Параметрическая поверхность - Parametric surface

Параметрическая поверхность представляет собой поверхность в евклидовом пространстве , которое определяется с помощью параметрического уравнения с двумя параметрами . Параметрическое представление - это очень общий способ задания поверхности, а также неявное представление . Поверхности, которые встречаются в двух основных теоремах векторного исчисления , теореме Стокса и теореме о расходимости , часто задаются в параметрической форме. Кривизна и длина дуги из кривых на поверхности, площадь поверхности , геометрические дифференциальные инварианты , такие как первые и второй основные формы, Gaussian , среднего и главные кривизна все могут быть вычислены из данной параметризации. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

Примеры

Тор , созданный уравнениями:

x = r sin v

;

y = (R + r cos v) sin u

;

z = (R + r cos v) cos u

.

Параметрическая поверхность, образующая узел трилистника , детали уравнения в прилагаемом исходном коде.

Самый простой тип параметрических поверхностей - это графики функций двух переменных:
${\ Displaystyle z = е (х, y), \ quad \ mathbf {r} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}$
Рациональная поверхность представляет собой поверхность , которая допускает параметризацию с помощью рациональной функции . Рациональная поверхность - это алгебраическая поверхность . Учитывая алгебраическую поверхность, обычно легче решить, является ли она рациональной, чем вычислить ее рациональную параметризацию, если она существует.
Поверхности вращения дают еще один важный класс поверхностей, которые можно легко параметризовать. Если граф z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b вращается вокруг оси z, то результирующая поверхность имеет параметризацию

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (и, \ фи) = (и \ соз \ фи, и \ грех \ фи, е (и)), \ квад а \ лек и \ лек б, 0 \ лек \ фи < 2 \ pi.}$

Он также может быть параметризован

${\ displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = \ left (u {\ frac {1-v ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u {\ frac {2v} {1) + v ^ {2}}}, f (u) \ right), \ quad a \ leq u \ leq b,}$

показывая, что если функция $f$ рациональна, то поверхность рациональна.
Прямой круговой цилиндр радиуса R относительно оси x имеет следующее параметрическое представление:
${\ displaystyle \ mathbf {r} (x, \ phi) = (x, R \ cos \ phi, R \ sin \ phi).}$
Используя сферические координаты , единичная сфера может быть параметризована следующим образом:

${\ Displaystyle \ mathbf {г} (\ тета, \ фи) = (\ соз \ тета \ грех \ фи, \ грех \ тета \ грех \ фи, \ соз \ фи), \ квад 0 \ лек \ тета <2 \ пи, 0 \ leq \ phi \ leq \ pi.}$

Эта параметризация нарушается на северном и южном полюсах, где азимутальный угол θ не определяется однозначно. Сфера - это рациональная поверхность.

Одна и та же поверхность допускает множество различных параметризаций. Например, координатная плоскость z может быть параметризована как

{\ displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}

для любых констант , Ь , гр , d такие , что объявления - Ьс ≠ 0 , то есть матрица является обратимым . ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$

Локальная дифференциальная геометрия

Локальную форму параметрической поверхности можно проанализировать, рассматривая разложение Тейлора функции, которая параметризует ее. Длину дуги кривой на поверхности и площадь поверхности можно найти с помощью интегрирования .

Обозначение

Пусть параметрическая поверхность задается уравнением

{\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}

где - векторная функция параметров ( u , v ), а параметры меняются в пределах некоторой области D на параметрической uv- плоскости. Первые частные производные по параметрам, как правило , обозначены и аналогично для высших производных, ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r} _ {u}: = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {v},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {uu}, \ mathbf {r} _ {uv}, \ mathbf {r} _ {vv}.}$

В векторном исчислении параметры часто обозначаются ( s , t ), а частные производные записываются с использованием ∂- обозначения:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial s}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial t}}, {\ frac {\ partial ^ {2 } \ mathbf {r}} {\ partial s ^ {2}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {r}} {\ partial s \ partial t}}, {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {r}} {\ partial t ^ {2}}}.}

Касательная плоскость и вектор нормали

Параметризация регулярна для заданных значений параметров, если векторы

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u}, \ mathbf {r} _ {v}}

линейно независимы. Касательная плоскость в регулярной точке является аффинная плоскость в R ³ , порожденное этими векторами и проходящей через точку г ( U , V ) на поверхности , определяемой параметрами. Любой касательный вектор может быть однозначно разлагается в линейную комбинацию из и векторного произведения этих векторов является вектором нормали к касательной плоскости . Разделив этот вектор на его длину, мы получим единичный вектор нормали к параметризованной поверхности в регулярной точке: ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {v}.}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {\ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v}} {\ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right |}}.}

В общем, есть два варианта выбора единичного вектора нормали к поверхности в данной точке, но для регулярной параметризованной поверхности предыдущая формула последовательно выбирает один из них и, таким образом, определяет ориентацию поверхности. Некоторые из дифференциально-геометрических инвариантов поверхности в R ³ определяются самой поверхностью и не зависят от ориентации, в то время как другие меняют знак, если ориентация меняется на противоположную.

Площадь поверхности

Площадь поверхности может быть вычислена путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической плоскости УФ : ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v}}$

{\ Displaystyle A (D) = \ iint _ {D} \ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right | du \, dv.}

Хотя эта формула обеспечивает замкнутое выражение для площади поверхности, для всех поверхностей, кроме очень специальных, это приводит к сложному двойному интегралу , который обычно вычисляется с использованием системы компьютерной алгебры или приближается численно. К счастью, многие общие поверхности образуют исключения, и их области явно известны. Это верно для кругового цилиндра , сферы , конуса , тора и некоторых других поверхностей вращения .

Это также можно выразить как поверхностный интеграл по скалярному полю 1:

{\ Displaystyle \ int _ {S} 1 \, DS.}

Первая фундаментальная форма

Первая фундаментальная формой является квадратичной формой

{\ Displaystyle \ mathrm {I} = E \, du ^ {2} +2 \, F \, du \, dv + G \, dv ^ {2}}

на касательной плоскости к поверхности, которая используется для расчета расстояний и углов. Для параметризованной поверхности ее коэффициенты можно вычислить следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$

{\ displaystyle E = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {u}, \ quad F = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {v} , \ quad G = \ mathbf {r} _ {v} \ cdot \ mathbf {r} _ {v}.}

Длина дуги параметризованных кривых на поверхности S , угол между кривыми на S и площадь поверхности допускают выражения в терминах первой фундаментальной формы.

Если ( u ( t ), v ( t )), a ≤ t ≤ b представляет собой параметризованную кривую на этой поверхности, то ее длина дуги может быть вычислена как интеграл:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E \, u '(t) ^ {2} + 2F \, u' (t) v '(t) + G \, v' ( t) ^ {2}}} \, dt.}

Первую фундаментальную форму можно рассматривать как семейство положительно определенных симметричных билинейных форм на касательной плоскости в каждой точке поверхности, плавно зависящей от этой точки. Эта перспектива помогает вычислить угол между двумя кривыми на S, пересекающимися в данной точке. Этот угол равен углу между касательными векторами к кривым. Первой фундаментальной формой, вычисленной на этой паре векторов, является их скалярное произведение , а угол можно найти по стандартной формуле

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left | \ mathbf {a} \ right | \ left | \ mathbf {b} \ right |}} }

выражая косинус угла через скалярное произведение.

Площадь поверхности может быть выражена в терминах первой фундаментальной формы следующим образом:

{\ Displaystyle A (D) = \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, du \, dv.}

По тождеству Лагранжа выражение под квадратным корнем точно , и поэтому оно строго положительно в регулярных точках. ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right | ^ {2}}$

Вторая фундаментальная форма

{\ Displaystyle \ mathrm {I \! I} = L \, \ mathrm {d} u ^ {2} + 2M \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v + N \, \ mathrm { г} v ^ {2}}

представляет собой квадратичную форму на касательной плоскости к поверхности, которая вместе с первой фундаментальной формой определяет кривизну кривых на поверхности. В частном случае , когда ( U , V ) = ( х , у ) и касательная плоскость к поверхности в данной точке является горизонтальной, вторая основная форма, по существу, квадратичная часть разложения Тейлора по г как функция х и у .

Для общей параметрической поверхности определение более сложное, но вторая фундаментальная форма зависит только от частных производных первого и второго порядка. Его коэффициенты определяются как проекции вторых частных производных на единичный вектор нормали, определяемый параметризацией: ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathbf {п}}}}$

{\ Displaystyle L = \ mathbf {r} _ {uu} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}, \ quad M = \ mathbf {r} _ {uv} \ cdot {\ hat {\ mathbf { n}}}, \ quad N = \ mathbf {r} _ {vv} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}.}.

Подобно первой фундаментальной форме, вторую фундаментальную форму можно рассматривать как семейство симметричных билинейных форм на касательной плоскости в каждой точке поверхности, плавно зависящей от точки.

Кривизна

Первая и вторая фундаментальные формы поверхности определяют ее важные дифференциально-геометрические инварианты : гауссову кривизну , среднюю кривизну и главные кривизны .

Главные кривизны - это инварианты пары, состоящей из второй и первой фундаментальных форм. Они являются корнями κ ₁ , κ ₂ квадратного уравнения

{\ displaystyle \ det (\ mathrm {II} - \ kappa \ mathrm {I}) = 0, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} L- \ kappa E & M- \ kappa F \\ M- \ kappa F & N- \ kappa G \ end {bmatrix}} = 0.}

Гауссова кривизна К = κ ₁κ ₂ и средней кривизны Н = ( κ ₁ + κ ₂ ) / 2 может быть вычислено следующим образом :

{\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}, \ quad H = {\ frac {EN-2FM + GL} {2 (EG-F ^ { 2})}}.}

С точностью до знака эти величины не зависят от используемой параметризации и, следовательно, образуют важные инструменты для анализа геометрии поверхности. Точнее, основные кривизны и средняя кривизна меняют знак, если ориентация поверхности меняется на противоположную, а гауссова кривизна полностью не зависит от параметризации.

Знак гауссовой кривизны в точке определяет форму поверхности вблизи этой точки: при K > 0 поверхность является локально выпуклой и точка называется эллиптической , а при K <0 поверхность седловидной формы, а точка называется гиперболический . Точки, в которых гауссова кривизна равна нулю, называются параболическими . Обычно параболические точки образуют кривую на поверхности, называемую параболической линией . Первая фундаментальная форма положительно определена , поэтому ее определитель EG - F ² положителен всюду. Следовательно, знак K совпадает со знаком LN - M ² , определителя второго фундаментального значения.

Коэффициенты первой фундаментальной формы, представленной выше, могут быть организованы в симметричную матрицу:

{\ displaystyle F_ {1} = {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}.}

То же самое для коэффициентов второй фундаментальной формы , также представленной выше:

{\ displaystyle F_ {2} = {\ begin {bmatrix} L&M \\ M&N \ end {bmatrix}}.}

Определение в настоящее время матрицы , главные кривизны каппа ₁ и каппа ₂ являются собственными значениями от A . ${\ displaystyle A = F_ {1} ^ {- 1} F_ {2}}$

Теперь, если v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) является собственным вектором из A , соответствующий главной кривизны κ ₁ , единичный вектор в направлении называется главным вектором , соответствующий главной кривизна каппы ₁ . ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {1} = v_ {11} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {12} \ mathbf {r} _ {v}}$

Соответственно, если v ₂ = ( V ₂₁ , V ₂₂ ) является собственным вектором из A , соответствующий главной кривизны κ ₂ , единичный вектор в направлении называется главным вектором , соответствующий главной кривизна каппы ₂ . ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {2} = v_ {21} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {22} \ mathbf {r} _ {v}}$

Смотрите также

Внешние ссылки

Java-апплеты демонстрируют параметризацию спиральной поверхности.
m-ART (3d) - приложение для iPad / iPhone для создания и визуализации параметрических поверхностей.

Languages

In other projects