Теорема Уайтхеда - Whitehead theorem

В теории гомотопий (раздел математики ) теорема Уайтхеда утверждает, что если непрерывное отображение f между CW-комплексами X и Y индуцирует изоморфизмы на всех гомотопических группах , то f является гомотопической эквивалентностью . Этот результат был доказан Дж. Х. К. Уайтхедом в двух важных статьях 1949 года и дает обоснование для работы с концепцией комплекса CW, которую он там представил. Это модельный результат алгебраической топологии , в которой поведение некоторых алгебраических инвариантов (в данном случае гомотопических групп) определяет топологическое свойство отображения.

Заявление

Более подробно, пусть X и Y - топологические пространства . Учитывая непрерывное отображение

${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

и точку x в X рассмотрим для любого n ≥ 1 индуцированный гомоморфизм

${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ to \ pi _ {n} (Y, f (x)),}$

где π _n ( X , x ) обозначает n-ю гомотопическую группу X с базовой точкой x . (Для п = 0, π ₀ ( Х ) просто означает набор компонентов пути из X .) Отображение F является слабой гомотопической эквивалентностью , если функция

${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {0} (X) \ to \ pi _ {0} (Y)}$

является взаимно однозначным , и гомоморфизмы F _* биективны для всех х в X и все п ≥ 1. (Для Й и У связно , первое условие является автоматическим, и достаточно , чтобы указать второе условие для одной точки х в X. ) Теорема Уайтхеда утверждает, что слабая гомотопическая эквивалентность одного CW-комплекса другому является гомотопической эквивалентностью. (То есть отображение f : X → Y имеет гомотопический обратный g : Y → X , что совсем не ясно из предположений.) Отсюда следует тот же вывод для пространств X и Y , гомотопически эквивалентных CW-комплексам.

В сочетании с Гуревичем теорема дает полезное следствие: непрерывное отображение между односвязными ХИ комплексами, индуцирует изоморфизм на все целочисленную гомологии групп является гомотопической эквивалентностью. ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

Пространства с изоморфными гомотопическими группами могут не быть гомотопически эквивалентными

Предупреждение: недостаточно предположить, что π _n ( X ) изоморфно π _n ( Y ) для каждого n , чтобы заключить, что X и Y гомотопически эквивалентны. Действительно нужно отображение f  : X → Y, индуцирующее изоморфизм на гомотопических группах. Например, возьмем X = S ² × RP ³ и Y = RP ² × S ³ . Тогда X и Y имеют одну и ту же фундаментальную группу , а именно циклическую группу Z / 2, и одно и то же универсальное покрытие, а именно S ² × S ³ ; таким образом, они имеют изоморфные гомотопические группы. С другой стороны, их группы гомологии различны (как видно из формулы Кюннета ); таким образом, X и Y не гомотопически эквивалентны.

Теорема Уайтхеда не верна для общих топологических пространств или даже для всех подпространств в R ⁿ . Например, варшавский круг , компактное подмножество плоскости, имеет нулевые гомотопические группы, но отображение варшавского круга в единственную точку не является гомотопической эквивалентностью. Изучение возможных обобщений теоремы Уайтхеда на более общие пространства является частью теории форм .

Обобщение на категории моделей

В любой модельной категории слабая эквивалентность между кофибрантно-фибрантными объектами является гомотопической эквивалентностью.

использованная литература

• Дж. Х. К. Уайтхед, Комбинаторная гомотопия. И. , Бык. Амер. Математика. Soc., 55 (1949), 213–245.
• Дж. Х. К. Уайтхед, Комбинаторная гомотопия. II. , Бык. Амер. Математика. Soc., 55 (1949), 453–496.
• А. Хэтчер, Алгебраическая топология , Cambridge University Press, Кембридж, 2002. xii + 544 стр. ISBN   0-521-79160-X и ISBN   0-521-79540-0 (см. Теорему 4.5)