Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера - Theoretical and experimental justification for the Schrödinger equation

Теоретическое и экспериментальное обоснование для уравнения Шредингера мотивирует открытие уравнения Шредингера , уравнение , которое описывает динамику нерелятивистских частиц. Мотивация использует фотоны , которые являются релятивистскими частицами с динамикой, описываемой уравнениями Максвелла , как аналог для всех типов частиц.

Эта статья написана для аспирантов. Для более общего введения в тему см. Введение в квантовую механику .

Классические электромагнитные волны

Природа света

Квантовая частица света называется фотоном . Свет имеет как волнообразный и частицу -подобных природы. Другими словами, в некоторых экспериментах свет может состоять из фотонов (частиц), а в других экспериментах свет может действовать как волны. Динамика классических электромагнитных волн полностью описывается уравнениями Максвелла , классическим описанием электродинамики . При отсутствии источников уравнения Максвелла могут быть записаны в виде волновых уравнений в векторах электрического и магнитного полей . Таким образом, уравнения Максвелла описывают, среди прочего, волновые свойства света. Когда "классический" (когерентный или тепловой) свет падает на фотографическую пластину или ПЗС-матрицу, среднее количество "попаданий", "точек" или "щелчков" в единицу времени, что в результате, приблизительно пропорционально квадрату электромагнитных полей. света. По формальной аналогии волновую функцию материальной частицы можно использовать для нахождения плотности вероятности, возведя ее абсолютное значение в квадрат. В отличие от электромагнитных полей, квантово-механические волновые функции сложны. (Часто в случае электромагнитных полей для удобства используются комплексные обозначения, но подразумевается, что на самом деле поля реальны. Однако волновые функции действительно сложны.)

Уравнения Максвелла были полностью известны ко второй половине девятнадцатого века. Поэтому динамические уравнения для света были хорошо известны задолго до открытия фотона. Это неверно для других частиц, таких как электрон . На основе взаимодействия света с атомами было сделано предположение, что электроны также имеют как частицу, так и волнообразную природу. Ньютоновская механика , описание подобного частицам поведения макроскопических объектов, не смогла описать очень маленькие объекты, такие как электроны. Абдуктивное рассуждение было выполнено для получения динамики массивных объектов (частиц с массой ), таких как электроны. Уравнение электромагнитной волны , уравнение, описывающее динамику света, было использовано в качестве прототипа для открытия уравнения Шредингера , уравнения, описывающего волновую и частичную динамику нерелятивистских массивных частиц.

Плоские синусоидальные волны

Уравнение электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакууме . Однородная форма уравнения, написанные в терминах либо электрического поля Е или магнитного поля B , принимает вид:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} \ - \ {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {E} \ over \ partial t ^ {2}} \ \ = \ \ 0}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} \ - \ {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {B} \ over \ partial t ^ {2}} \ \ = \ \ 0}$

где c - скорость света в среде. В вакууме c = 2,998 × 10 ⁸ метров в секунду, что соответствует скорости света в свободном пространстве .

Магнитное поле связано с электрическим полем через закон Фарадея ( единицы сгс ).

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {1 \ over c} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$.

Плосковолновое решение уравнения электромагнитной волны

Плоскость синусоидальное решение для электромагнитной волны , распространяющейся в направлении г является ( СГС и единицы СИ )

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mid \ mathbf {E} \ mid \ mathrm {Re} \ left \ {| \ zeta \ rangle \ exp \ left [я \ left ( kz- \ omega t \ right) \ right] \ right \} \ Equiv \ mid \ mathbf {E} \ mid \ mathrm {Re} \ left \ {| \ phi \ rangle \ right \}}$

для электрического поля и

${\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {\ mathbf {z}}} \ times \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}$

для магнитного поля, где k - волновое число ,

${\ displaystyle \ omega _ {} ^ {} = ck}$

- угловая частота волны, - скорость света . Шляпки на векторах обозначают единичные векторы в направлениях x, y и z. В сложных обозначениях величина - это амплитуда волны. ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mid \ mathbf {E} \ mid}$

Вот

${\ displaystyle | \ zeta \ rangle \ Equiv {\ begin {pmatrix} \ zeta _ {x} \\\ zeta _ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (я \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ end {pmatrix}}}$

- вектор Джонса в плоскости xy. Обозначение этого вектора является Бра и кет из Дирака , которая обычно используется в квантовом контексте. Квантовые обозначения используются здесь в ожидании интерпретации вектора Джонса как вектора квантового состояния. Углы - это угол, который электрическое поле составляет с осью x и двумя начальными фазами волны соответственно. ${\ displaystyle \ theta, \; \ alpha _ {x}, \; {\ mbox {and}} \; \ alpha _ {y}}$

Количество

${\ Displaystyle | \ фи \ rangle = \ ехр \ влево [я \ влево (kz- \ омега т \ вправо) \ вправо] | \ дзета \ рангл}$

- вектор состояния волны. Он описывает поляризацию волны, а также пространственную и временную функциональность волны. Для светового луча когерентного состояния настолько тусклого, что его среднее число фотонов намного меньше 1, это приблизительно эквивалентно квантовому состоянию одиночного фотона.

Энергия, импульс и угловой момент электромагнитных волн

Плотность энергии классических электромагнитных волн

Энергия в плоской волне

Энергия на единицу объема в классических электромагнитных полей (СГС)

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {1} {8 \ pi}} \ left [\ mathbf {E} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {B} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) \ right]}$.

Для плоской волны, преобразованной в комплексные обозначения (и, следовательно, деления на коэффициент 2), это становится

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} {8 \ pi}}}$

где энергия была усреднена по длине волны.

Доля энергии в каждом компоненте

Доля энергии в x-компоненте плоской волны (в предположении линейной поляризации) равна

${\ displaystyle f_ {x} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta} {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}}} = \ phi _ {x} ^ {*} \ phi _ {x}}$

с аналогичным выражением для компонента y.

Доля в обоих компонентах равна

${\ displaystyle \ phi _ {x} ^ {*} \ phi _ {x} + \ phi _ {y} ^ {*} \ phi _ {y} = \ langle \ phi | \ phi \ rangle = 1}$.

Плотность импульса классических электромагнитных волн

Плотность импульса задается вектором Пойнтинга

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {P}}} = {1 \ более 4 \ pi c} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r }, t)}$.

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении z, импульс находится в направлении z и связан с плотностью энергии:

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} с = {\ mathcal {E}} _ {c}}$.

Плотность импульса была усреднена по длине волны.

Плотность углового момента классических электромагнитных волн

Плотность углового момента равна

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {L}}} = \ mathbf {r} \ times {\ boldsymbol {\ mathcal {P}}} = {1 \ over 4 \ pi c} \ mathbf {r} \ times \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) \ right]}$.

Для синусоидальной плоской волны угловой момент направлен в направлении z и определяется выражением (переход к комплексным обозначениям)

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {{\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} \ over {8 \ pi \ omega}} \ left (\ mid \ langle R | \ phi \ rangle \ mid ^ {2} - \ mid \ langle L | \ phi \ rangle \ mid ^ {2} \ right) = {1 \ over \ omega} {\ mathcal {E}} _ {c} \ left (\ mid \ phi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ phi _ {L} \ mid ^ {2} \ right)}$

где снова плотность усредняется по длине волны. Здесь правые и левые единичные векторы с круговой поляризацией определяются как

${\ displaystyle | R \ rangle \ Equiv {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}}}$

и

${\ displaystyle | L \ rangle \ Equiv {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}$.

Унитарные операторы и сохранение энергии

Волна может быть преобразована, например, проходя через кристалл с двойным лучепреломлением или через щели в дифракционной решетке . Мы можем определить преобразование состояния из состояния в момент времени t в состояние во время как ${\ Displaystyle (т + \ тау)}$

${\ Displaystyle | \ фи (т + \ тау) \ rangle = {\ шляпа {U}} (\ тау) | \ фи (т) \ rangle}$.

Для сохранения энергии в волне нам требуется

${\ Displaystyle \ langle \ phi (t + \ tau) | \ phi (t + \ tau) \ rangle = \ langle \ phi (t) | {\ hat {U}} ^ {\ dagger} (\ tau) {\ hat {U}} (\ tau) | \ phi (t) \ rangle = \ langle \ phi (t) | \ phi (t) \ rangle = 1}$

где - сопряженная к U комплексно сопряженная транспонированная матрица. ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$

Это означает, что преобразование, сохраняющее энергию, должно подчиняться

${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ dagger} {\ hat {U}} = I}$

где I - тождественный оператор, а U - унитарный оператор . Унитарность необходима для обеспечения энергосбережения при государственных преобразованиях.

Эрмитовы операторы и сохранение энергии

Если - бесконечно малая действительная величина , то унитарное преобразование очень близко к единичной матрице (конечное состояние очень близко к начальному состоянию) и может быть записано ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle dt}$

${\ displaystyle {\ hat {U}} \ приблизительно Ii {\ hat {H}} \ tau}$

и присоединенный

${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ dagger} \ приблизительно I + i {\ hat {H}} ^ {\ dagger} \ tau}$.

Множитель i введен для удобства. С этим соглашением будет показано, что сохранение энергии требует, чтобы H был эрмитовым оператором и что H связано с энергией частицы.

Энергосбережение требует

${\ displaystyle I = {\ hat {U}} ^ {\ dagger} {\ hat {U}} \ приблизительно \ left (I + i {\ hat {H}} ^ {\ dagger} \ tau \ right) \ left (Ii {\ hat {H}} \ tau \ right) \ приблизительно I + i {\ hat {H}} ^ {\ dagger} \ tau -i {\ hat {H}} \ tau + {\ hat { H}} ^ {\ dagger} {\ hat {H}} \ tau ^ {2}}$.

Так как бесконечно малая величина, что означает, что ею можно пренебречь , последний член можно опустить. Далее, если H равно своему сопряженному: ${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау ^ {2}}$${\ Displaystyle \ тау}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} ^ {\ dagger}}$,

из этого следует, что (для бесконечно малых переводов по времени ) ${\ Displaystyle \ тау = дт \,}$

${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ dagger} {\ hat {U}} = I}$,

так что действительно сохраняется энергия.

Операторы, равные своим сопряженным, называются эрмитовыми или самосопряженными.

Бесконечно малый перенос состояния поляризации равен

${\ displaystyle | \ phi (t + dt) \ rangle - | \ phi (t) \ rangle = -i {\ hat {H}} dt | \ phi (t) \ rangle}$.

Таким образом, сохранение энергии требует, чтобы бесконечно малые преобразования состояния поляризации происходили под действием эрмитова оператора. Хотя этот вывод является классическим, концепция эрмитова оператора, генерирующего энергосберегающие бесконечно малые преобразования, составляет важную основу квантовой механики. Вывод уравнения Шредингера непосредственно следует из этого понятия.

Квантовая аналогия классической электродинамики

Лечение до этого момента было классическим . Однако квантово-механическое рассмотрение частиц следует по линии, формально аналогичной, однако, уравнениям Максвелла для электродинамики. Аналог классических «векторов состояния»

${\ displaystyle \ mid \ phi \ rangle}$

в классическом описании - это векторы квантового состояния при описании фотонов.

Энергия, импульс и угловой момент фотонов

Энергия

Ранняя интерпретация основана на экспериментах Макса Планка и интерпретации этих экспериментов Альбертом Эйнштейном , которая заключалась в том, что электромагнитное излучение состоит из неприводимых пакетов энергии, известных как фотоны . Энергия каждого пакета связана с угловой частотой волны соотношением

${\ displaystyle \ epsilon = \ hbar \ omega}$

где - экспериментально определенная величина, известная как приведенная постоянная Планка . Если в объемном ящике есть фотоны , энергия (без учета энергии нулевой точки ) в электромагнитном поле равна ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle N \ hbar \ omega}$

а плотность энергии равна

${\ displaystyle {N \ hbar \ omega \ over V}}$

Энергия фотона может быть связана с классическими полями через принцип соответствия, который гласит, что для большого числа фотонов квантовая и классическая трактовки должны согласовываться. Таким образом, для очень больших плотность энергии кванта должна быть такой же, как классическая плотность энергии ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {N \ hbar \ omega \ over V} = {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} {8 \ pi}} }$.

Среднее количество фотонов в ящике в когерентном состоянии тогда равно

${\ displaystyle N = {\ frac {V} {8 \ pi \ hbar \ omega}} \ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}}$.

Импульс

Принцип соответствия также определяет импульс и угловой момент фотона. Для импульса

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {c} = {N \ hbar \ omega \ over cV} = {N \ hbar k \ over V}}$

откуда следует, что импульс фотона равен

${\ displaystyle \ hbar k}$(или эквивалентно ).${\ displaystyle h \ over \ lambda}$

Угловой момент и спин

Аналогично для момента количества движения

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ over \ omega} {\ mathcal {E}} _ {c} \ left (\ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} \ right) = {\ hbar \ over V} \ left (\ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} \ right)}$

откуда следует, что угловой момент фотона равен

${\ displaystyle l_ {z} = \ hbar \ left (\ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} \ right)}$.

квантовая интерпретация этого выражения состоит в том, что фотон имеет вероятность иметь угловой момент и вероятность иметь угловой момент . Таким образом, мы можем думать об угловом моменте квантованного фотона, а также об энергии. Это действительно подтверждено экспериментально. У фотонов только наблюдалось угловой момент . ${\ displaystyle \ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2}}$${\ displaystyle - \ hbar}$${\ displaystyle \ pm \ hbar}$

Оператор вращения

Спин фотона определяется как коэффициент при вычислении углового момента. Фотон имеет спин 1, если он находится в состоянии, и -1, если он находится в состоянии. Оператор вращения определяется как внешний продукт${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle | R \ rangle}$${\ displaystyle | L \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {S}} \ Equiv | R \ rangle \ langle R | - | L \ rangle \ langle L | = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}$.

Собственные векторы оператора спина и с собственными значениями 1 и -1 соответственно. ${\ displaystyle | R \ rangle}$${\ displaystyle | L \ rangle}$

Ожидаемое значение измерения спина фотона тогда будет

${\ Displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {S}} | \ psi \ rangle = \ mid \ psi _ {R} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {L} \ mid ^ {2} }$.

Оператор S был связан с наблюдаемой величиной, угловым моментом. Собственные значения оператора - это допустимые наблюдаемые значения. Это было продемонстрировано для углового момента, но в целом это верно для любой наблюдаемой величины.

Вероятность одиночного фотона

Есть два способа применить вероятность к поведению фотонов; Вероятность может использоваться для вычисления вероятного числа фотонов в конкретном состоянии, или вероятность может использоваться для расчета вероятности того, что отдельный фотон находится в определенном состоянии. Первая интерпретация применима к тепловому или когерентному свету (см. Квантовая оптика ). Последняя интерпретация является вариантом однофотонного фоковского состояния . Дирак объясняет это в контексте эксперимента с двумя щелями :

За некоторое время до открытия квантовой механики люди осознали, что связь между световыми волнами и фотонами должна носить статистический характер. Однако они четко не осознавали, что «волновая функция» дает информацию о вероятности нахождения одного фотона в определенном месте, а не о вероятном количестве фотонов в этом месте. Важность различия можно пояснить следующим образом. Предположим, у нас есть луч света, состоящий из большого количества фотонов, разделенных на две составляющие равной интенсивности. Если предположить, что луч связан с вероятным числом фотонов в нем, мы должны иметь половину общего числа, попадающего в каждый компонент. Если теперь заставить два компонента интерферировать, нам потребуется фотон в одном компоненте, чтобы он мог интерферировать с одним в другом. Иногда эти два фотона должны были бы аннигилировать друг друга, а иногда они должны были бы произвести четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает трудности, заставляя каждый фотон частично входить в каждый из двух компонентов. Тогда каждый фотон мешает только самому себе. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не возникает.

-  Поль Дирак, Принципы квантовой механики , четвертое издание, глава 1

Амплитуды вероятности

Вероятность того, что фотон находится в определенном состоянии поляризации, зависит от распределения вероятностей по полям, рассчитанного с помощью классических уравнений Максвелла (в P-представлении Глаубера-Сударшана однофотонного состояния Фока ). Число фотонов в когерентном состоянии в ограниченной области пространства квадратично по полям. В квантовой механике, по аналогии, состояние или амплитуда вероятности отдельной частицы содержит основную информацию о вероятности. В целом правила объединения амплитуд вероятностей очень похожи на классические правила композиции вероятностей: (Следующая цитата взята из Байма, Глава 1)

1. Амплитуда вероятности для двух последовательных вероятностей - это произведение амплитуд индивидуальных возможностей. ...
2. Амплитуда процесса, который может происходить одним из нескольких неразличимых способов, представляет собой сумму амплитуд для каждого из отдельных способов. ...
3. Полная вероятность возникновения процесса - это квадрат абсолютного значения полной амплитуды, рассчитанной с помощью 1 и 2.

волны де Бройля

В 1923 году Луи де Бройль задался вопросом о том, могут ли все частицы иметь как волновую, так и частичную природу, аналогичную фотону. Фотоны отличаются от многих других частиц тем, что они не имеют массы и движутся со скоростью света. В частности де Бройля задал вопрос о том, является ли частица , которая имеет как волну и частицу , связанную с ним согласуется с Эйнштейном два больших 1905 взносами, в специальной теории относительности и квантовании энергии и импульса. Ответ оказался положительным. Волновая и частичная природа электронов была экспериментально обнаружена в 1927 году, через два года после открытия уравнения Шредингера.

гипотеза де Бройля

Де Бройль предположил, что каждая частица связана как с частицей, так и с волной. Угловая частота и волновое число волны связаны с энергией E и импульсом p частицы соотношением ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}$

и

${\ displaystyle p = \ hbar k}$.

Вопрос сводится к тому, может ли каждый наблюдатель в каждой инерциальной системе отсчета согласиться с фазой волны. Если это так, то волновое описание частиц может соответствовать специальной теории относительности.

Рама отдыха

Сначала рассмотрим остальную систему отсчета частицы. В этом случае частота и волновое число волны связаны с энергией и импульсом свойств частиц соотношением

${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2} = \ hbar \ omega _ {0}}$

и

${\ displaystyle p_ {0} = 0 = \ hbar k_ {0}}$

где m - масса покоя частицы.

Это описывает волну бесконечной длины волны и бесконечной фазовой скорости

${\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ omega _ {0} \ над k_ {0}}}$.

Волну можно записать как пропорциональную

${\ Displaystyle \ соз (\ омега _ {0} ^ {} т)}$.

Это, однако, также решение для простого гармонического осциллятора , который можно рассматривать как часы в системе координат покоя частицы. Мы можем представить себе часы, тикающие с той же частотой, что и волна. Фазы волны и часов можно синхронизировать.

Кадр наблюдателя

Показано, что фаза волны в системе отсчета наблюдателя такая же, как фаза волны в системе отсчета частицы, а также такая же, как и часы в двух системах отсчета. Следовательно, в специальной теории относительности существует согласованность как волновой, так и корпускулярной картины.

Фаза часов наблюдателя

В системе отсчета наблюдателя, движущегося с относительной скоростью v по отношению к частице, часы частицы тикают с частотой

${\ displaystyle \ omega _ {c} = {\ omega _ {0} \ over \ gamma}}$

где

${\ displaystyle \ gamma = {1 \ over {\ sqrt {1- {v ^ {2} \ over c ^ {2}}}}}}$

является фактором Лоренца, который описывает замедление времени на часах частиц, наблюдаемое наблюдателем.

Фаза часов наблюдателя равна

${\ displaystyle \ omega _ {c} t = {\ omega _ {0} \ over \ gamma} (\ gamma t_ {0}) = \ omega _ {0} t_ {0}}$

где - время, измеренное в системе координат частицы. И часы наблюдателя, и часы частиц согласовывают фазу. ${\ displaystyle t_ {0}}$

Фаза волны наблюдателя

Частота и волновое число волны в системе наблюдателя определяются выражением

${\ displaystyle E = \ gamma m_ {o} c ^ {2} = \ hbar \ omega = \ gamma \ hbar \ omega _ {o}}$

и

${\ displaystyle {\ vec {p}} = \ gamma m_ {o} {\ vec {v}} = \ hbar {\ vec {k}} = {\ frac {\ gamma \ hbar \ omega _ {o} { \ vec {v}}} {c ^ {2}}}}$

с фазовой скоростью

${\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ omega \ over k} = {E \ over p} = {c ^ {2} \ over v}}$.

Фаза волны в системе наблюдателя равна

${\ displaystyle \ omega t-kx = \ omega t - {\ omega \ over v _ {\ phi}} vt = \ omega t \ left (1- {v ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right ) = {\ omega t \ over \ gamma ^ {2}} = {1 \ over \ gamma ^ {2}} {\ gamma m_ {o} c ^ {2} \ over \ hbar} (\ gamma t_ {o }) = \ omega _ {o} t_ {o} = \ omega _ {c} t}$.

Фаза волны в системе отсчета наблюдателя такая же, как фаза в системе отсчета частицы, как часы в системе отсчета частицы и часы в системе отсчета наблюдателя. Таким образом, волновая картина частиц согласуется со специальной теорией относительности.

Фактически, теперь мы знаем, что эти отношения могут быть кратко записаны с использованием специальной релятивистской 4-векторной записи:

Соответствующие четыре вектора:

Четырехпозиционный ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {x}})}$

Четырехскоростной ${\ Displaystyle \ mathbf {U} = \ gamma (с, {\ vec {u}})}$

Четыре импульса ${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right)}$

Четырехволновой вектор ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ frac {\ omega} {v _ {\ phi}}} {\ hat {n}} \ right)}$

Соотношения между четырьмя векторами следующие:

${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d \ mathbf {X}} {d \ tau}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ hbar \ mathbf {K} = m_ {o} \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {m_ {o}} {\ hbar}} \ right) \ mathbf {U} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} { c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {U}}$

Фаза волны - релятивистский инвариант:

${\ Displaystyle \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {X} = \ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} = \ omega _ {o} t_ {o} = \ omega _ {o} \ tau}$

Атом Бора

Несоответствие наблюдения классической физике

Гипотеза де Бройля помогла разрешить нерешенные вопросы атомной физики. Классическая физика не могла объяснить наблюдаемое поведение электронов в атомах. В частности, ускоряющиеся электроны испускают электромагнитное излучение в соответствии с формулой Лармора . Электроны, вращающиеся вокруг ядра, должны терять энергию из-за излучения и в конечном итоге спиралевидно двигаться в ядро. Этого не наблюдается. Атомы стабильны во времени, намного превышающем предсказание классической формулы Лармора.

Также было отмечено, что возбужденные атомы испускают излучение с дискретными частотами. Эйнштейн использовал этот факт, чтобы интерпретировать дискретные энергетические пакеты света как, по сути, реальные частицы. Однако, если эти реальные частицы испускаются атомами в виде дискретных пакетов энергии, должны ли эмиттеры, электроны, также изменять энергию в дискретных пакетах энергии? В механике Ньютона нет ничего, что могло бы это объяснить.

Гипотеза де Бройля помогла объяснить эти явления, отметив, что единственными разрешенными состояниями для электрона, вращающегося вокруг атома, являются те, которые допускают наличие стоячих волн, связанных с каждым электроном.

Серия Бальмера

Серия Бальмера определяет те частоты света, которые могут излучаться возбужденным атомом водорода:

${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {n} = R \ left ({\ frac {1} {2 ^ {2}}} - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right) \ quad п = 3,4,5, ...}$

где R известна как постоянная Ридберга и равна 13,6 электрон-вольт .

Предположения модели Бора

Модель Бора, представленная в 1913 году, была попыткой теоретического обоснования ряда Бальмера. Допущения модели:

1. Обращающиеся электроны существовали на круговых орбитах с дискретными квантованными энергиями. То есть возможна не всякая орбита, а только некоторые конкретные.
2. Законы классической механики не действуют, когда электроны совершают прыжок с одной разрешенной орбиты на другую.
3. Когда электрон совершает прыжок с одной орбиты на другую, разность энергий уносится (или передается) одним квантом света (называемым фотоном ), энергия которого равна разнице энергий между двумя орбиталями.
4. Допустимые орбиты зависит от квантованных (дискретных) значений орбитального углового момента , L в соответствии с уравнением где п = 1,2,3, ... и называется главным квантовым числом .
   ${\ Displaystyle {L} = п \ бар}$
   

Последствия модели Бора

На круговой орбите центробежная сила уравновешивает силу притяжения электрона.

${\ displaystyle {mv ^ {2} \ over r} = {{e_ {M}} ^ {2} \ over r ^ {2}}}$

где m - масса электрона, v - скорость электрона, r - радиус орбиты и

${\ displaystyle {e_ {M}} = {e \ over {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}$

где e - заряд электрона или протона.

Энергия вращающегося электрона равна

${\ displaystyle E = {1 \ over 2} mv ^ {2} - {{e_ {M}} ^ {2} \ over r} = - {1 \ over 2} {{e_ {M}} ^ {2 } \ над r}}$

что следует из выражения центробежной силы.

Предположение об угловом моменте модели Бора подразумевает

${\ Displaystyle L = mvr = п \ бар}$

из чего следует, что в сочетании с уравнением центробежной силы радиус орбиты определяется выражением

${\ displaystyle r = {n ^ {2} \ hbar ^ {2} \ over m {e_ {M}} ^ {2}}}$.

Это означает, что из уравнения энергии

${\ displaystyle E_ {n} = - {1 \ over 2} {{e_ {M}} ^ {2} \ over r} = - {1 \ over 2} \ left ({m {e_ {M}} ^ {4} \ over \ hbar ^ {2}} \ right) {1 \ over n ^ {2}}}$.

Разницу между уровнями энергии восстанавливает серия Бальмера.

Вклад де Бройля в модель Бора

Предположения Бора восстанавливают наблюдаемый ряд Бальмера. Однако сами предположения Бора не основаны на какой-либо более общей теории. Почему, например, разрешенные орбиты должны зависеть от углового момента? Гипотеза де Бройля дает некоторое понимание.

Если предположить, что электрон имеет импульс, равный

${\ displaystyle p = mv = \ hbar k}$

как постулируется гипотезой де Бройля, то угловой момент определяется выражением

${\ Displaystyle L = mvr = \ hbar kr = \ hbar \ left ({2 \ pi \ over \ lambda} \ right) r}$

где - длина волны электронной волны. ${\ displaystyle \ lambda}$

Если в атоме разрешены только стоячие электронные волны, то разрешены только орбиты с периметрами, равными целому числу длин волн:

${\ displaystyle \ lambda = {2 \ pi r \ over n}}$.

Это означает, что разрешенные орбиты имеют угловой момент

${\ Displaystyle L = п \ hbar}$

что является четвертым предположением Бора.

Сразу следуют предположения один и два. Третье предположение следует из сохранения энергии, которое, как показал де Бройль, согласуется с волновой интерпретацией частиц.

Потребность в динамических уравнениях

Проблема с гипотезой де Бройля применительно к атому Бора состоит в том, что мы вынудили использовать решение с плоской волной, действительное в пустом пространстве, для ситуации, в которой существует сильный потенциал притяжения. Мы еще не открыли общего динамического уравнения эволюции электронных волн. Уравнение Шредингера является непосредственным обобщением гипотезы де Бройля и динамики фотона.

Уравнение Шредингера

Аналогия с фотонной динамикой

Динамика фотона определяется выражением

${\ displaystyle | \ phi (t + dt) \ rangle - | \ phi (t) \ rangle = -i {\ hat {H}} dt | \ phi (t) \ rangle}$

где H - эрмитов оператор, определяемый уравнениями Максвелла. Эрмитичность оператора гарантирует сохранение энергии.

Эрвин Шредингер предположил, что динамика массивных частиц имеет ту же форму, что и динамика энергосберегающих фотонов.

${\ displaystyle | \ psi (t + dt) \ rangle - | \ psi (t) \ rangle = -i {\ hat {H}} dt | \ psi (t) \ rangle}$

где - вектор состояния частицы, а H - теперь неизвестный эрмитов оператор, который необходимо определить. ${\ Displaystyle | \ psi (т) \ rangle}$

Вектор состояния частицы

Вместо состояний поляризации, как в случае фотона, Шредингер предположил, что состояние вектора зависит от положения частицы. Если частица живет в одном пространственном измерении, он разделил линию на бесконечное количество небольших интервалов длины и назначил компонент вектора состояния каждому интервалу. ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle \ Equiv {\ begin {pmatrix} \ vdots \\\ psi _ {j-1} (t) \\\ psi _ {j} (t) \\\ psi _ {j + 1} (t) \\\ vdots \ end {pmatrix}}}$.

Нижний индекс j обозначает корзину.

Форма матрицы и амплитуды переходов

Уравнение перехода можно записать в матричной форме как

${\ Displaystyle \ psi _ {j} (t + dt) ^ {} - \ psi _ {j} (t) = - я \ сумма _ {k} ^ {} H_ {jk} \, dt \, \ psi _ {k} (t)}$.

Эрмитовское условие требует

${\ displaystyle H_ {jk} = H_ {kj} ^ {*}}$.

Шредингер предположил, что вероятность может просочиться в соседние интервалы только на небольшом временном шаге dt. Другими словами, все компоненты H равны нулю, за исключением переходов между соседними бинами.

${\ displaystyle H_ {j \ pm 1, j} ^ {} \ neq 0}$,

${\ displaystyle H_ {j, j} ^ {} \ neq 0}$.

Более того, предполагается, что пространство однородно в том смысле, что все переходы вправо равны

${\ Displaystyle H_ {j + 1, j} ^ {} = H_ {j, j-1} ^ {} \ Equiv H_ {R}}$.

То же самое и с переходами влево.

${\ Displaystyle Н_ {j-1, j} ^ {} = H_ {j, j + 1} ^ {} \ Equiv H_ {L}}$.

Уравнение перехода принимает вид

${\ displaystyle i {\ partial \ psi _ {j} (t) \ over \ partial t} = H_ {L} \ psi _ {j + 1} (t) -H_ {R} \ psi _ {j} ( t) + H_ {R} \ psi _ {j-1} (t) -H_ {L} \ psi _ {j} (t) + H_ {jj} \ psi _ {j} (t)}$.

Первый член справа представляет движение амплитуды вероятности в ячейку j справа. Второй член представляет утечку вероятности из корзины j вправо. Третий член представляет утечку вероятности в ячейку j слева. Четвертый член представляет утечку из бункера j слева. Последний член представляет любое изменение фазы в амплитуде вероятности в интервале j.

Если мы расширим амплитуду вероятности до второго порядка по размеру ячейки и предположим, что пространство изотропно, уравнение перехода сводится к ${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle H_ {R} = H_ {L} \ Equiv H_ {0}}$

${\ displaystyle i {\ partial \ psi _ {j} (t) \ over \ partial t} = H_ {0} {\ lambda ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ psi _ {j} (t ) \ over \ partial x ^ {2}} + H_ {jj} \ psi _ {j} (t)}$.

Уравнение Шредингера в одном измерении

Уравнение перехода должно соответствовать гипотезе де Бройля. В свободном пространстве амплитуда вероятности волны де Бройля пропорциональна

${\ Displaystyle \ ехр \ влево [я \ влево (кх- \ омега т \ вправо) \ вправо]}$

где

${\ displaystyle E = \ hbar \ omega = {p ^ {2} \ over 2m} = {\ hbar ^ {2} k ^ {2} \ over 2m}}$

в нерелятивистском пределе.

Решение де Бройля для свободного пространства является решением уравнения перехода, если мы требуем

${\ displaystyle H_ {0} \ lambda ^ {2} = - {\ hbar \ более 2 м}}$

и

${\ displaystyle H_ {jj} ^ {} = 0 ^ {}}$.

Член производной по времени в уравнении перехода можно отождествить с энергией волны де Бройля. Член пространственной производной можно отождествить с кинетической энергией. Это говорит о том, что термин «содержащий» пропорционален потенциальной энергии. Это дает уравнение Шредингера ${\ displaystyle H_ {jj}}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ psi (x, t) \ over \ partial t} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi (x, t)} {\ partial x ^ {2}}} + U (x) \ psi (x, t)}$

где U - классическая потенциальная энергия, а

${\ Displaystyle \ пси (х, т) \ экв {1 \ над {\ sqrt {\ лямбда}}} \ пси _ {j} (т)}$

и

${\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t) dx}$.

Уравнение Шредингера в трех измерениях

В трех измерениях уравнение Шредингера принимает вид

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ nabla ^ {2} \ psi} + U \ psi = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ psi}$

Атом водорода

Решение для атома водорода описывает стоячие волны энергии точно , данные серии Бальмера. Это было впечатляющим подтверждением уравнения Шредингера и волнового поведения вещества.

Смотрите также

• Основные понятия квантовой механики
• Угловая частота
• Уравнение Дирака
• Формулировка интеграла по путям
• Фотоэлектрический эффект
• Поляризация фотона
• Квантовая электродинамика
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики
• Эксперимент Штерна-Герлаха
• Дуальность волна-частица

Ноты

Ссылки

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 047130932X.
• Байм, Гордон (1969). Лекции по квантовой механике . WA Бенджамин. ISBN 978-0805306675.
• Дирак, РАМ (1958). Принципы квантовой механики (четвертое изд.). Оксфорд. ISBN 0-19-851208-2.