Уравнение Бине - Binet equation

Уравнение Бине , выведенное Жаком Филиппом Мари Бине , дает форму центральной силы, заданной формой орбитального движения в плоских полярных координатах . Уравнение также можно использовать для получения формы орбиты для данного закона силы, но это обычно включает решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Однозначное решение невозможно в случае кругового движения вокруг центра силы.

Уравнение

Форму орбиты часто удобно описывать в терминах относительного расстояния как функции угла . Для уравнения Бине форма орбиты вместо этого более кратко описывается обратной величиной как функцией от . Определите удельный угловой момент как где - угловой момент, а - масса. Уравнение Бине, выведенное в следующем разделе, дает силу в терминах функции : ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle h = L / m}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle и (\ тета)}$

{\ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right).}

Вывод

Второй закон Ньютона для чисто центральной силы таков:

{\ displaystyle F (r) = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}).}

Для сохранения углового момента необходимо, чтобы

{\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = h = {\ text {constant}}.}

Производные по времени можно переписать как производные по углу: ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ dot {r}} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} = - {\ frac {\ dot {r}} {h}} \\ & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - {\ frac {1} {h}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {r}}} {\ mathrm {d} т }} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ ddot {r}} {h {\ dot {\ theta}}}} = - { \ frac {\ ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}

Объединив все вышеперечисленное, мы приходим к

{\ displaystyle F = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = - m \ left (h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + h ^ {2} u ^ {3} \ right) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right)}

Общее решение

${\ displaystyle \ mathrm {\ theta = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {2m} {L ^ {2}) }} (EV) - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}}}}} + \ theta _ {0}}$ где - начальная координата частицы. ${\ displaystyle \ mathrm {(r_ {0}, \ theta _ {0})}}$

Примеры

Проблема Кеплера

Классический

Традиционная задача Кеплера о вычислении орбиты по закону обратных квадратов может быть прочитана из уравнения Бине как решение дифференциального уравнения

{\ displaystyle -ku ^ {2} = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2 }}} + u \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {k} {mh ^ {2}}} \ Equiv {\ text {constant}}> 0.}

Если угол измеряется от перицентра , то общее решение для орбиты, выраженное в (обратных) полярных координатах: ${\ displaystyle \ theta}$

{\ Displaystyle lu = 1 + \ varepsilon \ cos \ theta.}

Выше полярного уравнения описывает конические сечения , с в полу-Латусе прямой кишки (равный ) и эксцентриситет орбиты . ${\ displaystyle l}$ ${\ Displaystyle ч ^ {2} / \ му = ч ^ {2} м / к}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Релятивистский

Релятивистское уравнение, полученное для координат Шварцшильда, имеет вид

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2ч ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2}}

где это скорость света , и это радиус Шварцшильда . А для метрики Рейсснера – Нордстрёма получим ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2} - {\ frac {GQ ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ { 4}}} \ left ({\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} u + 2u ^ {3} \ right)}

где есть электрический заряд , и является вакуумной диэлектрической проницаемостью . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Обратная задача Кеплера

Рассмотрим обратную задачу Кеплера. Какой закон силы создает некруглую эллиптическую орбиту (или, в более общем смысле, некруглое коническое сечение ) вокруг фокуса эллипса ?

Дважды дифференцируя указанное выше полярное уравнение для эллипса, получаем

{\ displaystyle l \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - \ varepsilon \ cos \ theta.}

Следовательно, закон силы

{\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {- \ varepsilon \ cos \ theta} {l}} + {\ frac {1+ \ varepsilon \ cos \ theta} { l}} \ right) = - {\ frac {mh ^ {2} u ^ {2}} {l}} = - {\ frac {mh ^ {2}} {lr ^ {2}}},}

который является ожидаемым законом обратных квадратов. Сопоставление орбитали с физическими величинами, такими как или воспроизведение закона всемирного тяготения Ньютона или закона Кулона , соответственно. ${\ displaystyle h ^ {2} / l = \ mu}$ ${\ displaystyle GM}$ ${\ displaystyle k_ {e} q_ {1} q_ {2} / m}$

Эффективная сила для координат Шварцшильда равна

{\ Displaystyle F = -GMmu ^ {2} \ left (1 + 3 \ left ({\ frac {hu} {c}} \ right) ^ {2} \ right) = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ left (1 + 3 \ left ({\ frac {h} {rc}} \ right) ^ {2} \ right)}

.

где второй член представляет собой силу обратной четвертичной степени, соответствующую квадрупольным эффектам, таким как угловой сдвиг перицентра (его также можно получить с помощью запаздывающих потенциалов).

В параметризованном постньютоновском формализме получим

{\ displaystyle F = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ left (1+ (2 + 2 \ gamma - \ beta) \ left ({\ frac {h} {rc}} \ right ) ^ {2} \ right)}

.

где для ОТО и в классическом случае. ${\ Displaystyle \ гамма = \ бета = 1}$ ${\ Displaystyle \ гамма = \ бета = 0}$

Cotes спирали

Закон силы обратного куба имеет вид

{\ displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {3}}}.}

Формы орбит закона обратного куба известны как спирали Котеса . Уравнение Бине показывает, что орбиты должны быть решениями уравнения

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {ku} {mh ^ {2}}} = Cu.}

Дифференциальное уравнение имеет три вида решений по аналогии с различными коническими секциями задачи Кеплера. Когда , решением является эпспираль , включая патологический случай прямой линии, когда . Когда , решение - гиперболическая спираль . Когда решение - спираль Пуансо . ${\ displaystyle C <1}$ ${\ displaystyle C = 0}$ ${\ displaystyle C = 1}$ ${\ displaystyle C> 1}$

Внеосевое круговое движение

Хотя уравнение Бине не может дать уникальный силовой закон для кругового движения вокруг центра силы, уравнение может обеспечить силовой закон, когда центр круга и центр силы не совпадают. Рассмотрим, например, круговую орбиту, которая проходит прямо через центр силы. (Обратное) полярное уравнение для такой круговой орбиты диаметра : ${\ displaystyle D}$

{\ Displaystyle D \, и (\ theta) = \ sec \ theta.}

Двойная дифференциация и использование пифагорейской идентичности дает ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle D \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta + \ сек ^ {3} \ theta = \ sec \ theta (\ sec ^ {2} \ theta -1) + \ sec ^ {3} \ theta = 2D ^ {3} u ^ {3} -D \, u. }

Таким образом, закон силы

{\ Displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left (2D ^ {2} u ^ {3} -u + u \ right) = - 2mh ^ {2} D ^ {2} u ^ {5} = - {\ frac {2mh ^ {2} D ^ {2}} {r ^ {5}}}.}

Обратите внимание, что решение общей обратной задачи, то есть построение орбит закона силы притяжения , является значительно более сложной задачей, поскольку она эквивалентна решению ${\ displaystyle 1 / r ^ {5}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = Cu ^ {3}}

которое является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Languages

In other projects

Уравнение Бине - Binet equation

СОДЕРЖАНИЕ