Категориальная теория - Categorical theory
В математической логике , теория является категоричным , если оно имеет ровно одну модель ( с точностью до изоморфизма ). Такую теорию можно рассматривать как определяющую ее модель, однозначно характеризующую ее структуру.
В логике первого порядка категоричными могут быть только теории с конечной моделью. Логика высшего порядка содержит категориальные теории с бесконечной моделью. Так , например, второй порядок Аксиома Пеано категорична, имеющая уникальную модель которого домен является множеством натуральных чисел ℕ .
В теории моделей понятие категориальной теории уточняется по мощности . Теория является κ - категорична (или категорично κ ) , если она имеет ровно одна модель мощности каппа с точностью до изоморфизма. Теорема Морли о категоричности - это теорема Майкла Д. Морли ( 1965 ), утверждающая, что если теория первого порядка в счетном языке категорична в некоторой несчетной мощности , то она категорична во всех несчетных мощностях.
Сахарон Шелах ( 1974 ) распространил теорему Морли на бесчисленные языки: если язык имеет мощность κ и теория категорична в некотором несчетном кардинале, большем или равном κ, то она категорична во всех мощностях больше, чем κ .
История и мотивация
Освальд Веблен в 1904 году определил теорию как категоричную, если все ее модели изоморфны. Из приведенного выше определения и теоремы Левенгейма – Сколема следует, что любая теория первого порядка с моделью бесконечной мощности не может быть категоричной. Тогда сразу же возникает более тонкое понятие κ- категоричности, которое задает вопрос: для каких кардиналов κ существует ровно одна модель мощности κ данной теории T с точностью до изоморфизма? Это глубокий вопрос, и значительный прогресс был достигнут только в 1954 году, когда Ежи Лос заметил, что, по крайней мере, для полных теорий T над счетными языками с хотя бы одной бесконечной моделью, он мог найти только три способа, чтобы T было κ- категоричным в некоторых случаях. κ :
- T является абсолютно категоричен , т.е. T есть κ -категоричные для всех бесконечных кардиналов каппы .
- T является неисчислимо категоричен , т.е. T есть κ -категоричной тогда и только тогда , когда κ является несчетным кардинальным.
- T является счетно категорична , т.е. T есть κ -категоричных тогда и только тогда , когда κ счетный кардинал.
Другими словами, он заметил, что во всех случаях, которые он мог придумать, κ- категоричность для любого одного несчетного кардинала подразумевает κ- категоричность для всех других бесчисленных кардиналов. Это наблюдение стимулировало большое количество исследований в 1960-х годах, которые в конечном итоге привели к знаменитому результату Майкла Морли о том, что на самом деле это единственные возможности. Впоследствии эта теория была расширена и уточнена Сахароном Шелахом в 1970-х годах и позже, что привело к теории устойчивости и более общей программе теории классификации Шелаха .
Примеры
Не так много естественных примеров теорий, категоричных в каком-то бесчисленном количестве. Известные примеры включают:
- Теория чистой идентичности (без функций, констант, предикатов, кроме «=» или аксиом).
- Классический пример - теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики . Категоричность не означает, что все алгебраически замкнутые поля характеристики 0 размером с комплексные числа C совпадают с C ; он только утверждает , что они изоморфны как поля в C . Отсюда следует, что хотя пополненные p-адические замыкания C p все изоморфны как поля C , они могут (и фактически имеют) совершенно разные топологические и аналитические свойства. Теория алгебраически замкнутых полей данной характеристики не категорична в со (счетном бесконечном кардинале); существуют модели степени трансцендентности 0, 1, 2, ..., ω .
- Векторные пространства над заданным счетным полем. Сюда входят абелевы группы заданного простого показателя (по сути, такие же, как векторные пространства над конечным полем) и делимые абелевы группы без кручения (по сути, такие же, как векторные пространства над рациональными числами ).
- Теория множества натуральных чисел с функцией-преемником.
Есть также примеры теорий, категоричных по ω, но не категоричных по несчетным кардиналам. Простейшим примером является теория отношения эквивалентности с ровно двумя классами эквивалентности , оба из которых бесконечны. Другой пример - теория плотных линейных порядков без концов; Кантор доказал, что любой такой счетный линейный порядок изоморфен рациональным числам.
Характеристики
Всякая категориальная теория завершена . Однако обратное неверно.
Любая теория T, категоричная относительно некоторого бесконечного кардинала κ , очень близка к завершенности. Точнее, тест Лось – Воота утверждает, что если выполнимая теория не имеет конечных моделей и категорична в некотором бесконечном кардинальном κ, по крайней мере, равном мощности ее языка, то теория завершена. Причина в том, что все бесконечные модели эквивалентны некоторой модели кардинального κ по теореме Лёвенгейма – Сколема , и поэтому все эквивалентны, поскольку теория категорична по κ . Таким образом, теория завершена, поскольку все модели эквивалентны. Предположение об отсутствии в теории конечных моделей необходимо.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования в области логики и основ математики, Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Corcoran, Джон (1980), "категоричность", История и философия логики , 1 (1-2): 187-207, DOI : 10,1080 / 01445348008837010
- Ходжес, Уилфрид, "Теория моделей первого порядка", Стэнфордская энциклопедия философии (издание летом 2005 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
- Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: Введение , Тексты для выпускников по математике , 217 , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6, Zbl 1003,03034
- Монк, Дж. Дональд (1976), математическая логика , Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4684-9452-5
- Морли, Майкл (1965), "Категоричность в силе", Труды Американского математического общества , Труды Американского математического общества, Vol. 114, N 2, 114 (2): 514-538, DOI : 10,2307 / 1994188 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994188
- Палютин, Е.А. (2001) [1994], "Категоричность по мощности" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Шелах, Сахарон (1974), «Категоричность бесчисленных теорий», Труды симпозиума Тарского (Proc. Sympos. Pure Math., Том XXV, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния, 1971) , Труды симпозиумов в чистом виде. Математика, 25 , Providence, RI: американское математическое общество , стр 187-203,. дои : 10,1090 / pspum / 025/0373874 , ISBN 9780821814253, MR 0373874
- Шелах, Сахарон (1990) [1978], Теория классификации и количество неизоморфных моделей , Исследования по логике и основам математики (2-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9 (IX, 1.19, стр.49)
- Веблен, Освальд (1904), «Система аксиом для геометрии», Труды Американского математического общества , Труды Американского математического общества, Vol. 5, № 3, 5 (3): 343-384, DOI : 10,2307 / 1986462 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986462