle д ^ {я}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$

{\ displaystyle \ left \ {q ^ {i}, q ^ {j} \ right \} = 0 \ qquad \ left \ {p_ {i}, p_ {j} \ right \} = 0 \ qquad \ left \ {q ^ {i}, p_ {j} \ right \} = \ delta _ {ij}}

Типичный пример канонических координат - это обычные декартовы координаты и компоненты импульса . Следовательно, в общем случае координаты называются «сопряженными импульсами». ${\ Displaystyle д ^ {я}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$

Канонические координаты могут быть получены из обобщенных координат в лагранжевом формализме с помощью преобразования Лежандра , или из другого множества канонических координат с помощью канонического преобразования .

Определение котангенсных расслоений

Канонические координаты определяются как специальный набор координат на кокасательном расслоении в виде многообразия . Обычно они записываются как набор или с x или q , обозначающими координаты на лежащем в основе многообразии, и p , обозначающими сопряженный импульс , которые являются 1-формами в кокасательном расслоении в точке q на многообразии. . ${\ displaystyle \ left (q ^ {i}, p_ {j} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {i}, p_ {j} \ right)}$

Общее определение канонических координат - это любой набор координат на котангенсном расслоении, который позволяет записать каноническую единичную форму в виде

{\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \, \ mathrm {d} q ^ {i}}

вплоть до полного дифференциала. Изменение координат, сохраняющее эту форму, является каноническим преобразованием ; это частный случай симплектоморфизма , который по сути является заменой координат на симплектическом многообразии .

В следующем изложении мы предполагаем, что многообразия являются вещественными многообразиями, так что кокасательные векторы, действующие на касательные векторы, производят действительные числа.

Формальное развитие

Учитывая многообразие $Q$ , а векторное поле $X$ на $Q$ (в сечении по касательному расслоению $TQ$ ) можно рассматривать как функцию , действующую на кокасательном расслоении , двойственность между касательными и кокасательными пространствами. То есть определить функцию

{\ Displaystyle P_ {X}: T ^ {*} Q \ to \ mathbb {R}}

такой, что

{\ Displaystyle P_ {X} (q, p) = p (X_ {q})}

выполняется для всех котангенсных векторов $p$ in . Здесь - вектор в касательном пространстве к многообразию $Q$ в точке $q$ . Функция называется функцией импульса , соответствующего $X$ . ${\ displaystyle T_ {q} ^ {*} Q}$ ${\ displaystyle X_ {q}}$ ${\ displaystyle T_ {q} Q}$ ${\ displaystyle P_ {X}}$

В локальных координатах векторное поле $X$ в точке $q$ можно записать как

{\ displaystyle X_ {q} = \ sum _ {i} X ^ {i} (q) {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}}}

где - система координат на $TQ$ . Тогда сопряженный импульс имеет выражение ${\ Displaystyle \ partial / \ partial д ^ {я}}$

{\ Displaystyle P_ {X} (q, p) = \ sum _ {i} X ^ {i} (q) \; p_ {i}}

где определяются как функции импульса, соответствующие векторам : ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ partial / \ partial д ^ {я}}$

{\ displaystyle p_ {i} = P _ {\ partial / \ partial q ^ {i}}}

Вместе с вместе образуют систему координат на кокасательном расслоении ; эти координаты называются каноническими координатами . ${\ Displaystyle д ^ {я}}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ ${\ displaystyle T ^ {*} Q}$

Обобщенные координаты

В лагранжевой механике используется другой набор координат, называемый обобщенными координатами . Они обычно обозначаются как с называется обобщенной позиции и в обобщенной скорости . Когда гамильтониан задан на кокасательном расслоении, то обобщенные координаты связаны с каноническими координатами посредством уравнений Гамильтона – Якоби . ${\ Displaystyle \ влево (д ^ {я}, {\ точка {q}} ^ {я} \ вправо)}$ ${\ Displaystyle д ^ {я}}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} ^ {i}}$

Смотрите также

использованная литература

Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П., мл .; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. С. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X См. Раздел 3.2 .

Languages

In other projects