Проблема Кеплера - Kepler problem
В классической механики , то задача Кеплера является частным случаем задачи двух тел , в котором два тела взаимодействуют посредством центральной силы F , которая изменяется по силе как обратно пропорционально квадрату от расстояния г между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Проблема состоит в том, чтобы определить положение или скорость двух тел с течением времени с учетом их массы , положения и скорости . Используя классическую механику, решение может быть выражено в виде орбиты Кеплера с использованием шести орбитальных элементов .
Проблема Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера , который предложил законы движения планет Кеплера (которые являются частью классической механики и решили проблему для орбит планет) и исследовал типы сил, которые приведут к орбитам, подчиняющимся этим законам (называемым Обратная задача Кеплера ).
Для обсуждения проблемы Кеплера, специфичной для радиальных орбит, см. Радиальная траектория . Общая теория относительности дает более точные решения проблемы двух тел, особенно в сильных гравитационных полях .
Приложения
Проблема Кеплера возникает во многих контекстах, некоторые из которых выходят за рамки физики, изучаемой самим Кеплером. Проблема Кеплера важна в небесной механике , поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают спутник, движущийся вокруг планеты, планету вокруг своего солнца или две двойные звезды друг относительно друга. Задача Кеплера также имеет важное значение в движении двух заряженных частиц, так как закон Кулона в электростатике также подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают атом водорода , позитроний и мюоний , которые сыграли важную роль в качестве модельных систем для проверки физических теорий и измерения констант природы.
Проблема Кеплера и проблема простого гармонического осциллятора - две наиболее фундаментальные проблемы классической механики . Это единственные две задачи, которые имеют замкнутые орбиты для каждого возможного набора начальных условий, т. Е. Возвращаются в исходную точку с той же скоростью ( теорема Бертрана ). Проблема Кеплера часто использовалась для разработки новых методов в классической механике, таких как лагранжева механика , гамильтонова механика , уравнение Гамильтона – Якоби и координаты действие-угол . Проблема Кеплера также сохраняет вектор Лапласа – Рунге – Ленца , который с тех пор был обобщен для включения других взаимодействий. Решение проблемы Кеплера позволило ученым показать, что движение планет можно полностью объяснить классической механикой и законом всемирного тяготения Ньютона ; Научное объяснение движения планет сыграло важную роль в начале Просвещения .
Математическое определение
Центральная сила F между двумя объектами изменяется в силе как обратный квадрат от расстояния г между ними:
где k - постоянная величина, представляющая единичный вектор вдоль линии между ними. Сила может быть притягивающей ( k <0) или отталкивающей ( k > 0). Соответствующий скалярный потенциал :
Решение проблемы Кеплера.
Уравнение движения радиуса частицы массы, движущейся в центральном потенциале , дается уравнениями Лагранжа
- и угловой момент сохраняется. Для иллюстрации первый член в левой части равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила равна требованию центростремительной силы , как и ожидалось.
Если L не равно нулю, определение углового момента допускает замену независимой переменной с на
давая новое уравнение движения, которое не зависит от времени
Расширение первого члена есть
Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных и умножении обеих частей на
После замены и перестановки:
Для закона обратных квадратов силы, такого как гравитационный или электростатический потенциал , потенциал можно записать
Орбита может быть получена из общего уравнения
решение которой представляет собой константу плюс простую синусоиду
где ( эксцентриситет ) и ( фазовый сдвиг ) - постоянные интегрирования.
Это общая формула для конического сечения с одним фокусом в начале координат; соответствует кругу , соответствует эллипсу, соответствует параболе и соответствует гиперболе . Эксцентриситет связан с полной энергией (ср. Вектор Лапласа – Рунге – Ленца )
Сравнение этих формул показывает, что соответствует эллипсу (все решения, которые являются замкнутыми орбитами, являются эллипсами), соответствует параболе и соответствует гиперболе . В частности, для идеально круговых орбит (центральная сила точно равна требованию центростремительной силы , которая определяет требуемую угловую скорость для данного кругового радиуса).
Для силы отталкивания ( k > 0) применимо только e > 1.
Смотрите также
- Координаты действие-угол
- Теорема Бертрана
- Уравнение Бине
- Уравнение Гамильтона – Якоби
- Вектор Лапласа – Рунге – Ленца.
- Орбита Кеплера
- Проблема Кеплера в общей теории относительности
- Уравнение Кеплера
- Законы движения планет Кеплера