Параметрическое уравнение -Parametric equation

Кривая бабочки может быть определена параметрическими уравнениями x и y .

В математике параметрическое уравнение определяет группу величин как функции одной или нескольких независимых переменных , называемых параметрами . Параметрические уравнения обычно используются для выражения координат точек, составляющих геометрический объект, такой как кривая или поверхность , и в этом случае уравнения в совокупности называются параметрическим представлением или параметризацией (альтернативно пишется как параметризация ) объекта.

Например, уравнения

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos t \\ y & = \ sin t \ end {align}}}

сформируйте параметрическое представление единичного круга , где t — параметр: точка ( x , y ) находится на единичном круге тогда и только тогда , когда существует значение t , такое, что эти два уравнения создают эту точку. Иногда параметрические уравнения для отдельных скалярных выходных переменных объединяются в одно параметрическое уравнение в векторах :

{\ Displaystyle (х, у) = (\ соз т, \ грех т).}

Параметрические представления, как правило, не уникальны (см. Раздел «Примеры в двух измерениях» ниже), поэтому одни и те же величины могут быть выражены несколькими различными параметризациями.

Помимо кривых и поверхностей, параметрические уравнения могут описывать многообразия и алгебраические многообразия большей размерности , причем число параметров равно размерности многообразия или многообразия, а число уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность одна и используется один параметр, для поверхностей размерность два и два параметра и т. д.).

Параметрические уравнения обычно используются в кинематике , где траектория объекта представлена уравнениями, зависящими от времени как параметра. Из-за этого приложения один параметр часто помечается как t ; однако параметры могут представлять другие физические величины (например, геометрические переменные) или могут быть выбраны произвольно для удобства. Параметризации не уникальны; одна и та же кривая может быть задана более чем одним набором параметрических уравнений.

Приложения

Кинематика

В кинематике пути объектов в пространстве обычно описываются параметрическими кривыми, где каждая пространственная координата явно зависит от независимого параметра (обычно времени). Используемый таким образом набор параметрических уравнений для координат объекта в совокупности составляет векторную функцию для положения. Затем такие параметрические кривые можно интегрировать и дифференцировать почленно. Таким образом, если положение частицы описывается параметрически как

{\ Displaystyle \ mathbf {г} (т) = (х (т), у (т), г (т))}

то его скорость можно найти как

{\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = \ mathbf {r} '(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))}

и его ускорение как

{\ displaystyle \ mathbf {a} (t) = \ mathbf {r} ''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t))}

.

Системы автоматизированного проектирования

Еще одно важное применение параметрических уравнений — в области автоматизированного проектирования (САПР). Например, рассмотрим следующие три представления, каждое из которых обычно используется для описания плоских кривых .

Тип	Форма	Пример	Описание
Явный	${\ Displaystyle у = е (х) \, \!}$	${\ Displaystyle у = мх + Ь \, \!}$	Линия
Скрытый	${\ Displaystyle е (х, у) = 0 \, \!}$	${\ Displaystyle \ влево (ха \ вправо) ^ {2} + \ влево (yb \ вправо) ^ {2} = г ^ {2}}$	Круг
параметрический	${\ displaystyle x = {\ frac {g (t)} {w (t)}}; \, \!}$ ${\ Displaystyle у = {\ гидроразрыва {ч (т)} {ш (т)}}}$	${\ Displaystyle х = а_ {0} + а_ {1} т; \, \!}$ ${\ Displaystyle у = b_ {0} + b_ {1} т \, \!}$	Линия
параметрический		${\ Displaystyle х = а + г \, \ соз т; \, \!}$ ${\ Displaystyle у = б + г \, \ грех т \, \!}$	Круг

Каждое представление имеет свои преимущества и недостатки для приложений САПР.

Явное представление может быть очень сложным или даже не существовать. Более того, он плохо себя ведет при геометрических преобразованиях и, в частности, при вращениях . С другой стороны, поскольку параметрическое уравнение и неявное уравнение могут быть легко выведены из явного представления, когда существует простое явное представление, оно имеет преимущества обоих других представлений.

Неявные представления могут затруднить создание точек на кривой и даже решить, существуют ли реальные точки. С другой стороны, они хорошо подходят для определения того, находится ли данная точка на кривой, находится ли она внутри или снаружи замкнутой кривой.

Такие решения могут быть трудными с параметрическим представлением, но параметрические представления лучше всего подходят для создания точек на кривой и для ее построения.

Целочисленная геометрия

Многочисленные задачи целочисленной геометрии можно решить с помощью параметрических уравнений. Классическим таким решением является параметризация Евклидом прямоугольных треугольников таким образом, что длины их сторон $a, b$ и их гипотенуза $c$ являются взаимно простыми целыми числами . Поскольку a и b не оба четны (иначе $a, b$ и $c$ не были бы взаимно простыми), их можно поменять местами, чтобы получить $четное$ , и тогда параметризация будет

{\ displaystyle a = 2mn, \ \ b = m ^ {2} -n ^ {2}, \ \ c = m ^ {2} + n ^ {2},}

где параметры $m$ и $n$ — положительные взаимно простые целые числа, не являющиеся одновременно нечетными.

Умножая $a, b$ и $c$ на произвольное положительное целое число, можно получить параметризацию всех прямоугольных треугольников, три стороны которых имеют целые длины.

Имплицитизация

Преобразование набора параметрических уравнений в одно неявное уравнение включает исключение переменной из одновременных уравнений . Этот процесс называется имплицитизацией . Если одно из этих уравнений можно решить для t , полученное выражение можно подставить в другое уравнение, чтобы получить уравнение, включающее только x и y : решение для получения и использование этого в дает явное уравнение , в то время как более сложные случаи дадут неявное уравнение вида ${\ Displaystyle т}$ ${\ Displaystyle х = е (т), \ у = г (т).}$ ${\ Displaystyle у = г (т)}$ ${\ Displaystyle т = г ^ {- 1} (у)}$ ${\ Displaystyle х = е (т)}$ ${\ Displaystyle х = е (г ^ {- 1} (у)),}$ ${\ Displaystyle ч (х, у) = 0.}$

Если параметризация задана рациональными функциями

{\ displaystyle x = {\ frac {p (t)} {r (t)}}, \ qquad y = {\ frac {q (t)} {r (t)}},}

где $p, q, r$ - взаимно простые полиномы по множеству, результирующее вычисление позволяет имплицитизировать. Точнее, неявное уравнение является результантом относительно $t$ из $xr (t) - p (t)$ и $yr (t) - q (t)$

В более высоких измерениях (либо более двух координат, либо более одного параметра) имплицитизация рациональных параметрических уравнений может быть выполнена с помощью вычисления базиса Грёбнера ; см. базис Грёбнера § Имплицитизация в более высоком измерении .

На примере круга радиуса a параметрические уравнения

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \ cos (t) \\ y & = a \ sin (t) \ end {align}}}

может быть имплицитно выражено в терминах x и y посредством пифагорейского тригонометрического тождества :

В качестве

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {x} {a}} & = \ cos (t) \\ {\ frac {y} {a}} & = \ sin (t) \\\ end { выровнено}}}

а также

{\ Displaystyle \ соз (т) ^ {2} + \ грех (т) ^ {2} = 1,}

мы получаем

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {a}} \ right) ^ {2} = 1,}

и поэтому

{\ Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} = а ^ {2},}

которое является стандартным уравнением окружности с центром в начале координат.

Примеры в двух измерениях

Парабола

Простейшее уравнение параболы ,

{\ Displaystyle у = х ^ {2} \,}

может быть (тривиально) параметризовано с помощью свободного параметра t и установки

{\ displaystyle x = t, y = t ^ {2} \ quad \ mathrm {for} - \ infty <t <\ infty. \,}

Явные уравнения

В более общем случае любая кривая, заданная явным уравнением

{\ Displaystyle у = е (х) \,}

может быть (тривиально) параметризовано с помощью свободного параметра t и установки

{\ displaystyle x = t, y = f (t) \ quad \ mathrm {for} - \ infty <t <\ infty. \,}

Круг

Более сложный пример следующий. Рассмотрим единичный круг, который описывается обычным (декартовым) уравнением

{\ Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} = 1. \,}

Это уравнение можно параметризовать следующим образом:

{\ displaystyle (x, y) = (\ cos (t), \; \ sin (t)) \ quad \ mathrm {for} \ 0 \ leq t <2 \ pi. \,}

С помощью декартова уравнения легче проверить, лежит ли точка на окружности или нет. С параметрической версией проще получить точки на графике.

В некоторых контекстах предпочтительны параметрические уравнения, включающие только рациональные функции (то есть доли двух многочленов ), если они существуют. В случае круга такая рациональная параметризация есть

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \\ y & = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2 }}}\end{выровнено}}.}

В этой паре параметрических уравнений точка $(-1, 0)$ представлена не действительным значением $t$ , а пределом $x$ и $y$ , когда $t$ стремится к бесконечности .

Эллипс

Эллипс в каноническом положении (центр в начале координат, большая ось вдоль оси X ) с полуосями a и b может быть параметрически представлен как

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \, \ cos t \\ y & = b \, \ sin t. \ end {align}}}

Эллипс в общем положении можно представить как

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = X_ {c} + a \, \ cos t \, \ cos \ varphi -b \, \ sin t \, \ sin \ varphi \\ y & = Y_ {c} + a\,\cos t\,\sin \varphi +b\,\sin t\,\cos \varphi \end{aligned}}}

при изменении параметра t от 0 до 2 $π$ . Здесь — центр эллипса, а — угол между -осью и большой осью эллипса. ${\ Displaystyle (X_ {с}, Y_ {с})}$ ${\ Displaystyle \ варфи}$ ${\ Displaystyle Х}$

Обе параметризации можно сделать рациональными , используя формулу тангенса половинного угла и установив ${\ displaystyle \ tan {\ frac {t} {2}} = u.}$

Кривая Лиссажу

Кривая Лиссажу, где и .

{\ Displaystyle к_ {х} = 3}

{\ Displaystyle к_ {у} = 2}

Кривая Лиссажу похожа на эллипс, но синусоиды x и y не совпадают по фазе. В каноническом положении кривая Лиссажу имеет вид

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \, \ cos (k_ {x} t) \\ y & = b \, \ sin (k_ {y} t) \ end {align}}}

где и – константы, описывающие количество лепестков фигуры. ${\ Displaystyle к_ {х}}$ ${\ Displaystyle к_ {у}}$

Гипербола

Гипербола , открывающаяся с востока на запад , может быть представлена параметрически как

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \ sec t + h \\ y & = b \ tan t + k \ end {align}} \ quad}

или, рационально

{\ displaystyle \ quad {\ begin {align} x & = a {\ frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2}}} + h \\ y & = b {\ frac {2t} { 1-t^{2}}}+k\end{выровнено}}}

Гиперболу, открывающуюся с севера на юг, можно параметрически представить как

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x = b \ tan t + h \\ y = a \ sec t + k \\\ end {matrix}} \ quad}

или, рационально

{\ displaystyle \ quad {\ begin {matrix} x = b {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}} + h \\ y = a {\ frac {1 + t ^ {2}} { 1-t^{2}}}+k\\\end{матрица}}}

Во всех этих формулах ( h , k ) — координаты центра гиперболы, a — длина большой полуоси, b — длина малой полуоси.

Гипотрохоидный

Гипотрохоида — это кривая, описываемая точкой, прикрепленной к окружности радиуса r , вращающейся внутри фиксированной окружности радиуса R , где точка находится на расстоянии d от центра внутренней окружности.

Гипотрохоида, для которой r = d
Гипотрохоида, для которой R = 5, r = 3, d = 5

Параметрические уравнения для гипотрохоиды:

{\ displaystyle {\ begin {align} x (\ theta) & = (Rr) \ cos \ theta + d \ cos \ left ({Rr \ over r} \ theta \ right) \\ y (\ theta) & = (Rr)\sin\theta -d\sin\left({Rr\over r}\theta\right)\end{выровнено}}}

Некоторые сложные функции

Показаны другие примеры:

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = [ab] \ cos (t) \ + b \ cos \ left [t \ left ({\ frac {a} {b}} -1 \ right) \ right] \ \ y & = [ab] \ sin (t) \ -b \ sin \ left [t \ left ({\ frac {a} {b}} -1 \ right) \ right], \ k = {\ frac {a }{b}}\end{выровнено}}}

Несколько графиков по вариации k

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos (at) - \ cos (bt) ^ {j} \\ y & = \ sin (ct) - \ sin (dt) ^ {k} \ end {align} }}

j = 3, к = 3
j = 3, к = 3
j = 3, к = 4
j = 3, к = 4
j = 3, к = 4

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = i \ cos (at) - \ cos (bt) \ sin (ct) \\ y & = j \ sin (dt) - \ sin (et) \ end {выровнено}} }

я = 1, j = 2

Примеры в трех измерениях

Анимированная параметрическая спираль

спираль

Параметрическая спираль

Параметрические уравнения удобны для описания кривых в многомерных пространствах. Например:

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \ cos (t) \\ y & = a \ sin (t) \\ z & = bt \, \ end {align}}}

описывает трехмерную кривую, спираль , с радиусом a и возрастающей на 2π b единиц за оборот. Уравнения на плоскости идентичны уравнениям для окружности. Такие выражения, как приведенное выше, обычно записываются как

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x (t), y (t), z (t)) = (a \ cos (t), a \ sin (t), bt),}

где r — трехмерный вектор.

Параметрические поверхности

Тор с большим радиусом R и малым радиусом r может быть определен параметрически как

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos (t) \ left (R + r \ cos (u) \ right), \\ y & = \ sin (t) \ left (R + r \ cos (u) )\справа),\\z&=r\sin(u).\end{выровнено}}}

где оба параметра t и u изменяются от 0 до 2π.

р = 2, г = 1/2

При изменении u от 0 до 2π точка на поверхности движется по короткому кругу, проходящему через отверстие в торе. При изменении t от 0 до 2π точка на поверхности движется по длинному кругу вокруг отверстия в торе.

Примеры с векторами

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельно вектору , имеет вид ${\ Displaystyle \ влево (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} \ вправо)}$ ${\ displaystyle a {\ hat {\ mathbf {i}}} + b {\ hat {\ mathbf {j}}} + c {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {0} + at \\ y & = y_ {0} + bt \\ z & = z_ {0} + ct \ end {align}}}

Смотрите также

Заметки

^ ^a ^b ^c Вайсштейн, Эрик В. «Параметрические уравнения» . Мир Математики .
^ Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Эддисон-Уэсли . п. 91.
^ Никамп, Дуэйн. "Пример параметризации плоскости" . mathinsight.org . Проверено 14 апреля 2017 г. .
^ Шпицбарт, Авраам (1975). Исчисление с аналитической геометрией . Глевью, Иллинойс: Скотт, Форесман и компания. ISBN 0-673-07907-4. Проверено 30 августа 2015 г. .
^ Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление (5-е изд.). Белмонт, Калифорния: Thomson Learning, Inc., стр. 687–689 . ISBN 0-534-39339-Х.
^ Шах, Джами Дж .; Мартти Мантила (1995). Параметрические и поэлементные CAD/CAM: концепции, методы и приложения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
^ Исчисление: одно- и многомерное . Джон Уайли. 2012-10-29. п. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .

внешние ссылки

[MathWorld-1] Вайсштейн, Эрик В. «Параметрические уравнения» . Мир Математики .

[2] Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Эддисон-Уэсли . п. 91.

[3] Никамп, Дуэйн. "Пример параметризации плоскости" . mathinsight.org . Проверено 14 апреля 2017 г. .

[4] Шпицбарт, Авраам (1975). Исчисление с аналитической геометрией . Глевью, Иллинойс: Скотт, Форесман и компания. ISBN 0-673-07907-4. Проверено 30 августа 2015 г. .

[5] Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление (5-е изд.). Белмонт, Калифорния: Thomson Learning, Inc., стр. 687–689 . ISBN 0-534-39339-Х.

[6] Шах, Джами Дж .; Мартти Мантила (1995). Параметрические и поэлементные CAD/CAM: концепции, методы и приложения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.

[7] Исчисление: одно- и многомерное . Джон Уайли. 2012-10-29. п. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .

Languages

In other projects