Гипотеза Воота - Vaught conjecture

Гипотеза Воота - это гипотеза в математической области теории моделей, первоначально предложенная Робертом Лоусоном Воотом в 1961 году. Она утверждает, что количество счетных моделей полной теории первого порядка на счетном языке конечно или ℵ 0 или 2 ℵ 0 . Морли показал, что число счетных моделей конечно или 0, или ℵ 1, или 2 ℵ 0 , что решает гипотезу, за исключением случая ℵ 1 моделей, когда гипотеза континуума не выполняется. Для этого оставшегося случая Робин Найт ( 2002 , 2007 ) анонсировал контрпример к гипотезе Воота и топологической гипотезе Воота. По состоянию на 2016 год контрпример не подтвержден.

Формулировка гипотезы

Позвольте быть счетной полной теории первого порядка с бесконечными моделями. Обозначим через число моделей T мощности с точностью до изоморфизма, спектр теории . Морли доказал, что если I ( T , ℵ 0 ) бесконечно, то оно должно быть ℵ 0 или 1 или мощностью континуума. Гипотеза Воота - это утверждение, что это невозможно . Гипотеза является тривиальным следствием гипотезы континуума ; поэтому эта аксиома часто исключается при работе над гипотезой. В качестве альтернативы существует более острая форма гипотезы, которая утверждает, что любое счетное полное T с несчетным числом счетных моделей будет иметь совершенный набор несчетных моделей (как указано Джоном Стилом в "Гипотезе On Vaught". Семинар Кабала 76-77 ( Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), стр. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, эта форма гипотезы Воута совместима с исходной).

Оригинальная рецептура

Первоначальная формулировка Воота была сформулирована не как гипотеза, а как проблема: можно ли доказать без использования гипотезы континуума, что существует полная теория, имеющая ровно ℵ 1 неизоморфных счетных моделей? Согласно результату Морли, упомянутому в начале, положительное решение гипотезы по существу соответствует отрицательному ответу на проблему Воота, как это было первоначально сформулировано.

Теорема воота

Воот доказал, что количество счетных моделей полной теории не может быть 2. Это может быть любое конечное число, кроме 2, например:

  • Любая полная теория с конечной моделью не имеет счетных моделей.
  • Теории с одной счетной моделью являются ω-категоричными теориями . Их много, например теория бесконечного множества или теория плотного неограниченного полного порядка .
  • Эренфойхт привел следующий пример теории с 3 счетными моделями: в языке есть отношение ≥ и счетное число констант c 0 , c 1 , ... с аксиомами, утверждающими, что ≥ является плотным неограниченным полным порядком, а c 0 < c 1 < c 2 <... Три модели различаются в зависимости от того , является ли эта последовательность неограниченной, или сходящейся , или ограниченной, но не сходящейся.
  • Пример Эренфойхта можно модифицировать, чтобы получить теорию с любым конечным числом  моделей n ≥ 3, добавив к языку n  - 2 унарных отношений P i с аксиомами, утверждающими, что для каждого x истинно ровно одно из P i , значения y, для которых P i ( y ) истинно, плотны, а P 1 истинно для всех c i . Затем модели, для которых последовательность элементов c i сходится к пределу c, разбиваются на n  - 2 случая в зависимости от того, для какого i верно соотношение P i ( c ).

Идея доказательства теоремы Воота состоит в следующем. Если существует не более чем счетное количество счетных моделей, то существует самая маленькая: атомарная модель , и самая большая, насыщенная модель , которые отличаются, если существует более одной модели. Если они различны, насыщенная модель должна реализовывать некоторый n -тип, опущенный атомарной моделью. Тогда можно показать, что атомарная модель теории структур, реализующая этот n -тип (на языке, расширенном конечным числом констант), является третьей моделью, не изоморфной ни атомарной, ни насыщенной модели. В приведенном выше примере с 3 моделями атомарная модель - это модель, в которой последовательность не ограничена, насыщенная модель - это модель, в которой последовательность не сходится, а пример типа, не реализованного атомарной моделью, - это элемент, больший, чем все элементы последовательности.

Топологическая гипотеза Воота

Топологическая гипотеза Воота - это утверждение, что всякий раз, когда польская группа действует непрерывно на польском пространстве , существует либо счетное количество орбит, либо континуум многих орбит. Топологическая гипотеза Воота является более общей, чем исходная гипотеза Воота: учитывая счетный язык, мы можем сформировать пространство всех структур натуральных чисел для этого языка. Если снабдить его топологией, порожденной формулами первого порядка, то она известна из А. Грегорчика , А. Мостовского , К. Рылль-Нардзевского , "Определимость множеств моделей аксиоматических теорий" ( Бюллетень Польской академии наук. Наук (серия Mathematics, Astronomy, Physics) , vol. 9 (1961), pp. 163–7), что полученное пространство является польским. Существует непрерывное действие бесконечной симметрической группы (совокупность всех перестановок натуральных чисел с топологией поточечной сходимости), которое порождает отношение эквивалентности изоморфизма. Учитывая полную теорию первого порядка T , множество структур, удовлетворяющих T, является минимальным замкнутым инвариантным множеством и, следовательно, польским само по себе.

Смотрите также

использованная литература

  • Рыцарь, RW (2002), Гипотеза Воота: Контрпример , рукопись
  • Knight, RW (2007), "Категории топологических пространств и рассеянные теорий" , Нотр - Дам Журнал формальной логики , 48 (1): 53-77, DOI : 10,1305 / ndjfl / 1172787545 , ISSN  0029-4527 , MR  2289897
  • Р. Воот, "Счетные модели полных теорий", Инфинитистические методы (Proc. Symp. Foundations Math., Варшава, 1959), Варшава / Pergamon Press (1961), стр. 303–321
  • Харрингтон, Лео ; Маккай, Михаил ; Сала, Saharon (1984), "Доказательство гипотезы Воота для со-стабильных теорий", Израиль Журнал математики , 49 : 259-280, DOI : 10.1007 / BF02760651
  • Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: Введение , Тексты для выпускников по математике, 217 , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6, Zbl  1003,03034