Векторнозначная функция - Vector-valued function

Вектор-функция , также упоминается как вектор - функции , является математической функцией одного или нескольких переменных, диапазон представляет собой набор многомерных векторов или бесконечных-мерных векторов . Входной вектор-функции может быть скаляром или вектор (то есть размер в области может быть 1 или больше 1); размер области функции не определяется размером диапазона.

Пример: спираль

Типичным примером векторнозначной функции является функция, которая зависит от единственного параметра действительного числа t , часто представляющего время , в результате чего получается вектор v ( t ). С точки зрения стандартных единичных векторов я , J , K из декартовых 3-пространстве , эти типы конкретных векторных функций даются выражениями , таких как

• ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \ mathbf {i} + g (t) \ mathbf {j} + h (t) \ mathbf {k}}$

где е ( т ), г ( т ) и ч ( т ) являются координатные функции по параметру т , а домен этого вектор-функции представляет собой пересечение домена функций F , г и ч . На него также можно ссылаться в другом обозначении:

• ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ langle f (t), g (t), h (t) \ rangle}$

Вектор r ( t ) имеет хвост в начале координат и голову в координатах, вычисленных функцией.

Вектор, показанный на графике справа, представляет собой оценку функции около t = 19,5 (между 6π и 6,5π, т. Е. Несколько больше 3 оборотов). Спираль - это путь, прослеживаемый кончиком вектора при увеличении t от нуля до 8π. ${\ Displaystyle \ langle 2 \ соз т, \, 4 \ грех т, \, т \ рангл}$

В 2D мы можем аналогично говорить о векторных функциях как

• ${\ Displaystyle \ mathbf {г} (т) = е (т) \ mathbf {я} + г (т) \ mathbf {j}}$ или же
• ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ langle f (t), g (t) \ rangle}$

Линейный случай

В линейном случае функцию можно выразить через матрицы :

${\ displaystyle y = Ax + b,}$

где y - выходной вектор размера n × 1 ( n > 1), x - вектор входных данных k × 1 ( k ≥ 1), A - матрица параметров n × k , а b - вектор параметров n × 1. .

Линейный случай возникает часто, например, в множественной регрессии , где, например, вектор n × 1 прогнозируемых значений зависимой переменной выражается линейно через вектор k × 1 ( k < n ) расчетных значений параметров модели: ${\ displaystyle {\ hat {y}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ beta}}}$

${\ displaystyle {\ hat {y}} = X {\ hat {\ beta}},}$

в котором X (играющий роль A в предыдущей общей форме) представляет собой матрицу размера n × k фиксированных (эмпирически обоснованных) чисел.

Параметрическое представление поверхности

Поверхность представляет собой 2-мерное множество точек , встроенных в 3-мерном пространстве. Один из способов представления поверхности - это параметрические уравнения , в которых два параметра s и t определяют три декартовых координаты любой точки на поверхности:

${\ displaystyle (x, y, z) = (е (s, t), g (s, t), h (s, t)) \ эквив F (s, t).}$

Здесь F - вектор-функция.

Производная трехмерной векторной функции

Многие векторные функции, такие как скалярные функции , можно дифференцировать , просто дифференцируя компоненты в декартовой системе координат. Таким образом, если

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \ mathbf {i} + g (t) \ mathbf {j} + h (t) \ mathbf {k}}$

вектор-функция, то

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}} = f '(t) \ mathbf {i} + g' (t) \ mathbf {j} + h '(t) \ mathbf {k}.}$

Производная вектора допускает следующую физическую интерпретацию: если r ( t ) представляет положение частицы, то производная представляет собой скорость частицы

${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = {\ frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}}.}$

Точно так же производная скорости - это ускорение.

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} (t)} {dt}} = \ mathbf {a} (t).}$

Частная производная

Частная производная от векторной функции а по отношению к скалярному переменному ц определяются как

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial a_ {i}} {\ partial q} } \ mathbf {e} _ {i}}$

где _я это скалярная компонента из в направлении е _я . Это также называют направление косинус из и е _I или их скалярное произведение . Векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ образуют ортонормированный базис, закрепленный в системе отсчета, в которой берется производная.

Обычная производная

Если a рассматривается как векторная функция одной скалярной переменной, такой как время t , то приведенное выше уравнение сводится к первой обычной производной по времени от a по t ,

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {a}} {dt}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {da_ {i}} {dt}} \ mathbf {e} _ {я}.}$

Полная производная

Если вектор a является функцией числа n скалярных переменных q _r ( r = 1, ..., n ), и каждый q _r является только функцией времени t , то обычная производная a по t можно выразить в форме, известной как полная производная , как

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {a}} {dt}} = \ sum _ {r = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q_ {r} }} {\ frac {dq_ {r}} {dt}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial t}}.}$

Некоторые авторы предпочитают использовать заглавную букву D для обозначения оператора полной производной, как в D / Dt . Полная производная отличается от частной производной по времени тем, что полная производная учитывает изменения в a из-за отклонения во времени переменных q _r .

Справочные кадры

В то время как для скалярных функций существует только одна возможная система отсчета , для взятия производной векторной функции требуется выбор системы отсчета (по крайней мере, когда фиксированная декартова система координат как таковая не подразумевается). После выбора системы отсчета производная векторнозначной функции может быть вычислена с использованием методов, аналогичных методам вычисления производных скалярных функций. Другой выбор системы отсчета, как правило, дает другую производную функцию. Производные функции в разных системах отсчета имеют определенную кинематическую взаимосвязь .

Производная векторной функции с нефиксированным базисом

Приведенные выше формулы для производной вектор-функции основаны на предположении, что базисные векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ постоянны, то есть зафиксированы в системе отсчета, в которой берется производная от a , и, следовательно, e ₁ , e ₂ , e _{3 производная} каждого тождественно равна нулю. Это часто верно для задач, связанных с векторными полями в фиксированной системе координат, или для простых задач физики. Однако многие сложные проблемы связаны с производной векторной функции в нескольких движущихся системах отсчета , что означает, что базисные векторы не обязательно будут постоянными. В таком случае, когда базисные векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ фиксированы в системе отсчета E, но не в системе отсчета N, более общая формула для обычной производной по времени вектора в системе отсчета N имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d \ mathbf {a}} {dt}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {da_ {i}} {dt}} \ mathbf {e} _ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} a_ {i} {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d \ mathbf {e} _ {i}} {dt}}}$

где верхний индекс N слева от оператора производной указывает систему отсчета, в которой берется производная. Как показано ранее , первый член в правой части равен производной от a в системе отсчета, где e ₁ , e ₂ , e ₃ являются постоянными, в системе отсчета E. Также можно показать, что второй член в системе отсчета правая часть равна относительной угловой скорости креста двух систем отсчета, умноженной на сам вектор a . Таким образом, после подстановки формула, связывающая производную вектор-функции в двух системах отсчета, имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d \ mathbf {a}} {dt}} = {\ frac {{} ^ {\ mathrm {E}} d \ mathbf {a}} {dt}} + {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {\ omega} ^ {\ mathrm {E}} \ times \ mathbf {a}}$

где ^N ω ^E - угловая скорость системы отсчета E относительно системы отсчета N.

Один из распространенных примеров использования этой формулы - определение скорости космического объекта, такого как ракета , в инерциальной системе отсчета с использованием измерений скорости ракеты относительно земли. Скорость ^N v ^R в инерциальной системе отсчета N ракеты R, находящейся в позиции r ^R, может быть найдена по формуле

${\ displaystyle {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d} {dt}} (\ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}) = {\ frac {{} ^ {\ mathrm { E}} d} {dt}} (\ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}) + {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {\ omega} ^ {\ mathrm {E}} \ раз \ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}.}$

где ^N ω ^E - угловая скорость Земли относительно инерциальной системы координат N. Поскольку скорость является производной от положения , ^N v ^R и ^E v ^R являются производными r ^R в системах отсчета N и E, соответственно. Путем подстановки

${\ displaystyle {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {v} ^ {\ mathrm {R}} = {} ^ {\ mathrm {E}} \ mathbf {v} ^ {\ mathrm {R}} + {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {\ omega} ^ {\ mathrm {E}} \ times \ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}}$

где ^E v ^R - вектор скорости ракеты, измеренный из системы отсчета E, привязанной к Земле.

Производное и векторное умножение

Производная произведений векторных функций ведет себя аналогично производной произведений скалярных функций. В частности, в случае скалярного умножения вектора, если p является функцией скалярной переменной от q ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (p \ mathbf {a}) = {\ frac {\ partial p} {\ partial q}} \ mathbf {a} + p {\ frac { \ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}}.}$

В случае умножения точек для двух векторов a и b, которые являются функциями q ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) = {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {b}} {\ partial q}}.}$

Точно так же производная векторного произведения двух векторных функций равна

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {b}} {\ partial q}}.}$

Производная n -мерной вектор-функции

Функцию f действительного числа t со значениями в пространстве можно записать как . Его производная равна ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle е (т) = (е_ {1} (т), е_ {2} (т), \ ldots, е_ {п} (т))}$

${\ displaystyle f '(t) = (f_ {1}' (t), f_ {2} '(t), \ ldots, f_ {n}' (t))}$ .

Если f является функцией нескольких переменных, скажем от , то частные производные компонентов f образуют матрицу, называемую матрицей Якоби f . ${\ Displaystyle т \ ин \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle п \ раз м}$

Бесконечномерные векторные функции

Если значения функции f лежат в бесконечномерном векторном пространстве X , таком как гильбертово пространство , то f можно назвать бесконечномерной векторной функцией .

Функции со значениями в гильбертовом пространстве

Если аргумент f - действительное число, а X - гильбертово пространство, то производная f в точке t может быть определена, как в конечномерном случае:

${\ displaystyle f '(t) = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {f (t + h) -f (t)} {h}}.}$

Большинство результатов, относящихся к конечномерному случаю, также верно и в бесконечномерном случае, mutatis mutandis. Дифференцирование также может быть определено для функций нескольких переменных (например, или даже , где Y - бесконечномерное векторное пространство). ${\ Displaystyle т \ ин \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle t \ in Y}$

NB Если X - гильбертово пространство, то легко показать, что любую производную (и любой другой предел) можно вычислить покомпонентно: если

${\ displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, \ ldots)}$

(т. е., где - ортонормированный базис пространства X ) и существует, то ${\ displaystyle f = f_ {1} e_ {1} + f_ {2} e_ {2} + f_ {3} e_ {3} + \ cdots}$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, \ ldots}$${\ displaystyle f '(t)}$

${\ displaystyle f '(t) = (f_ {1}' (t), f_ {2} '(t), f_ {3}' (t), \ ldots)}$ .

Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существования производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.

Другие бесконечномерные векторные пространства

Большинство выше справедливы и для других топологических векторных пространств X тоже. Однако не так много классических результатов справедливо в контексте банахова пространства , например, абсолютно непрерывная функция со значениями в подходящем банаховом пространстве не обязательно должна иметь производную где-либо. Более того, в большинстве случаев банаховых пространств ортонормированные базисы отсутствуют.

Смотрите также

• Координатный вектор
• Векторное поле
• Изгиб
• Параметрическая поверхность
• Вектор положения
• Параметризация

Заметки

Рекомендации

• Кейн, Томас Р .; Левинсон, Дэвид А. (1996), «Дифференциация векторных функций 1–9», Dynamics Online , Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc., стр. 29–37
• Ху, Чжуан-Гань; Ян, Чунг-Чун (2013), векторные функции и их приложения , Springer Science & Business Media, ISBN   978-94-015-8030-4

Внешние ссылки

• Векторнозначные функции и их свойства (от колледжа Лейк-Тахо)
• Вайсштейн, Эрик В. "Векторная функция" . MathWorld .
• Все 2 статьи
• Трехмерные векторнозначные функции (от Государственного университета Восточного Теннесси)
• Модуль "Позиционные векторные функции" Академии Хана