Одна форма - One-form
В линейной алгебре , А один-форма на векторном пространстве такой же , как линейный функционал на пространстве. Использование одной формы в этом контексте обычно отличает одну форму от полилинейных функционалов более высокой степени в пространстве. Подробнее см. Линейный функционал .
В дифференциальной геометрии , А один-форма на дифференцируемом многообразии является гладкой участок из кокасательного расслоения . Эквивалентно, один-форма на многообразии М является гладким отображением общего пространства в касательном расслоении из М к , ограничение которого на каждый слой представляет собой линейный функционал на касательном пространстве. Символично,
где α x линейно.
Часто единичные формы описываются локально , особенно в локальных координатах . В локальной системе координат единичная форма - это линейная комбинация дифференциалов координат:
где f i - гладкие функции. С этой точки зрения одна форма имеет закон ковариантного преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Таким образом, одна форма - это ковариантное тензорное поле порядка 1 .
Примеры
Приложения
Многие концепции реального мира можно описать как единичные:
- Индексирование в вектор: Второй элемент трехвектора задается однократной формой [0, 1, 0]. То есть второй элемент [ x , y , z ] - это
- [0, 1, 0] · [ x , y , z ] = y .
- Среднее : средний элемент n -вектора задается одной формой [1 / n , 1 / n , ..., 1 / n ]. Это,
- Отбор проб : отбор проб с ядром можно рассматривать как однократную форму, где единичная форма - это ядро, смещенное в соответствующее место.
- Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока , R ( t ), определяется в одной форме w ( t ): = (1 + i ) - t, где i - ставка дисконтирования . Это,
Дифференциальный
Самая основная нетривиальная дифференциальная одноформа - это форма «изменения угла». Она определяется как производная от угловой «функции» (которая определяется только с точностью до аддитивной константы), которая может быть явно определена в терминах atan2 функция взятия производной дает следующую формулу для полной производной :
Хотя "функция" угла не может быть определена непрерывно - функция atan2 является разрывной по отрицательной оси y - что отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная определяется непрерывно, за исключением начала координат, что отражает тот факт, что бесконечно малые ( и даже локальные) изменения угла можно определить везде, кроме начала координат. Интегрирование этой производной по траектории дает общее изменение угла по траектории, а интегрирование по замкнутому контуру дает число обмоток, умноженное на 2 π .
На языке дифференциальной геометрии эта производная является одноформной, и она замкнута (ее производная равна нулю), но не является точной (это не производная 0-формы, т. Е. Функции), и фактически она генерирует первый когомологий де Рама из проколотой плоскости . Это самый простой пример такой формы, и он является фундаментальным в дифференциальной геометрии.
Дифференциал функции
Пусть будет открытым (например, интервал ), и рассмотрим дифференцируемую функцию с производной f ' . Дифференциал df функции f в точке определяется как некое линейное отображение переменной dx . В частности, . (Таким образом раскрывается значение символа dx : это просто аргумент или независимая переменная линейной функции .) Следовательно, карта отправляет каждую точку x в линейный функционал . Это простейший пример дифференциальной (одно-) формы.
С точки зрения де Рама коцепного комплекс , один имеет задание от нулевых форм (скалярных функций) до одной формы т.е. .